[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷8及答案与解析.doc

1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 8 及答案与解析单项选择题1 设多项式 f(x)= ，则 f(x)的 4 阶导数 f(4)(x)=( )（A）72（B） 18（C） 18（D）722 设函数 f(x)= ，则方程 f(x)=0( )（A）有一个大于 1 的根（B）有小于 1 的正根（C）有一个负根（D）无实根3 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 A 可逆，下列结论正确的是( )（A）若 A=2B，则|A|=2|B|（B） |B|=|A1 BA|（C） |AB|=|BA|（D）|AB|= |BA|4 设 A 为 mn 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵，则下列结论不正确的是(

2、)（A）A TA 是对称矩阵（B） AAT 是对称矩阵（C） ATA+AAT 是对称矩阵（D）E+AA T 是对称矩阵5 设 A 为可逆矩阵，则(A 1 )T1 =( )（A）A（B） A1（C） AT（D）(A 1 )T6 设 A 为 3 阶非零方阵，A ij 为 aij 的代数余子式，且 aij=Aij(i，j=1，2，3)，则( )（A）|A|=0（B） |A|=1（C） |A|0（D）A=E7 设 1= ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组一定线性相关的为( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 48 设向量组

3、 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1 3， 3 2， 2+1（D） 1， 2 3， 2+39 设 A 为 mn 矩阵，若方程组 Ax=b 有唯一解，则 A 的( ) （A）行向量组线性无关（B）行向量组线性相关（C）列向量组线性无关（D）列向量组线性相关10 设 A 为 3 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵， 1， 2， 3；e 1，e 2，e 3 分别是矩阵 A*和 E 的列向量，若|A|=1，则下列结论不正确的是( )（A） 1 是方程组 Ax=e1 的解（B） 2 是方程组 Ax=e2 的

4、解（C） 3 是方程组 Ax=e3 的解（D）方程组 Ax=ei(i=1， 2，3)未必有解11 设 Ax=b 为三元非齐次线性方程组， r(A)=2，且 1， 2 是方程组的两个不同的特解，C ，C 1， C2 为任意常数，则该方程组的全部解为( )（A）C( 1 2)+（B） C(1+2)+（C） C(1 2)+1+2（D）C 11+C2212 设方程组() () x 1+x2x 3=0，则( )（A）当 a=2 时，方程组 ()和()为同解方程组（B）当 a=1 时，方程组 ()和()为同解方程组（C）当 a=0 时，方程组 ()和()为同解方程组（D）无论 a 取何值，方程组() 和(

5、)均不是同解方程组计算题13 计算行列式 其中 a0a1an013 设 A，P 为 4 阶方阵，且 P 可逆14 证明|E A|=|EP 1 AP|；15 若 P1 AP=kE，计算|EA 2|16 求与 A= 可交换的一切矩阵17 设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 为 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+2B，B= ，求AE18 设 A，B 为 3 阶方阵，且满足方程 A1 BA=6A+BA，A= ，求 B19 设 A= ，矩阵 C 满足AC=B，求 C20 设向量组 1=(1，0，2，3) T， 2=(2，1，0，1) T， 3=(1，2，a，5)T， 4=(3，1，7，a+5) T 问 a

6、 取何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关；a 取何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关21 已知向量组 1， 2， 3 和向量组 1， 2， 3，且 若1， 2， 3 线性无关，试求向量组 1， 2， 3 的秩22 设向量 可以被向量组 1， 2， m 线性表示但不可以被向量组()1， 2， m1 线性表示，若记向量组() 1， 2， m1 ，试讨论 m 能否被向量组() 和()线性表示 ?23 设 A 为 4 阶方阵，且各行元素之和均为零，若 r(A)=3，试求齐次线性方程组Ax=0 的通解24 已知非齐次线性方程组 有解，试确定常数 k 的值，并求解方程组24 已知方程组

7、 有 3 个线性无关解向量25 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；26 求 a 的值及方程组的通解27 设线性方程组 求方程组的全部解，并用对应齐次线性方程组的基础解系表示全部解经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 8 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 根据行列式的各项由不同行不同列的元素组成的规则及行列式中含有变量 x 的各元素的位置，可知该行列式为四次多项式，因此，求解的关键是找出含 x4 的项，显然，该项在行列式副对角线的元素乘积中产生，即为 3x4，从而得到f(4)(x)=72，故选 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析

