[考研类试卷]考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷21及答案与解析.doc

1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 fx(x0，y 0)存在，则 =( )（A）f x(x0，y 0)。（B） 0。（C） 2fx(x0，y 0)。（D） fx(x0，y 0)。2 二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是 ( )3 设函数 f(x， y)可微，且对任意 x，y 都有 0，则使不等式 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是( )（A）x 1x 2，y 1y 2。（B） x1x 2，y 1y 2。（C） x1x 2，y 1y 2。（D）x 1x 2，y

2、 1y 2。4 设 ，其中D=(x，y) x 2+y21，则 ( )（A）I 3I 2 I1。（B） I1I 2I 3。（C） I2I 1I 3。（D）I 3I 1 I2。5 设函数 f()连续，区域 D=(x，y)x 2+y22y，则 f(xy)dxdy 等于( )（A） 1 1dx f(xy)dy。（B） 202dy f(x，y)dx 。（C） 0d02sinf(r2sincos)dr。（D） 0d02sinf(r2sincos)rdr6 设函数 f(x)连续，若 F(，)= dxdy，其中区域 D 为图 141中阴影部分，则 =( )（A）f( 2)。（B） f(2)。（C） f()。（

3、D） f()。7 f(rcos，rsin)rdr(a0)，则积分域为( )（A）x 2+y2a2。（B） x2y 2a2(x0)。（C） x2y 2ax。（D）x 2y 2ax(y0)。8 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)= ，其中 D 表示区域0x1，0y1，则 =( )二、填空题9 设 z= =_。10 设 z=f(lnx+ )，其中函数 f()可微，则 =_。11 设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 f(xy， )=y2(x2 一 1)，则 dz=_。12 设 z= f(xy)+y(x+y)，f， 具有二阶连续导数，则 =_。13 设 =一 siny+ ，且 z(1，y)=s

4、iny，则 z(x，y)=_。14 设 f(x)，g(x) 是连续函数， F(x，y)= 1xd0yf(t)g( )dt，则 =_。15 D 是顶点分别为(0，0)，(1，0) ，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则 (1+x)sinyd=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 证明可微的必要条件：设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx(x0，y 0)与fy(x0，y 0)都存在，且 =fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y。17 设 z= 。18 设 z=fxy，yg(x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1处

5、取得极值 g(1)=1，求 。19 设函数 f(x，y)=3x+4y x2 一 2y2 一 2xy。试问参数 ， 满足什么条件时，函数有唯一极大值? 有唯一极小值 ?20 求z在约束条件 下的最大值与最小值。21 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D 是由 y=一 x， 所围成的平面区域。22 计算二重积分 xyd，其中区域 D 由曲线 r=1+cos(0)与极轴围成。23 计算 x+ydxdy。24 计算二重积分 (x+y)3dxdy，其中 D 由曲线 x= =0 及 x一 =0 围成。25 计算二重积分 (x2+y2)d，其中 D 是由直线 x=2，y=2，x+y=1，x+y=3 以及

6、x轴与 y 所围成的平面区域。25 求下列积分。26 设 f(x)=1xey2 dy，求 01x2f(x)dx；27 设函数 f(x)在0，1连续且 01f(x)dx=A，求 01dxx1f(x(f(y)dy。考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意=fx(x0，y 0)+fx(x0，y 0)=2fx(x0，y 0)，故选 C。【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 按可微性定义，f(x，y)在(0 ，0)处可微题中的 C 项即 A=B=0 的情形。故选

7、C。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由 ，需对 x 和 y 分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数 f(x，y)关于变量 x 是单调递增的，关于变量 y 是单调递减的。因此，当 x1x 2，y 1y 2 时，必有 f(x1，y 1)f(x 2， y1)f(x 2，y 2)，故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D=(x，y)x 2+y21上，有 0x2+y21，从而有x2+y2(x2+y2)20。已知函数 cosx 在(0， )上为单调减函数，于是 0 cos(x2+y2)cos(x2+y2)2，故应选 A。【知识模

8、块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域 D=(x，y)x 2+y22y(如图 143)。在直角坐标系下，故排除A、B 两个选项。在极坐标系下 f(xy)dxdy=0d02sinf(r2sincos)rdr，因此正确答案为 D。【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 题设图象中所示区域用极坐标表示为 0，1r。因此可知F(，)= =1f(r2)dr，根据变限积分求导可得=f(2)。【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由 r=acos 知 r2=arcos，即 x2+y2=ax(a0)，故选 C。【知识模块】 多元函数微

9、积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 因此应选 C。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知：【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 0【试题解析】 因为 所以 =0。【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 (2xy)dxxdy【试题解析】 利用变量替换，设 xy=， =，则有 x2= ，y 2=，f(，)=( 一 1)=2 一 ，即 f(x，y)=x 2 一 xy，因此 dz=(2xy)dxxdy。【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 yf (xy)+(x+y)+y(x+y)【试题解析】 由题干可得： f(xy)+y

