[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷3及答案与解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 3 及答案与解析单项选择题1 若 f(x)=x+sinx，则 f(x)的一个原函数为( )。（A）（B）（C） xcosx+5（D）x-sinx+52 如图 3-2，连续函数 y=f(x)在区间-3，一 2，2 ，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( ).计算题3 试证明：当 x0 时(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2。4 已知 f(u)可导，y=fIn(x+ )，求 y。5 设 y=xlnx，求 f(n)(

2、1)。6 已知某函数的需求函数为 P= 成本函数为 C=50+2Q，求产量为多少时利润最大。7 设某商品的总成本函数为 C(x)=200 一 x+ 需求函数为 求(1) 边际收入 R(x)(2)边际利润 L(x)。(3)收益对价格的弹性 。8 设函数 f(x)在闭区间一 1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在开区间(一 1，1) 内至少存在一点 ，使 f“()=3。9 设 ，求 f(x)并讨论 f(x)的连续性与可导性。10 设 a0，试确定方程 e2x=ax2 实根的个数及每个根所在的区间。11 求不定积分12 试利用凑微分法解下面各题13 设14

3、 求不定积分15 求不定积分16 求下列不定积分(1)aretanxdx (2)(x 2+1)sinxdx (3) (4)xexdx17 分别求下列不定积分18 分别求下列不定积分19 分别求下列不定积分20 设 f(x)= 求f(x)dx。21 求不定积分 f(x)=22 比较 的大小。23 求下列函数的导数24 求定积分 (x2arctanx+cos8x+sin7x)dx25 分别求下列定积分26 求下列定积分27 试用分部积分法来求下列定积分(1) 12(x2+1)exdx (2)28 设 求 -11f(x)dx。29 求定积分 0tt|t 一 x|dt30 设 f(x)= ，求积分 0

4、1(x 一 1)2f(x)dx。31 设 F(x)=lnf(x)，且 F(1)=1，F(0)=0 ，求32 设 f(x)在区间0，1上连续，证明： 01f(x)dxx1f(y)dy=33 设 f(x)连续，F(x)= 0xf(t)f(2at)dt，证明 F(2a)一 2F(a)=f2(a)一 f(0)f(2a)34 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且 g(x)0，x a，b，试证：至少存在一个(a， b)，使得35 设 f(x)在a，b上具有连续的二阶导数，试证明：在(a，b)内存在一点 ，使得36 设 f(x)，g(x) 均为a，b上的连续增函数(a ，b0)，证明 abf(x)d

5、xabg(x)dx(b 一a)abf(x)g(x)dx37 设 f(x)在0，1上具有连续导数，证明：当 x0，1，有 |f(x)| 01(|f(t)|+|f(t)|)dt38 设 f(x)在0，2上有二阶连续导数，且 f(1)=0，记 ，证明：39 试计算下列反常积分的值经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 3 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 首先对 f(x)=x+sinx 计算其不定积分： f(x)dx=(x+sinx)dx= -cosx+C。【知识模块】 数学基础2 【正确答案】 B【试题解析】 由定积分的几何意义 F(一 2)=02f(t)dt=-

6、20f(t)dt= ,可见应该选择(B)。【知识模块】 数学基础计算题3 【正确答案】 令 f(x)=(x21)lnx-(x-1)2，则 f(1)=0，又 f(x)=2xlnxx+2- ，f(1)=0f“(x)=2lnx+1+ ，f”(1)=20 可见，当 0x1 时，f“(x)0；当 1x+时，f“(x)0；因此，有当 1x+时，f”(x)f”(1)=20 又由f(1)=0 及 f(x)是单调增函数推知，当 0x1 时，f(x)0；当 1x+时，f(x)0；因此 f(x)f(1)=0，即得证：当 x0 时(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2【知识模块】 数学基础4 【正确答案】 【知识模