8、】 根据行列式的一般项由不同行不同列元素组成的规则，函数 f(x)为二次多项式，存在唯一驻点又 f(x)在闭区间0 ，1 上连续，在开区间(0，1) 内可导，且 由罗尔定理可知，存在一点(0， 1)，使得 f()=0，即方程 f(x)=0 有小于 1 的正根故选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 选项 B，由矩阵和行列式的关系，|A 1 BA|=|A1 |B|A|=|B|，其中|A1 |A|=1，故选 B 选项 A，由|A|=|2B|=2 n|B|，知|A|2|B| 选项 C，由|AB|=|(B A)|=(1) n|BA|，知|A B|BA| 选项 D，由|AB|=|A

9、|B|=|B|A|=|BA|，知 |AB|BA| 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，由题设，A TA 是 n 阶方阵，AA T 是 m 阶方阵，两者加法运算不成立，故选 C 选项 A，由(A TA)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是对称矩阵 选项 B，由 (AAT)T=(AT)TAT=AAT，知 AAT 是对称矩阵 选项 D，两个 m 阶对称矩阵 AAT 和 E 构成的矩阵仍是对称矩阵【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 由(A 1 )T(AT)=(AA1 )T=E，知(A 1 )T1 =AT 故选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答

10、案】 B【试题解析】 选项 B，由 AO，知至少有一个元素非零，不妨设 a110，于是有|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，又由 A=(aij)=(Aij)=(A*)T，A T=A*，即有|A=|A *|=|A|2，从而得|A|=1因此，选项 A 和 C 均不正确，故选 B选项 D，见反例：取 A= ，同样满足条件 aij=Aij(i，j=1 ，2，3) ，但 AE【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查数值向量组的线性相关性在维数与向量组向量个数相同时，应采用行列式的值是否为零判别最简便，由|1， 3， 4| =0知

11、1， 3， 4 线性相关另外，由观察可知(c3+c4)1=c1(3+4)，从而知 1， 3， 4 线性相关，故选 C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，两向量组的关系可表示为( 1 2， 2 3， 3 1)其中转换矩阵为 A1 且由|A 1|=0，知该向量组线性相关故选 A选项 B，由( 1+2， 2+3， 3+1)其中转换矩阵为 A2 且由|A 2|=20，知该向量组线性无关选项 C，由( 1 3， 3 2， 2+1) 其中转换矩阵为 A3 且由|A 3|=20，知该向量组线性无关选项 D，由(1， 2 3， 2+3) 其中转换矩阵为 A4且由|A 4|=20，

12、知该向量组线性无关讨论由线性无关向量组1， 2， s 的线性组合生成的向量组 1， 2， ， s 的线性相关性，应该引入转换矩阵 A，化为( 1， 2， s)=(1， 2， s)A于是， 1， 2， s 线性相关(线性无关) 的充分必要条件是|A|=0(|A|0)找对转换矩阵 A 就找到了解决问题的关键【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解，其充分必要条件是 r(A)=r(A b)=n，从而知 A 的列向量组线性无关故选 C【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，依题设，|A|=10，则方程组 Ax=ei(i=1

13、，2，3)必定有解，且有唯一解，故结论不正确选之 由于 A 可逆，因此， A*也可逆，且AA*=|A|E=E，即有 A(1， 2， 3)=(e1，e 2，e 3)，A i=ei(i=1，2，3)，所以选项A，B，C 均正确【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A，依题设，该方程组导出组 Ax=0 的基础解系由一个无关解构成，具体可用原方程组的两个不等解的差 1 2 表示，又 12A( 1+2)=1 2(b+b)=b，知 是原方程组的一个特解，从而确定 C(1 2)+ 是Ax=b 的通解故选 A 选项 B，由于 1+2 并非方程组导出组 Ax=0 的解， 也非方程组 A

14、x=b 的解，因此， C(1+2)+ 不符合方程组 Ax=b 解的结构形式选项 C，虽然 1 2 为方程组导出组 Ax=0 的基础解系，但 1+2 非方程组Ax=b 的解，因此，C( 1 2)+1+2 不符合方程组 Ax=b 解的结构形式选项 D，由于 A(C11+C22)=C1A1+C2A2=(C1+C2)b 不一定等于 b，因此，C 11+C22 不一定是方程组 Ax=b 的解【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 两个方程组为同解方程组的必要条件是系数矩阵的秩相等，无论 a取何值，方程组() 中的两个方程的系数均不成比例，因此，其系数矩阵的秩为2，而方程组() 的系数矩

15、阵的秩为 1，所以，这两个方程组不可能为同解方程组故选 D【知识模块】 线性代数计算题13 【正确答案】 由于 a0a1an0，于是将第 j(j=2，3，n+1)列的1a j1 倍加至第 1 列，即得=(a0)a1a2an【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 P1 (EA)P=P 1 EPP 1 AP=EP 1 AP， 两边取行列式，有 |P1 (EA)P|=|P 1 |EA|P|=|EA|=|E P 1 AP|， 证得|EA|=|E P 1 AP|【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 若 P1 AP=kE，则(P 1 AP)2=P1 A2P=k2E，于是，由

