[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷18及答案与解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 18 及答案与解析单项选择题1 已知函数 f(x)的一个原函数为 e2x ，则 f(x)=( )（A）2e 2x（B） 2e2x（C） 4e2x（D）4e 2x2 不定积分sinxcosxdx 不等于( )（A）12sin 2x+C（B） 12sin2x+C（C） 14cos2x+C（D）12cos 2x+C3 设 f(x)为连续函数，则下列命题错误的是( )（A）ddx abf(x)dx=0（B） ddx abf(x)dx=f(x)（C） axf(t)dt=f(x)f(a)（D）ddx axf(t)dt=f(x)4 设 f(x)为连续函数

2、，则 ddx 0xtf(x2t 2)dt=( )（A）x2f(0)（B） x2f(0)（C） xf(0)（D）xf(x 2)5 设 f(x)= 则 12 2f(x1)dx=( ) （A）1（B） 12（C） 12（D）16 已知某商品总产量的变化率 f(t)=200+5t t2，则时间 t 在2，8上变化时，总产量增加值Q 为( )（A）1266（B） 568（C） 266（D）87 x2ex dx=( )（A）e x (x2+2x+2)+C（B） ex (x2+2x+2)+C（C） ex(x2+2x+2)+C（D）e x(x2+2x+2)+C8 设 z= 1) ，当 x=1 时，z=y，则

3、f(u)及 z 分别为( )（A）u 2+2u， +y1（B） u2+2u， +y+1（C） u2+u， +y1（D）u 2+u， +y+19 已知 f(x，y)=x+(y1)arcsin ，则 fx(x，1)=( )（A）1（B） 0（C） 1（D）210 设 f(x，y)=x 3y2+(y1) 3arctan ，则 fx(1，1)=( ) （A）1（B） 2（C） 3（D）411 设 z=ex f(x 2y) ，且当 y=0 时，z=x 2，则 |(2，1) =( )（A）1+e 2（B） 1e 2（C） 1+（D）112 设 f(t)有连续导数，且 g(x，y)=f(y x)+yf(xy

4、)，则 x =( )（A）yf(y x)（B） 2f(y x)+f(xy)（C） xf(yx)（D）f(yx)+2f(x y)13 设 f(x，y)=x 2y2+xlnx，则点(1e ，0)( )（A）不是 f(x，y)的驻点，是 f(x，y)的极值点（B）不是 f(x，y) 的驻点，也不是 f(x，y)的极值点（C）是 f(x，y) 的驻点，也是 f(x，y)的极大值点（D）是 f(x， y)的驻点，也是 f(x，y)的极小值点14 设在(1 ，0，1) 的某个邻域内 z=z(x，y)由力程 xyz+ 确定，则dz|(1，0) =( )计算题15 16 17 设 f(x)在( ，+)内可导，

5、且满足关系式 xf(x)= x43x 3+4+2xf(t)dt，求 f(x)和 f(x)18 计算定积分 09 dx19 计算定积分 14 dx20 已知 f(x)连续， 0xtf(xt)dt=1 cosx求 02 f(x)dx 的值21 从原点(0 ，0) 引两条直线与曲线 y=1+x2 相切，求由这两条切线与 y=1+x2 所围图形的面积22 设 z=uv，u=x 2+2y，v=sinxy，求23 设 z=f(x，xy，xyz)，其中 f(u，v，w)为可微函数，求24 设 z=z(x，y)由方程 zy 23x+ye z=5 确定，求 dz25 26 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数

6、，z=z(x，y)由方程 xexye y=zez 确定，求 du27 求二元函数 z=xy 在条件 x+y=1 下的极值点坐标28 用钢板制作一个容积为 am3 的有盖长方体水箱，若不计钢板的厚度，如何设计长、宽、高的尺寸，才能使所用材料最省?经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 18 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由题设 e2x 为 f(x)的一个原函数，可知 f(x)=(e 2x )=2e 2x ， 因此f(x)=(2e 2x )=4e2x 故选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 这个题目有两种常见解法：一是将四个选项分别求导数

7、，哪个选项的导数不等于 sinxcosx，则这个选项必然错误；二是直接求解，但解法不同，可能导致结果的形式不同解法 1 对于 A，( sin2x+C)=122sinxcosx=sinxcosx，可知 A 正确对于 B，( sin2x+C)=12cos2x2=cos2xsinx cosx ，可知 B 不正确对于 C，( cos2x+C)=14sin2x2=1 2sin2x=sinx cosx,可知 C 正确对于 D，( cos2x+C)=122cosx(sinx)=sinxcosx，可知 D 正确故选 B解法2sinxcosxdx=sinxd(sinx)= sin2x+C；sinx cosx=c