7、块】 数学基础5 【正确答案】 f (n)(1)=(-1)n-2(n-2)!【知识模块】 数学基础6 【正确答案】 收益=需求 价格，故本题中的收益为 而利润= 收益一成本，故本题中的利润为 令导可得 F(Q)=0，可得 Q=20 当 Q20 时，F(Q)0；当 Q20 时，F(Q)0，可知当 Q=20 时，利润最大。【知识模块】 数学基础7 【正确答案】 【知识模块】 数学基础8 【正确答案】 由 f(x)有三阶导数，故应该考虑泰勒公式，又注意到 f(0)=0，应在x=0 处展开： 当 x=1 时，1=f(1)=f(0)+当 x=一 1 时，0=f(一 1)=f(0)+则两式相加可得：f“(

8、 1)+f“(2)=6 由 f“(x)的连续性，f“(1)+f“(2)=6 在闭区间 1， 2上有最大值 M 和最小值 m，则有介值定理可得：m f“(1)+f“(2)M 故必在开区间(一 1，1)内至少存在一点 ，使 f“()=3。【知识模块】 数学基础9 【正确答案】 仅当 a=2，b=一 1 时，f(x)在( 一，+)上可导。【知识模块】 数学基础10 【正确答案】 当 0ae 2 时，有且只有一个负根。 当 a=e2 时，恰有两根 x10和 x2=1 当 ae 2 时，恰有三个根 x10，0x 21 ，x 31【知识模块】 数学基础11 【正确答案】 对于这一类的积分应该首先进行因式分

9、解，由于本题比较复杂，不能轻易看出如何分解，故此类型的题目我们可以采用待定系数法来锁定因式分解的系数。 令左右同次幂项的系数相等，则可得出 A=2，B=1，C=0 因此【知识模块】 数学基础12 【正确答案】 【知识模块】 数学基础13 【正确答案】 因为 0x1，于是可令 x=sin2t，且 故【知识模块】 数学基础14 【正确答案】 【知识模块】 数学基础15 【正确答案】 【知识模块】 数学基础16 【正确答案】 (2)(x2+1)sinxdx=一(x 2+1)dcosx=一(x 2+1)cosx+2xcosxdx=一(1+x 2)cosx+2xdsinx 一(1+x 2)cosx+2x

10、sinx 一sinxd2x=一(1+x 2)cosx+2xsinx 一 2sinxdx=一(1+x 2)cosx+2xsin+2cosx(4)xexdx=xdex=xexexdx=(x 一 1)ex+C【知识模块】 数学基础17 【正确答案】 比较两端分子中相同次幂的系数，即可得： 解出：A=一1，B=5，C=23。【知识模块】 数学基础18 【正确答案】 (1)(2)【知识模块】 数学基础19 【正确答案】 (1) 应该选择取次数的最小公倍数，即应令 t=x6，(2)因此可以利用公式“1+tan 2t=sec2t”来去掉根号，即设 x+1-tant【知识模块】 数学基础20 【正确答案】 当

11、 x0 时，f(x)dx=x+C 1，当 0x1 时，f(x)fx=(x+1)dx= +x+C2，当 x1 时，f(x)dx=2xdx=x 2+C3。根据原函数的连续性，则在点x=0，x=1 处均连续。 C1=C2 即有： +1+C2=1+C3 解得：C 1=C2=C3 一 从而f(x)dx=【知识模块】 数学基础21 【正确答案】 令 x=cost，t (0，) ，则【知识模块】 数学基础22 【正确答案】 令 x=u+【知识模块】 数学基础23 【正确答案】 【知识模块】 数学基础24 【正确答案】 【知识模块】 数学基础25 【正确答案】 【知识模块】 数学基础26 【正确答案】 【知识

12、模块】 数学基础27 【正确答案】 (1) 12(x2+1)exdx=12(x2+1)dex=(x2+1)ex|12 一 12ex(2x)dx =(4+1)e2-2e-212xdex=5e2-2e 一 2xex|12+212exdx =5e2 一 2e 一 4e2+2e+2ex|12=3e2 一 2e(2)【知识模块】 数学基础28 【正确答案】 【知识模块】 数学基础29 【正确答案】 当 x0 时， 01t|t 一 x|dt=01(t 一 x)dt= 当 0x1 时， 01t|t-x|dt=0xt(x-t)dt+x1t(t-x)dt= 当 x1 时， 01t|t-x|dt=01(x 一 t

