[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷5及答案与解析.doc

1、考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数连续 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )2 二元函数 f(x，y)= 在(0，0)处( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在3 设函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，

2、其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0 ，则在点 (0，0)处( )（A）f x(0，0)与 fy(0，0)都不存在（B） fx(0， 0)与 fy(0，0)都存在，但都不为 0（C） fx(0， 0)=0，f y(0， 0)=0，但 f(x，y)不可微（D）f(x，y)可微，且 df(x，y)| (0,0)=04 设 u=u(x，y)为二元可微函数，且满足 ，则当x0 时， =( )（A）一 1（B）（C） 1（D）5 已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 ，则( )（A）点(0 ，0) 不是函数 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0)是函数

3、 f(x，y) 的极大值点（C）点 (0，0)是函数 f(x，y) 的极小值点（D）根据条件无法判别点(0，0)是否为函数 f(x，y)的极值点6 设函数 f(x)具有二阶连续的导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极大值的一个充分条件是( )（A）f(0)1，f“(0)0（B） f(0)1 ，f“(0)0（C） f(0)1 ，f“(0)0（D）f(0)1，f“(0)07 设 u(x，y) 在平面有界闭区域 D 上是 C(2)类函数，且满足 则u(x，y)的( )（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D

4、的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上二、填空题8 设函数 f，g 均可微，z=f(xy，ln x+g(xy)，则9 设 z=z(x，y)由方程 z=e2x-3z+2y 确定，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设函数 f(x，y)= 讨论 f(x，y)在(0，0)点的可微性11 求 z=x+(y-1)arcsin 在(0，1)点的偏导数12 13 设 x=eucosv，y=e usinv，z=uv试求14 设 z=sin(xy)xy，求 dz15 设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u

5、，v)具有二阶连续偏导数，求16 设 z=xf(x，u，v)，u=ln(cos x)，v=x sin y，其中 f 可微，求17 已知 z=u(x，y)e ax+by，且 ，试确定常数 a，b，使得 恒成立18 设变换 求常数 a19 由方程 听确定的函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的全微分dz=_.20 设方程组 确定函数 u=u(x，y) ，v=v(x，y)，求21 设 u=f(x， y，z)具有连续的一阶偏导数，又 y=y(x)，z=z(x)分别由 exy 一 xy=2 和所确定，求22 设 y=g(x，z)，而 z 是由方程 f(x-z，xy)=0 所确定的 x，y 的函

6、数，求23 设函数 f(x)在(0，+)内具有二阶连续导数，且与 f(1)=f(1)=1求函数 f(r)的表达式24 设函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足 f(0，0)=1 ，f x(0，0)=2 ，f y(0，y)=一 3 以及 fxx“(x，y)=y，f xy“(x，y)=x+y，求 f(x，y)的表达式25 求函数 z=x4+y4 一 x2 一 2xyy2 的极值26 证明：函数 z=(1+ey)cos x-yey 有无穷多个极大值而无极小值27 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 在约束条件 x2+y2=1 下的最大值和最小值28 求椭圆 x2+4y2=4 上一点，使其到直

7、线 2x+3y 一 6=0 的距离最短29 给定椭球体 在第一象限的部分(1)求椭球体上任意点M0(x0，y 0，z 0)(x00，y 00，z 00)处椭球面的切平面(2)在何处的切平面与三个坐标面围成的空间区域的体积最小30 已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并且 f(1，1)=2求 z=f(x，y)在椭圆域 D= 上的最大值和最小值考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据二元函数的连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系，由于“偏导数连续必

8、可微”，而“可微必连续”，故应选(A)【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数的定义知 fx(0，0)= 同理fy(0，0)=0，故 f(x，y)在 (0，0)处偏导数存在又当(x ，y)沿 y=kx 趋向(0，0) 点时，k 取不同值，该极限值也不同，所以极限不存在，即 f(x，y)在(0 ，0)处不连续【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 即fx(0，0)=0同理 fy(0，0)=0 ，排除(A) ，(B) f=f(0+ x，0+ y)-f(0，0)=| x 一y|g(x，y) ， f-fx(0，0)x+f y(0，0) y=|x

9、一y|g(x，y)，可知 f(x，y)在(0，0)点可微，故应选 (D)【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 又因为f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续， 由极限与无穷小的关系知 f(x，y)=xy+(x 2+y2)2+(x2+y2)，其中 当 xy0 时，显然 f(x，y)=xy+o(xy)， 当 xy0 时，f(x，y)-f(0，0)=xy+o(xy) 0， 当 xy0 时，f(x ，y)-f(0，0)=xy+o(xy) 0，故由极值的定义知点(0 ，0) 不是函数 f(x，y) 的极值点，应选(A)【知识模

10、块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)具有二阶连续的导数，且在点(0，0)处取得极大值，所以(0， 0)是 z=f(x)lnf(y)的驻点又因此在(0，0)处，A=f“(0)lnf(0)，B=0 ，C=f“(0) 由于函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极大值，故应有 A0，C0，即 f(0)1，f“(0)0，应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 先考虑平面有界闭区域 D 的内部：由条件 A+C= 知A，C 异号，又 所以 ACB20，因此由函数取极值的充分条件知u(x，y)在 D 的内部没有极值点 因为 u

11、(x，y)在有界闭区域 D 上连续，必有最大值和最小值，而在 D 的内部没有极值点，所以 u(x，y)的最大值点和最小值点一定都在 D 的边界上，故应选(B)【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题8 【正确答案】 f 2【试题解析】 由复合函数的求导法则，【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 2【试题解析】 在给定方程的两边分别对 x 求偏导数，并注意到 z 是 x，y 的二元函数，【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 极限值与 k 有关，由此可知 f(x，y)在(0 ，0)点处不可微【知识模块】 多元函数微积分学11