16、(1)，得 |EA 2|=|EP 1 A2P|=|Ek 2E|=|(1k 2)E|=(1k 2)4【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 若 A，B 可交换，则有 AB=BA，而从而有x11+x21=x11， x12+x22=x11+x12，x 13+x23=x12+x13，x 21+x31=x21，x 22+x32=x21+x22，x 23+x33=x22+x23，x 31=x31，x 32=x31+x32，x 33=x32+x33，解得x21=0， x31=0，x 32=0，x 11=x22=x33，x 12=x23，令 x11=x22=x33=a，x 12=x23=b，x 13=c，其

17、中 a，b，c 为任意常数则所求矩阵为【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 已知 AB=2A+2B，整理得(AE)(B2E)=2E+B，其中 B2E=，由|B2E|=10，知 B2E 可逆解法 1 先求逆矩阵，再求解 AE得(B2E) 1 因此，解得 AE=(2E+B)(B2E) 1解法 2 直接利用初等列变换，由【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方程两边同时左乘矩阵 A 和右乘矩阵 A1 ，整理为(EA)B=6A，由于 可知 EA 可逆，故有 B=6(EA) 1 A【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设，C 为 32 的矩阵，设 C 由 AC=B，有其中 a，b 为任意

18、常数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设一组数 k1，k 2，k 3，k 4，使得 k11+k22+k33+k44=0有方程组其系数行列式 =(a1)(a 4)，可知当 a=1 或 a=4 时，方程组有非零解，即向量组 1， 2， 3， 4 线性相关；当 a1 且 a4 时，方程组仅有零解，即向量组 1， 2， 3， 4 线性无关【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，其转换矩阵为A= ，由于 1， 2， 3 线性无关，则有 r(1， 2， 3)=r(A)于是，由=(m+4)(m2) 2，知当 m4 且 m2 时，|A|0，即 r(A)=

19、3；当m=4 时，有 知 r(A)=2；当 m=2 时有知 r(A)=1所以 r(1， 2， 3)【试题解析】 当一个向量组 1， 2， 3 被一个线性无关向量组 1， 2， 3 线性表示时，在找到两向量组转换关系( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)A 的前提下，有结论：r(1， 2， 3)=r(A)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 依题设， 可以被向量组 1， 2， ， m 表示，即存在一组数k1，k 2，k m，使得 =k 11+k22+km1 m1 +kmm，(*) 其中 km0，否则 可以被向量组() 表示，与题设矛盾因此有 m=1k m(k11+k22+km1 m1 )，

20、 即 m 能被向量组()线性表示由(*)可以判断 m 不能被向量组 ()表示，否则，若 m 可被向量组()表示，则必存在一组数 l1，l 2，l m1 ，使得 m=l11+l22+lm1 m1 ， 将其代入等式(*)，由此 可表为( )的线性组合，与题设矛盾 综上讨论， m 能被向量组()表示，但不能被向量组() 表示【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 依题设，r(A)=3，知齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，且基础解系由 4r(A)=1 个解向量构成又 A 的各行元素之和为零，即等价于 因此，=(1，1，1，1) T 是方程组 Ax=0 的一个非零解向量，并构成一个基础解系于是方程组

21、 Ax=0 的通解为 x=C，C 为任意常数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 方程组增广矩阵为 已知方程组有解，即有 r( )=r(A)2，因此， =(31)(3k)(k1)=0 ，得 k=1 或k=3，于是，当 k=1 时，由 知原方程组无解当 k=3 时，由 知原方程组有唯一解其解为 x1=0，x 2=1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设，方程组有 3 个线性无关解，则有 4r(A)+13，即 r(A)2，又由 0，即系数矩阵中至少有一个 2 阶子式非零，则 r(A)2综上，r(A)=2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有由于 r(A)=2，有a=2此时 解得方程组的通解为C1，C 2 为任意常数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 初等变换法求解即有于是，当 12 时，=34，知方程组有无穷多解，且基础解系有一个无关解，记为 =(1，12，12，1) T，通解为 x=C+(1，1，1，1) T，C 为任意常数当 =12 时， =24，知方程组有无穷多解，且基础解系有两个无关解，记为 1=(12，1，0，1) T， 2=(1，3，1，0) T，通解为 x=C11+C22+(1，1，1，1) T，C 1，C 2 为任意常数【知识模块】 线性代数