13、)dt=综上所述， 01t|t-x|=【知识模块】 数学基础30 【正确答案】 【知识模块】 数学基础31 【正确答案】 【知识模块】 数学基础32 【正确答案】 01f(x)dxx1f(y)dy=01(f(x)x1f(y)dy)x 经观察发现 x1f(y)dy=一 f(x)，则可设 F(x)=x1f(y)dy01f(x)dxx1f(y)dy=一 01dF(x)= =【知识模块】 数学基础33 【正确答案】 左边：F(2a)一 2F(a)=02af(t)f(2at)dt 一 20af(t)f(2a 一 t)dt =a2af(t)f(2a-t)f(2a 一 t)dt0af(t)f(2a 一 t)

14、dt 对于上式结果前半部分有： a2af(t)f(2a 一 t)dt=一 a2af(t)df(2a 一 t) =一f(t)f(2at)| a2a+a2af(2a 一 t)f(t)dt =f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2a 一t)f(t)dt 令 u=2a 一 t，则有 a2af(2a 一 t)f(t)dt =一 a0f(u)f(2a 一 u)du=0af(u)f(2a 一 u)du 则左边=F(2a) 一 2F(a) =f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2a 一 t)f(t)dt0af(t)f(2a 一 t)dt =f2(a)一f(0)f(2a)+0af(u)f(2au

15、)du0af(t)f(2at)dt =f2(a)-f(0)f(2a) 即：F(2a)一 2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)【知识模块】 数学基础34 【正确答案】 首先将证明的等式中的 换成 x。则 g(x) abf(x)dx 一 f(x)abg(x)dx=0F(x)=g(x) abf(x)dx 一 f(x)abg(x)dxF(x)= axg(x)dxabf(x)dx 一axf(x)dxabg(x)dx 由于 F(a)=F(b)=0 故必存在一点至少存在一个 (a，b)，使得 F()=0【知识模块】 数学基础35 【正确答案】 将函数 F(x)=axf(t)dt 在 点处展开为二阶泰勒

16、公式，则有：由于f(x)在a，b上具有连续的二阶导数，则必存在一点 (1， 2) (a，b)使得：【知识模块】 数学基础36 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dtaxg(t)dt 一(x 一 a)axf(t)g(t)dt， 则：F(x)=f(x) axg(t)dt+g(x)axf(t)dtaxf(t)g(t)dt 一(x 一 a)f(x)g(x) =axfx)g(t)+g(x)f(t)一 f(t)g(t)一 f(x)g(x)dt =一 axf(x)一 f(t)g(x)一 g(t)dt 由于 f(x)，g(x)均为a，b上的连续增函数，则 f(x)f(t)，g(x)g(t)(t (a，x

17、),F(x) 0 即 F(x)在a， b上为单调减函数 而 F(a)=0，所以 F(b)F(a)=0 即 abf(x)dxabg(a)dx(b 一 a)abf(x)g(x)dx【知识模块】 数学基础37 【正确答案】 由中值定理可知： 01|f(t)|dt=|f()|， 01 f(x)一 f()=xf(t)dt 则：f(x)=f()+xf(t)dt 则：|f(x)|f()|+| xf(t)dt|f()|+x|f(t)|dt|f()|+01|f(t)|dt 即：|f(x)|01|f(t)|+|f(t)|dt【知识模块】 数学基础38 【正确答案】 将 f(x)在 x=1 处展开为一阶泰勒公式，则 f(x)=f(1)+f(1)(x 一 1)+ f“()(x 一 1)2 则 02f(x)dx=f(1)02(x 一 1)dx+ 02f“()(x 一 1)2dx= f“()(x-1)2dx【知识模块】 数学基础39 【正确答案】 【知识模块】 数学基础