12、【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 把 x，y 看成中间变量，u，v 看成自变量，由复合函数的偏导数的求导法则，得【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 由于 z=sin(xy)xy=exylnsin(xy)，利用一阶微分形式的不变性，得【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 设 z=f(u，v)，其中 u=2x-y，v=ysinx又 f(u，v)具有二阶连续偏导数，所以 f12“=f21“，故【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 z=xf(x，ln(cos x)，x sin y)，【

13、知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 代入给定方程，得到 故 a=1，b=1【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 令 6+aa2=0，得 a=3，a= 一 2(舍去)【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 在给定方程的两边分别对 x 求偏导数，并注意到 z 是 x,y 的二元函数，得【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 对方程组中两个等式分别对 x 求偏导数，得将上面等式中的 看成未知数，整理得【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 设 这是两个方程组成的方程组，有三个未知数由欲求的结果 可

14、知方程组确定 y，z 分别是 x 的一元函数方程组的两边分别对 x 求导，得 将上面等式中的 看成未知数，整理得 利用克拉默法则，有【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 两边同乘 r2，得 r2f“(r)+2rf(r)=0，即r 2f(r)=0，于是， r2f(r)=C【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 将 fxx“(x，y)=y 对变量 x 求不定积分，得 fx(x，y)=ydx+C 1(y)=xy+C1(y)同样将 fxy“(x，y)=x+y 对变量 y 求不定积分，得 fx(x，y)=(x+y)dx=xy+比较两个表达式，得 由于fx(0，0)=2，故 C=2即

15、 fx(x，y)= 将 fy(x，y)= 两边对 x 求不定积分，得由于fy(0，y)=-3，得 C2(y)=一 3故 C2(y)=一 3y+C3，于是再由 f(0，0)=1 的 C3=1，所以 f(x，y)=【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 因此函数的驻点为(1，1)，(一1，一 1)，(0，0) 在(1， 1)处，A=100，B=-2，C=100，AC B2=960，故(1，1)是极小值点， z(1，1)=一 2 是函数的极小值 在(一 1，一 1)处，A=100，B=-2 ，C=10 0，ACB 2=960，故( 一 1，一 1)是极小值点，z(一 1，一 1)=一 2

16、是函数的极小值 在(0 ，0)处，A=一 2，B=一 2，C=一 2，AC-B 2=0，无法用函数取极值的充分条件判断，需用函数极值的定义判断将函数改写成z=x4+y4-(x+y)2，则易知：在点(0，0)的充分小的去心邻域内，若点(x，y)位于 y=一 x 上，则 z=2x40=f(0，0)；若点(x,y) 位于 x=0 上，则 z=y2(y2-1)0=f(0 ，0) 故(0，0)不是函数的极值点 总之，函数的极小值为一 2，没有极大值【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 令可得无穷多个驻点：(n，(一 1)n 一 1)(n=0，1，2，)当 n=2k(k为整数)时，对应的驻点为

17、(2k，0)，此时 A=一 2 0，B=0 ，C=一 1，AC B2=20，故(2k，0) 是极大值点，极大值为 2 当 n=2k+1(k 为整数)时，对应的驻点为(2k+1) ，一 2)，此时 A=1+e-2，B=0，C=一 e-2，AC 一 B2=一 e-2.(1+e-2)0，故(2k+1) ，一 2)不是极值点 综上可知，函数 z=(1+ey)cos xyey 有无穷多个极大值而无极小值【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 转化为无条件极值 由约束条件可得 x2=1y2，一 1y1，代入目标函数 f(x，y)=x 2+2y2 中，得 (y)=(1 一 y2)+2y2=1+y2

18、，一 1y1 由 (y)=2y=0 得唯一驻点 y=0，又 (0)=1，(1)=2，可知 (y)的最大值为 2，最小值为0故函数 f(x，y)=x 2+2y2 在约束条件 x2+y2=1 下的最大值和最小值分别为 2，0【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 设 p(x，y)为椭圆 x2+4y2=4 上任意一点，则 p 到直线 2x+3y 一6=0 的距离为 求 d 的最小值点即求 d2 的最小值点下面利用拉格朗日乘数法求 d2 的最小值点由问题的实际意义最短距离存在，因此 即为所求的极小值点【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 故在点 M0(x0，y 0，z 0)处椭球

19、面的切平面方程整理得 (2)过点M0(x0，y 0，z 0)的切平面在三个坐标轴上的截距分别为 所围体积为上述前三个方程分别乘 x，y，z 再相加， 将此代入第一个方程中，得同理，将 的值分别代入第二个方程和第三个方程中，得 故在点 处的切平面与三个坐标面围成的空间区域的体积最小，其最小值为【知识模块】 多元函数微积分学30 【正确答案】 首先求出 f(x，y)的表达式由 dz=2xdx 一 2ydy，可知 z=f(x，y)=x2 一 y2+C再由 f(1，1)=2得 C=2，故 z=f(x， y)=x2 一 y2+2其次求区域 D 内部的可能极值点由方程组 可知在区域 D 内有一个驻点(0，0)f(0，0)=2最后求区域 D 的边界上的可能极值点，转化为无条件极值计算在椭圆 ，z=x 2 一(44x 2)+2=5x2 一 2，其中(一 1x1)，其最大值为 z|x=3，最小值为 z|x=0=一 2再与 f(0，0)=2 比较，可知 f(x，y)在椭圆域 D 上的最大值为 3，最小值为一 2【知识模块】 多元函数微积分学