8、osxd(cosx)= cos2x+C；sinx cosxdx=12sin2xdx=1 2sin2x12d(2x)= cos2x+C可知 A，C，D 正确故选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f(x)连续，可知 f(x)必定连续，因此 abf(x)dx 存在，它表示一个确定的数值，可知 A 正确，B 不正确 由牛顿一莱布尼茨公式得 axf(t)dt=f(t)|ax=f(x)f(a)，则 c 正确 由变限积分求导公式得 ddx axf(t)dt=f(x)，则 D 正确故选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 所给问题为可变上限积分的求导问题，但

9、是被积函数中含有变上限的变元 x，且 f(x2t 2)为抽象函数，不能将 x 从 f(x2t 2)中分离出来因此设u=x2t 2，则 du=2tdt当 t=0 时，u=x 2；当 t=x 时，u=0因此 ddx 0x(x2t 2dt=ddx (12)f(u)du=xf(x 2)故选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 令 x1=t，则 dx=dt，当 x=12 时，t=12；当 x=2 时，t=1因此 12 2f(x1)dx= 12 1f(t)dt故选 C【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由总产量函数与其变化率的关系，有 Q(t)=f(t)，于是总产量增

10、加值为Q= 28Q(t)dt=28f(t)dt=28(200+5t t2)dt=(200t+ t3)|28=1266故选 A【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 利用分部积分法x 2ex dx=x 2ex +2xex dx x 2ex +2(xe x +ex dx)=x 22ex 2xe x 2e x +C=e x (x2+2x+2)+C故选 A【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设当 x=1 时，zy，可知 y= 1)=y1，令u= 1，则 y=(u+1)2，从而 f(u)=(u+1)21=u 2+2u，进而故选 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】

11、C【试题解析】 常规方法是先求出 fx(x，y)，再令 y=1，可得 fx(x，1)由于fx(x，y) 因此 fx(x，1)=1但是从偏导数的概念可知，下面的方法也正确当 y=1 时，f(x ，y)为 f(x，1)=x ，因此 fx(x，1)=1显然对本题而言，后者更简便故选 C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 若依常规方法，应先求出 fx(x，y)，再令 x=1，y=1 求解，较繁琐如果先令 y=1，可得 f(x，1)=x 3， 再对 x 求偏导，可得 fx(x，1)=3x 2，因此fx(1，1)=3故选 C【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 由于

12、y=0 时，z=x 2，故 ex f(x)=x 2，则 f(x)=ex x 2，所以有f(x2y)=e (x2y) (x 2y) 2，z=e x e 2yx +(x2y) 2，故=e2yx e x+2(x2y)因此 故选 D【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 设 u=yx，v=x y，则 g(x，y)=f(u)+yf(v)，故选A【知识模块】 微积分13 【正确答案】 D【试题解析】 由题设可知 fx(x，y)=2xy 2+lnx+1，f y(x，y)=2x 2y令解得 f(x，y)的唯一驻点 x=1e ，y=0 ，即驻点为(1e，0)，因此排除 A， B又有 f“xx=2

13、y2+ ，f“ xy=4xy，f“ yy=2x2，A=f“ xx|(1e ，0)=e，B=f“ xy|(1e，0) =0，C=f“ yy|(1e ，0) =2e 2，B 2AC= 2e 0，所以由极值的充分条件知(1 e ，0)为 f(x，y)的极小值点，极小值为1e故选 D【知识模块】 微积分14 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=xyz+ ，则由于点(1， 0，1)满足给定的方程，即有 F(1，0，1)=0 ，F z(1，0，1)0由隐函数存在定理可得 因此 dz|(1，0)=dx dy故选 A【知识模块】 微积分计算题15 【正确答案】 解法 1 利用倒代换当 x0

