[考研类试卷]考研数学二（线性代数）模拟试卷23及答案与解析.doc

1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是 n 阶方阵，满足 AB=O，则必有 ( )（A）A=O 或 B=O（B） A+B=O（C） A=0 或B=0（D）A+B=02 A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（A）(A 2)一 1=(A 一 1)2（B） (A+B)一 1=A 一 1+B 一 1（C） (A+B)(AB)=A2 一 B2（D）(kA) 一 1=kA 一 1(k0)3 已知 A，B，A+B，A 一 1+B 一 1 均为 n 阶可逆阵，则 (A 一 1+B 一 1)一 1 等于 (

2、 )（A）A+B（B） A 一 1+B 一 1（C） A(A+B)一 1B（D）(A+B) 一 14 下列命题正确的是 ( )（A）若 AB=E，则 A 必可逆，且 A 一 1=B（B）若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆（C）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆（D）若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则仙必不可逆5 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=0，则 ( )（A）A 不可逆，且 E 一 A 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A2=O6 设 A，B 是 n 阶矩阵，AB=O，

3、BO，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） B 0（C） B* =0（D）A *=07 A 是 n 阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，则A *= ( )（A）A（B） A 一 1（C） An 一 1（D）A n8 A 是 n 阶矩阵，A=3则(A *)*= ( )9 设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)*= ( )（A）A n 一 1A（B） A n+1+A（C） A n 一 2A（D）A n+2A二、填空题10 设 =1， 0，1 T，A= T，n 是正数，则aE 一 An=_11 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A=2，B=一 3，则2A

4、 *B 一1=_12 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，C= ，则C =_13 已知 AB 一 B=A，其中 B= ，则 A=_14 设 A 为奇数阶矩阵，AA T=ATA=E，A0，则AE=_15 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A 一 1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=O 的充要条件是 AAT=O17 设 A= (1) 证明：当 n3 时，有 An=An 一 2+A2 一 E；(2)求 A10018 设 A= (1)计算 A2，并将 A2 用 A 和 E 表出；(

5、2)设 A 是二阶方阵，当k2 时，证明：A k=O 的充分必要条件为 A2=O19 证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵20 证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则(A *)T=(AT)*21 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A *=( 一 A)*(n2)22 已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 A 一 1= ，试求其伴随矩阵 A*的逆矩阵23 已知 X=AX+B，其中 A= ，求矩阵 X24 已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A2 一 3A 一 2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A 一 125 已知对于 n 阶方阵 A，存在自

6、然数 k，使得 Ak=O试证明：矩阵 E 一 A 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)26 设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= ，求矩阵 B27 设 M= 可逆，其中 A，D 皆为方阵，求证： A，D 可逆，并求 M 一 128 设矩阵 A= ，矩阵 X 满足 AX+E=A2+X，其中 E 为 3 阶单位矩阵，试求出矩阵 X29 假设 A= ，求 A 的所有代数余子式之和考研数学二（线性代数）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB=O AB= AB=0，故A=0 或B

7、=0【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因(A 2)一 1=(AA)一 1=A 一 1A 一 1=(A 一 1)2；(B)不成立，例：B=一A，A+B 不可逆； (C)中，ABBA，BA 一 ABO；(D)中，(kA) 一 1= A 一 1kA 一1【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 验算 (A 一 1+B 一 1)A(A+B)一 1B=(E+B 一 1A)(A+B)一 1B =B 一 1(B+A)(A+B)一 1B=B 一 1B=E， 故 (A 一 1+B 一 1)一 1=A(A+B)一 1B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因

8、A，B 不可逆，则A=0，B=0 ，故AB= AB=0，AB 不可逆(A) 中 AB=E，未指出是方阵，若 A=则 AB=E，但 A,B 均无逆可言(B)中，取 B=一 A，则A+B=A 一 A=O 不可逆(C) 中，取 A= 均不可逆，但 A 一B=E 是可逆阵【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O，有 E 3+A3=(E+A)(A2 一 A+E)=E， E 3 一 A3=(E 一 A)(A2+A+E)=E，故 A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆由以上两式知， E 一 A，E+A 也均可逆，故(A) ，(B)不成立，同时【知识模块】 线性代数6 【正确答案