10、(x+y)，f(xy)+yf(xy)+(x+y)+y(x+y)=yf(xy)+(x+y)+y(x+y)。【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 (2 一 x)siny+【试题解析】 由 ，有 z(x，y)=(siny+ )dx=一 xsiny 一ln1 一 xy+g(y) 。又根据已知可得 z(1，y)=一 siny ln1 一 y+g(y)=siny，g(y)=2siny+ ln1y，从而 z(x，y)=(2 一 x)siny+ 。【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 xg( )f(x2y)【试题解析】 因为 F(x， y)=1xdf(t)g( )dt，于是【知识模块】

11、 多元函数微积分学15 【正确答案】 +sin1+cos1 一 2sin2 一 cos2【试题解析】 积分区域可以表示为 D=(x，y)0y1+x ，0x1 ，则 (1+x)sinyd=01dx01x sinydy=01(1+x)一(1+x)cos(1+x)dx，利用换元法，令1+x=t，x 0，1时，t1，2，则 (1+x)sinyd=12ttcostdt= +sin1+cos1 一2sin2 一 cos2。【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则等式z=Ax+B y+成立。令y=

12、0 ，于是，令=B，于是证明了 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)存在，并且 dz (x0，y0) =fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y。【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 先求 。而且 f(x)是一元函数 f()与二元函数 =xy 的复合， 是中间变量；(xy)是一元函数 ()与二元函数 =x+y 的复合， 是中间变量。由于 方便，由复合函数求导法则得+(x+y)+y(x+y) (x+y)=f(xy)+(x+y)+y(x+y)，=yf(xy)+(x+y)+y(x+y)。【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 由题意 =f1xy，yg(x)y+f

13、2xy，yg(x)yg (x)，=f11xy，yg(x)xy+f 12xy，yg(x)yg(x)+f 1xy，yg(x)+f 21xy，yg(x)xyg (x)+f22xy，yg(x)yg(x)g (x)+f2xy，yg(x)g (x)。由 g(x)在 x=1 处取得极值 g(1)=1，可知 g(1)=0。故 =f111，g(1)+f 121，g(1)g(1)+f 11，g(1)+f 211，g(1)g(1)+f221， g(1)g(1)g(1)+f21，g(1)g (1)=f11(1，1)+f 12(1，1)+f 1(1，1)。【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 根据取得极值的

14、必要条件，得方程组 系数行列式=4(2 2 一 2)，所以当0 时，f(x，y) 有唯一驻点，即B2 一 AC=42 一 82=一4(22 一 2)。当 B2 一 AC0，即 22 一 20 时，f(x ，y)有极值，且当 A=一2 0 时，即 0 时，f(x，y)有极小值；当 A=一 20 时，即 0 时，f(x，y)有极大值。综上分析，得当 22 20 且 0 时有唯一极小值；当 22 一 20且 0 时有唯一极大值。【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 z 的最值点与 z2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F(x，y，z， ，)=z 2+(x2+9y2 一 2z2)+(x+

15、3y+3z 一 5)。且令解得(x，y，z) 1=(1， ，1)，(x，y，z)2=(5， ，5)所以当 x=1，y= 时，z =1 最小；当 x=一 5，y= 时，z=5 最大。【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 x 2 一 2x+y2=0 (x 一 1)2+y2=1；y=一 x 与 x2+y2=4 的交点为；y=一 x 与 x2 一 2x+y2=0 的交点为(0，0)和(1，一 1)；x2+y2=4 与 x2 一 2x+y2=0 的交点为(2 ，0)。【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 由题意， 令 =cos 得，原式= 。【知识模块】 多元函数微积分学23 【

16、正确答案】 令 因此【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 积分区域如图 1422 所示，D=D 1D2，其中D1=(x，y)0y1， ；D2=(x，y) 一 1y0， 由于 (x+y)3dxdy= (x3+3x2y+3xy2+y3)dxdy，且区域 D 关于 x 轴是对称的，被积函数 3x2y+y3是 y 的奇函数，所以 (3x2y+y3)dxdy=0。【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 由题设知，积分区域是如图 1425 所示的六边形区域，且D=D1+D2，其中 D1=(x， y)0x1 ，1 一 xy2，D 2=(x，y)1x2，0y3一 x。 于是【知识模块】 多元函数微积分学【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 令 (x)=x1f(y)dy，则 (x)=一 f(x)，于是 01dxx1f(x)f(y)dy=01x1f(y)dyf(x)dx=一 01(x)d(x)= 2(x) 01= A2。【知识模块】 多元函数微积分学