14、时，令 x=1t ，则 dx=1t 2dt所以 当 x0 时结果相同解法 2 令 x=tant，则 dx=1cos 2dt【知识模块】 微积分16 【正确答案】 所求极限为“00” 型由洛必达法则可得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 将所给关系式两端同对关于 x 求导，可得 f(x)+xf(x)=6x36x+f(x) ，因此 xf(x)=6x36x，f(x)=6x 26，f(x)=f(x)dx=(6x 26)dx=2x 36x+C(*)依题设，有 xf(x)= x43x 2+4+2xf(t)dt，令 x=2 可得 2f(2)=2412+4=16，f(2)=8将x=2 代入 (*)式，有

15、f(2)=1612+C，所以 C=4，f(x)=2x 36x+4【知识模块】 微积分18 【正确答案】 为消除根号形式，先设 t= ，则 x=t2，dx=2tdt当 x=0 时，t=0；当 x=9 时，t=3因此 再设 u= ，则t=u2 1，dt=2udu当 t=0 时，u=1；当 t=3 时，u=2因此【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 t= ，则 x=t2，dx=2tdt当 x=1 时，t=1 ；x=4 时，t=2因此14 dx=12lnt2t2tdt=4 12lntdt=4(tlnt|12 12t dt)=4(2ln2t| 12)=4(2ln21)【知识模块】 微积分20 【正

16、确答案】 要想求解定积分 02 f(x)dx，可以先求解被积函数的表达式因为已知条件是有关积分上限的函数，必须通过求导，方可求出 f(x)，或求出 0xf(t)dt 亦可 设 u=x t，则 dt= du当 t=0 时，u=x；当 t=x 时，u=0于是 1cosx= 0xtf(xt)dt= 0x(xu)f(u)du=x 0xf(u)du 0xuf(u)du 将上式两端同时关于x 求导，得 sinx= 0xf(u)du+xf(x)xf(x)= 0xf(u)du 由 0xf(u)du=sinx，令 x=2，得02 f(u)du=sin2=1 ，因此 02 f(x)dx=1【知识模块】 微积分21

17、 【正确答案】 点(0，0)不在曲线 y=1+x2 上，设过点 (0，0)引出的直线与曲线y=1+x2 相切的切点为(x 0，y 0)，则 y0=1+x02由 y=2x，得 y =2x0设所求切线方程为 yy 0=2x0(xx 0)，即 y(1+x 02)=2x0(xx 0)(*)将点(0，0)代入(*)式，得(1+x 02)=2x 02，x 02=1，解得 x0=1因此 y|x=1 =2，y| x=1=2相应的切线方程为 y2= 2(x+1)，即 y=2x，y2=2(x1)，即 y=2x故两条切线与曲线y=1+x2 所围图形如图 136 所示， 故S=1 01+x2(2x)dx+ 01(1+

18、x22x)dx=23【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 z=uv，则 =uvlnu又 u=x2+2y，则=2x v=sinxy， =ycosxy因此=vuv1 2x+u vlnuycosxy=2xsinxy(x 2+2y)sinxy1 +(x2+2y)sinxyln(x 2+2y)ycosxy 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 记 fi 为 f(u，v，w)对第 i 个位置变量的偏导数， i=1，2，3，则=f1+f2y+f 3yz=f 1+yf2+yzf3【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 F(x，y，z)=zy 23x+ye z5 ，则Fx=3，F y=2y+e z，

19、F z=1+yez，因此【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由于 u=f(x，y，z)有连续偏导数，则 du=fxdx+fydy+fzdz(*)将xexye y=zez 两端分别求微分，则 d(xex)d(ye y)=d(zez )，rexdx+xexdxe ydyye ydy=ez dzze z dz，dz= ex(1+x)dxe y(1+y)dy代入(*)式可得 du=fx+fz dx+fyf z dy【知识模块】 微积分27 【正确答案】 解法 1 构造拉格朗日函数 L(x，y，)=xy+(x+y1)，解方程组可得唯一一组解 x=y=12，即为唯一可能极值点(12， 12)如果求极值点坐标，那么只能为(12，12)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设长方体水箱的长、宽、高分别为 x，y，z(m)体积V=xyz=a(m3)，因此其高为 z=axy(m) 水箱的表面积 S=2(xy+yz+xz)将 z=与axy 代入 S 的表达式，可得 S=2(xy+ )(x 0，y0)，当表面积最小时，所用材料最省解方程组 可得唯一组解x= (m)即 S 的唯一驻点为( )依实际问题可知，水箱表面积的最小值一定存在，又驻点唯一因此此驻点即为 S 的最小值点，此时 z= (m)故知设计长、宽、高都为 (m)时，所用材料最省【知识模块】 微积分