9、】 D【试题解析】 AB=O ，不一定有 BA=O，故(A) 中 (A+B)2=A2+B2，不成立；BO，B可以为零，也可以不为零， B*也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立； BO，AB=O，AX=0 有非零解，故A=0 ，从而A *= A n 一1=0【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=AE，两边取行列式，得A A *=A n 若A0，A *=A n 一 1=A n 一 1； 若A=0，则A *=0，故选(C)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 A=3，A 可逆 (A *)(A*)*=A *E， (A *)*=A *(A *)一1

10、= A* =A n 一 2A， (A *)*=A n 一 2A=A (n 一 2)nA =【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 AA *=AE，得 A*(A*)*=A *E，(A *)*=A *(A *)一 1，【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 a 2(a 一 2n)【试题解析】 An=(T)n=TT T=(T)(T)( T)T=2n 一 1A，【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 一 22n 一 1【试题解析】 2A *B 一 1=2 nA *B 一 1=2 nA n 一 1 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 C

11、= =(一 1)mnA B=(一 1)mnab【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 AB 一 B=AA=B(BE) 一 1=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 A 一 E=AAA T=A(E 一 AT)=A (EA)T=AE A 由于 AAT=ATA=E，可知A 2=1又由于A 0，可知A=1又由于 A 为奇数阶矩阵，故 E 一 A=一(AE)=一AE， 故有AE =一AE ，可知AE =0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 diag(3，2，1)【试题解析】 由 A 一 1BA=6A+BA 得 B=6A(E 一 A)一 1=diag(3，2，1)

12、，其中， 1， 2， n 全不为零【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 应有aij2=0，i=1，2，n ，即 aij=0(i=1，2， n；j=1，2，n)，即 A=O 反之，若 A=O，显然 AAT=O【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)用归纳法 n=3 时，因 A2= ，验证得A2=A+A2 一 E，上式成立 假设 n=k 一 1(n3)时成立，即 Ak 一 1=Ak 一 3+A2E 成立，则 A k=AA k 一 1=A(Ak 一 3+A2 一 E)=Ak 一 2+A3 一 A =Ak 一 2+(A+A2 一 E)一A=

13、Ak 一 2+A2 一 E， 即 n=k 时成立故 An=An 一 2+A2 一 E 对任意 n(n3)成立 (2)由上述递推关系可得 A 100=A98+A2 一 E=(A96+A2 一 E)+A2 一 E =A96+2(A2 一 E)=A2+49(A2 一 E) = 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)解得x=a+d，y=bc 一 ad，即 A 2=(a+d)A+(bc 一 ad)E (2) 充分性 A 2=OA k=O，k2，显然成立； 必要性 A k=OA=ad 一 bc=0，由 (1)知 A2=(a+d)A，于是 Ak=(a+d)k 一 1A=O，即 A=O 或 a+d=

14、0，从而有 A2=(a+d)A=O【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (A *)T=( AA 一 1)T=A (A 一 1)T=A(A T)一 1=A T(A T)一1=(AT)*【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 A=(aij)nn，A的元素 aij 的代数余子式为 Aij，则A 的元素一 aij 的代数余子式为 B ij=(一 1)n 一 1Aij， 于是(A) *=(一 1)n 一 1(Aij)nn(一 1)n 一1A*，所以 (一 A)*= (一 1)n 一 1A*=(一 1

15、)n 一 1nA *=A *【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (A *)一 1=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 X=(E A)一 1B=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A *3A 一 2E=O【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 E=E 一 Ak=Ek 一 Ak=(E 一 A)(E+A+Ak 一 1)，所以 E 一 A 可逆，且 (EA) 一 1=E+A+Ak 一 1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 AB=A+2BB=(A 一 2E)一 1A=【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 M 可逆M=AD0A 0 ，D 0A ，D可逆【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 AX+E=A 2+X(A E)X=(A 一 E)(A+E)又A E= 一 10，则 X=A+E= 【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A 的所有代数余子式之和即为 A*所有元素之和 0【知识模块】 线性代数