[考研类试卷]考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷7及答案与解析.doc

1、考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP-1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵2 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵3 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T，则 A 的线性无关特征向量个数

2、为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A-1+B-1（C） A*+B*（D）A-B二、填空题5 设 AB，其中 A= ，则x=_， y=_6 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1=3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 1= ，则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_7 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_8 设 = 的特征向量，则 a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设矩阵 A= 有一个特征值为 3

3、9 求 y；10 求可逆矩阵 P，使得(AP) T(AP)为对角矩阵10 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2-3A=O，设(1，1，-1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量11 求 A 的特征值；12 求矩阵 A13 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8， 2=3=2，矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 1= ，属于特征值 2=3=2 的特征向量为 2= ，求属于 2=3=2的另一个特征向量14 设 n 阶矩阵 A 满足(aE-A)(bE-A)=O 且 ab证明：A 可对角化15 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A=T证明： A 不可以相似对角化15 设 A=

4、16 证明：A 可对角化；17 求 Am18 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 x，y 满足的条件19 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=O证明：A 不可以对角化20 设 A 为三阶矩阵，A i=ii(i=1，2，3)， 1= ，求A21 设 = 的逆矩阵 A-1 的特征向量求 x，y，并求 A-1 对应的特征值 22 设 A= 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 22 设 AB，A=23 求 a，b；24 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B24 设 A= 且 AB25 求 a；26 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B2

5、6 设 A= 有三个线性无关的特征向量27 求 a；28 求 A 的特征向量；29 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角阵考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D) 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 (A)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而

6、非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A=TO，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=E，由 A2X=T.TX=O=2X 得 =0， 因为 r(OE-A)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C) 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A-

7、1，B -1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X=(CX)TA(CX)0(因为 C可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A-1+B-1 与 A*+B*都是正定矩阵，选(D) 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题5 【正确答案】 3,1【试题解析】 因为 AB，所以 ，解得x=3，y=1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2=3=5 对应的特征向量为 =0 得 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为 2=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向

8、量7 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A2=3A，令 Ax=X，因为 A2X=X，所以有( 2-3)X=，而X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1+2+2=tr(A)=(，)，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 2,3【试题解析】 由 A= 得 解得=5，a=2，b=3【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 因为 3 为 A 的特征值，所以3E-A=0，解得 y=2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 (AP)

9、T(AP)=PTATAP=PTA2P，A 2= ，E-A 1=0 得1=1， 2=9，当 =1 时，由(E-A 1)X=0 得 1= ；=9 时，由(9E-A 1)X=0 得 2=单位化得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 A 2-3A=O A3E-A=0 =0，3，因为 r(A)=1，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 设特征值 0 对应的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则 x1+x2-x3=0，则 0对应的特征向量为 2=(-1，1，0) T， 3=(1，0，1) T，令【知识模块】

10、 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有令 2=3=2 对应的另一个特征向量为考 3= ，由不同特征值对应的特征向量正交，得x1+x2+x3=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 由(E-A)(bE-A)=O，得aE-A .bE-A=0，则aE-A=0 或者bE-A=0又由(aE-A)(bE-A)=O，得 r(aE-A)+r(bE-A)n同时 r(aE-A)+r(bE-A)r(aE-A)-(bE-A)=r(a-b)E=n所以 r(aE-A)+r(bE-A)=n(1)若aE-A0 ，则 r(aE-A)=n，所以 r(bE

11、-A)=0，故 A=bE(2)若bE-A0，则 r(bE-A)=n，所以 r(aE-A)=0，故 A=aE(3)若aE-A=0 且bE-A=0 ，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(aE-A)个；方程组(bE-A)X=0 的基础解系含有 n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(bE-A)个因为 n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模

12、块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=2X， 因为 ， 正交，所以 A2=T.T=O，于是 2X=0，而X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= n=0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0E-A)=r(A)1，所以 n-r(OE-A)n-1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 由E-A=(=1) 2(+2)=0 得 1=2=1， 3=-2当 =1 时，由(E-A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 1= 当

13、 =-2 时，由(-2E-A)X=0 得 =-2 对应的线性无关的特征向量为 3= 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 令 P=于是 Am=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 由E-A= =(+1)(-1)2=0 得 1=-1， 2=3=1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(E-A)=1，由 E-A= 得 x+y=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 方法一 令 AX=X(X0)，则有 AkX=kX，因为 Ak=O，所以kX=0，注意到 X0，故

14、 k=0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0因为 r(0E-A)=r(A)1，所以方程组 (0E-A)X=0 的基础解系至多含 n-1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化方法二 设矩阵 A 可以对角化，即存在可逆阵 P，使得 P-1AP=从而有1=2= n=0，于是 P-1AP=O，进一步得 A=O，矛盾，所以矩阵 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 令 P=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 令 A=0，即 ，解得0=4，x=10，y=-9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正

15、确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由因为A=-1，所以 a=2，于是 a=2，b=-3 ，c=2，= =1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 方法一 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1=2=2，因为A 相似于对角阵，所以 r(2E-A)=1，而 2E-A=，于是 a=5，再由 tr(A)=tr(B)得 b=6方法二 E-A=(-2) 2-(a+3)+3(a-1)=f()，因为 =2 为 A 的二重特征值，所以 a=5，于是E-A =(-2)2(-6)，故 b=6【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确

16、答案】 由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 =由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3= 令 P=，则 P-1AP=B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(-1)+2，于是 a=0【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由E-A= =(+1)(-1)(-2)=0 得、A，B 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=2当 =-1 时，由(-E-A)X=0 即(E+A)X=0 得 1=(0，-1，1) T；当 =1 时，由

17、(E-A)X=0 得 2=(0，1，1) T；当 =2 时，由(2E-A)X=0 得3=(1，0，0) T，取 P1= 当 =-1 时，由(-E-B)X=0 即(E+B)X=0 得 1=(0，1，2) T；当 =1 时，由(E-B)X=0 得 2=(1，0，0) T；当 =2 时，由(2E-B)X=0 得 3=(0，0，1) T，取 P2=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 由E-A= =(+2)(-1)2=0 得矩阵 A 的特征值为 1=-2， 2=3=1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(E-A)=1，由 E-A= 得 a=-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 将 =-2 代入(E-A)X=0，即(2E+A)X=0，由 2E+A=得 =-2 对应的线性无关的特征向量为1= 将 =1 代入(E-A)X=0，即(E-A)X=0，由 E-A=得 =1 对应的线性无关的特征向量为 2=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 令 P=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量