1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶矩阵，A 2=A，则下列成立的是( )（A）A=O（B） A=E（C）若 A 不可逆，则 A=O（D）若 A 可逆，则 A=E2 设 A=(1， 2， m)，若对于任意不全为零的常数 k1，k 2，k m，皆有k11+k22+kmm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=（D）若 AB=O，则 B=O3 设 1， 2， ， m 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， s)=r，则(
2、 )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)=r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价4 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 AX=b 的解（C）方程组 AX=0 的通解为 k(1+2)（D）AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)5 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=n
3、C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示6 设三阶矩阵 A 的特征值为-1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P=(32，- 3， 21)，则 P-1AP 等于( )7 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题8 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E-A=E-2A= E-3A=0，则B -1+2E=_9 设 A= ，BO 为三阶矩阵，且 BA=O，则 r(B)=
4、10 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3 满足_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 A 是正交矩阵，且A0， X T(ATA)X=(AX)T(AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以 (AX) T(AX)=T= 20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型，A TA 为正定矩阵，所以ATA 的特征值全大于零【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 二次型 f=2x12+x22+ax32+2x1x2+2bx13+2x2x3 的矩阵形式为 f=XTAX其中 ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4而E-A= 3-(a+4)2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b2+2)，所以有 3-(a+4)2+(4a-b2+2)+(-3a-2b+2b2+2)=(-1)2(-4)，解得 a=2，b=1当 1=2=1 时，由(E-A)X=0 得 由 3=4 时，由(4E-A)X=0 得 3= 显然 1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 线性代数部分
