[考研类试卷]考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷6及答案与解析.doc

1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 F(x)=xx+2f(t)dt，其中 f(t)= (1+sin2t)cos2t，则 F(x)（A）为正数（B）为负数（C）恒为零（D）不是常数2 设常数 0， ，则（A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1=I2（D）I 1 与 I2 的大小与 的取值有关二、填空题3 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)的原函数是_ 4 =_5 =_6 设 y=f(x)满足 y= x+o(x)，且 f(0)=0，则 01f(x)dx=_7 =_三、解答题解

2、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 n 为自然数，证明：9 求下列不定积分：10 求 In= sinnxdx 和 Jn= cosnxdx，n=0，1，2，3，11 求下列定积分：() I= () J= sin2xarctanexdx12 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 P(1，2)，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数 a，b，c 13 在 x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为 a处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为 F= (M 为杆的质量)14 计算下列不定积分：15 假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证

3、明： f(x )dx= f(x)dx (*)16 设 f(x)=0x dt，求 f(x)17 求曲线 r= 的全长18 求由曲线 F：x=a(t sint)，y=a(1cost)(0t2)及 y=0 所围图形绕 Ox 轴旋转所成立体的体积19 求由曲线 x2=ay 与 y2=ax(a0)所围平面图形的质心 (形心)( 如图 334)20 设 f(x)在( ，+)连续，以 T 为周期，令 F(x)=0xf(t)dt，求证：()F(x)一定能表示成：F(x)=kx+(x)，其中 k 为某常数，(x)是以 T 为周期的周期函数；()()若又有 f(x)0(x(，+)，凡为自然数，则当 nTx(n+1

4、)T 时，有 n0Tf(x)dx0xf(t)dt(n+1) 0Tf(x)dx21 求22 求23 设 f(x)= 求 f(x)的不定积分f(x)dx24 设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= ，求 f(x)25 求功：()设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?()半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?26 设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 abf(x)dx=0，求证：在a，b上 f(x)027 证明： =0考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 6 答

5、案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于被积函数连续且以 为周期(2 也是周期)，故 F(x)=F(0)=02f(t)dt=20f(t)dt，即 F(x)为常数由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即 2 0f(t)dt=0 (1+sin2t)d(sin2t)=0sin 22t (2+sin2t)dt0，故应选 B【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 A【试题解析】 当0x 时 cosxsinx，又 0x x，所以 I1I 20故选 A【知识模块】 一元函数积分

6、概念、计算及应用二、填空题3 【正确答案】 sinx+C 1x+C2【试题解析】 f(x)的导函数是 sinx，那么 f(x)应具有形式cosx+C 1，所以 f(x)的原函数应为sinx+C 1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 xlnlnx+C【试题解析】 原式=(lnlnx+ )dx=lnlnxdx+xd(lnlnx)=d(xlnlnx)=xlnlnx+C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知 ，从而由 f

7、(0)=0 可得 C=0于是 f(x)=由定积分几何意义得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 () 当 n=2 时解出 In,于是当 n2 时得递推公式 In= 由于 I0= ，I 1=1，应用这一递推公式，对于 n 为偶数时，则有 对于 n 为偶数时，则有 其中()由于 cosx= ，所以，令 t= x，则有说明 Jn 和 I

8、n 有相同公式【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 圆 ，所以在圆上任何一点的曲率为 由于点 P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线 在点 P(1，2)处为凹的，所以由 确定的连续函数 y=y(x)在P(1，2)处的 y“0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的 y=1 由题设条件知，抛物线经过点 P(1，2)，于是有 a+b+c=2抛物线与圆在点 P(1，2)相切，所以在点P(1，2)处 y=1，即有 2a+b=1又抛物线与圆在点 P(1，2) 有相同的曲率半径及凹凸性，因此有 解得 a=2，从而b=3，

9、c=2ab=3【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 如图 321 建立坐标系，取杆的右端为原点，x 轴正向指向质点P 任取杆的一段x ，x+dx ，它对质点 P 的引力为 dF= ，因此，杆与质点 P 间的引力大小为其中 M 是杆的质量【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 () 采用凑微分法，并将被积函数变形，则有()如果令t= 计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便于是对于右端第一个积分，使用凑微分法，即可得到 而第二个积分可使用代换x=sint，则()配方法 ()对此三角有理式，如果分子是 asinx+bcosx 与(asinx+bcosx)

10、=acosxbsinx 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a1sinx+b1cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosxbsinx)()记原式为 J，先分项： 易凑微分得 J2=arcsinxdarcsinx= arcsin2x+C下求 J1()记原积分为 J作变量替换 x=，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 令 t=x ，则当 x+ 时，t+，x0+时，t；x0时，t+；x时，t，故应以 0 为分界点将(*)式左端分成两部分，即而且将 x 与 t 的关系反解出来，即得 x= 同时，当 x0 时， ；当x0 时， 因此即(*)式成立【知识模块】 一元

11、函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 r= 以 6 为周期，0，3 0， ，r0；(3 ，6)(， 2)， r0只需考虑 0，3 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 由已知的体积公式，得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 两曲线的交点是(0，0)，(a ，a)设该平面图形的质心(形心)为，则由质心(形心) 公式有 同样计算或由对称性可知【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 () 即确定常数 k，使得 (x)=F(x)kx 以 T 为周期由于 (x+T)

12、=F(x+T)k(x+T)= 0xf(t)dtkx+ xx+Tf(t)dtkT =(x)+ 0Tf(t)dtkT ，因此，取k= 0Tf(t)dt，(x)=F(x)kx，则 (x)是以 T 为周期的周期函数此时 F(x)=+(x)()不能用洛必达法则因为 不存在，也不为但 0xf(t)dt 可表示成 0xf(t)dt= 0Tf(t)dt+(x)(x)在(，+)连续且以 T 为周期，于是，(x)在0，T有界，在( ，+)也有界因此()因 f(x)0，所以当nTx0Tf(t)dt=0nTf(t)dt0xf(t)dt 0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)0Tf(t)dt【知识模块】 一元函数积分概

13、念、计算及应用21 【正确答案】 注意分解 1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1x 2+x4)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿-莱布尼兹公式得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 当 x0 时，f(x)=sin2xdx= +C1；为了保证 F(x)在 x=0 点连续，必须 C2= +C1， (*)特别，若取 C1=0，C 2= ，即F(x)= 就是 f(x)的一个原函数因此【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 因 f(x)= (*)由 f(x)连续及 x2 可导知 f2(x)可

14、导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2(x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对x 求导，得 2f(x)f(x)=f(x).2xf(x)=x在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 () 以球心为原点，x 轴垂直向上，建立坐标系(如图 35)取下半球中的微元薄片，即 取小区间x，x+dx1 ，0 ，相应的球体小薄片，其重量(即体积) 为 (1x 2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功 d1=(1+x)(1x 2)dx因此，对下半球做的功 1 =1 0(1+x)(1x 2)dx

15、 取上半球中的微元薄片，即 取小区间x，x+dx 0，1，相应的小薄片，其重量为 (1x 2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为 1所受力为重力，故需做功 d2=(1x 2)dx因此，对上半球做的功 2=01(1x 2)dx 于是，对整个球做的功为()建立坐标系如图36取 x 为积分变量，x0，R x，x+dx相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R 2x 2)dx，又比重 =1，于是把这层水抽出需做功 d=x(R2x 2)dx因此，所求的功【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 由定积分的性质 0 axf(t)dtabf(x)dx=0( xa，b)= axf(t)dt=0( xa，b) = axf(t)dt=f(x)=0( xa，b) 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 使用换元积分法令 x= +t，则这是由于被积函数是奇函数，积分区间是对称的【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用