[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编14及答案与解析.doc

1、考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 等于（A） 01ln2xdx（B） 212lnxdx（C） 212ln(1+x)dx（D） 12ln2(1+x)dx2 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， “M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数3 设 f(x)是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 是其第一类间断点，则 0xf

2、(t)dt 是（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在 x=0 间断的奇函数（D）在 x=0 间断的偶函数4 如图，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2， 3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设F(x)=f0x(t)dt，则下列结论正确的是5 如图，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a 上有连续的导数，则定积分0xxf(x) dx 等于（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 面积6 设函数 y=f(x)在区间一

3、1，3上的图形为则函数 F(x)=0xf(t)dt 的图形为7 设 m，n 均是正整数，则反常积分 的收敛性（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m，n 的取值都无关8 设 则 I，J ，K 的大小关系为（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI二、填空题9 =_10 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_11 广义积分 =_12 01e 一 xsinnxdx=_13 已知 一 +ek|x|dx=1，则 k=_14 当 0 时，对数螺线 r=e 的弧长为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(

4、x)= ()证明 f(x)是以 为周期的周期函数 ()求 f(x)的值域16 曲线 与直线 x=0，x=t(t 0)及 y=0 围成一曲边梯形，该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 x=t 处的底面积为F(t)17 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限18 如图，C 1 和 C2 分别是 y= (1+ex)和 y=ex 的图像，过点(0，1)的曲线 C3 是一单调增函数的图像，过 C2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 lx 和ly，记 C1，C 2 与 lx 所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3 与 ly

5、 所围图形的面积为S2(y)如果总有 S1(X)=S2(y)，求曲线 C3 的方程 x=(y)19 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是曲线 C 在点 (0，0)与(3 ，2)处的切线，其交点为(2 ，4) 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 03(x2+x)f“(x)dx20 21 已知曲线 L 的方程为 ()讨论 L 的凹凸性；()过点(一 1， 0)引 L 的切线，求切点 (x0，y 0)，并写出切线的方程；()求此切线与 L(对应于 xx0 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积22 设 f(x)是区间0， 上的单

6、调、可导函数，且满足 0f(x)f 一 1(t)dt=0xt其中 f 一 1 是 f 的反函数，求 f(x)23 设 D 是位于曲线 y= (a1，0x+)下方、x 轴上方的无界区域()求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；()当 a 为何值时，V(a)最小？并求此最小值24 计算25 ()证明积分中值定理：若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点a， b，使得 abf(x)dx=f()(b 一 a)； ()若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2)2(x)dx，则至少存在一点 (1，3)，使得 “()026 计算不定积分27 ()比较 01|ln

7、t|ln(l+t)ndt 与 01tn|lnt|dt(n=1，2，)的大小，说明理由；()记un=01|lnt|ln(1+t)ndt(n=1， 2，)，求极限 un28 一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a，短轴为 26 的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时(如图)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数 kg/m3)考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 故应选(B) 2 【正确答案】 A【试题解析】 直接法 若 F(x)是连续函数 f(

8、x)的原函数，且 F(x)是偶函数，则 F(一 x)=F(x)，式两端对 x 求导得一 F(一 x)=F(x)即 一 f(一 x)=f(x)故 f(x)为奇函数反之，若 f(x)为奇函数，则 G(x)=0xf(t)dt 是 f(x)的一个原函数，又 G(一 x)=0 一 xf(x)dt 0xf(u)du=G(x)则 G(x)是偶函数，由于 F(x)也是 f(x)的原函数，则 F(x)=G(x)+CF(x)亦是偶函数，故应选 (A)3 【正确答案】 B【试题解析】 直接法 由于 f(x)是奇函数，则 0x(t)dt 是偶函数，又由于 f(x)除 x=0外处处连续，且 x=0 是其第一类间断点，则

9、 f(x)在任何一个有限区间上可积，从而0xf(t)出为连续函数，故应选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知 也可利用 f(x)是奇函数，则 F(x)=0xf(t)出为偶函数，从而则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 0a(x)dx=0af(x)=xf(x)|0a 一 0af(x)dx =af(a)一 0af(x) dx 其中 af(a)应等于矩形 ABOC 的面积， 0af(x)如应等于曲边梯形 ABOD 的面积，则 0axf(x)dx 应等于曲边三角形 ACD 的面积6 【正确答案】 D【试

10、题解析】 由题设知，当 x(一 1，0) 时 F(x)=f(x)，而当 x(一 1，0)时 f(x)=1 0，即 F(x)0，从而 F(x)单调增，显然(A)选项是错误的，因为(A)选项中F(x)在( 一 1，0)中单调减 由于 F(x)=0xf(t)dt，则 F(0)=0，显然(C)选项错误 由于当 x(2，3时 f(x)=0，则当 x(2，3时 F(x)=0xf(t)dt=02f(t)dt+2xf(t)dt=02f(t) dt+2x0dt=F(2) 则(B)是错误的，(D)是正确的7 【正确答案】 D【试题解析】 故原反常积分的敛散性与 m 和 n 的取值无关8 【正确答案】 B【试题解析

11、】 当 x(0， )时，sinx cosx1cotx，而 lnx 为单调增的函数，则lnsinxlncosx lncotx x 故应选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处连续，则 f(x)=a，而11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 0【试题解析】 13 【正确答案】 一 2【试题解析】 1= 一 +ek|x| dx=20+ekxdx= ，(k0)k=一 214 【正确答案】 (e 一 1)【试题解析】 所求弧长为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 ()f(x+)= 令

12、t=u+，则有故 f(x)是以 为周期的周期函数() 由于|sinx| 在(一 ，+) 上连续，则 f(x)为(一 ，+)上的连续函数，注意到 f(x)以 为周期，故只须在0，上讨论其值域，因为16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 由题设 S1(x)=S2(y)，知故曲线 C3 的方程为19 【正确答案】 由(3，2)是曲线 y=f(x)的拐点知，f“(3)=0 ；由直线 l1 与 l2 分别是曲线 y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f(0)=2 ，f(3)=一 2，f(0)=0，f(3)=2利用分部积分法可得 03(x2+x)f“(x)dx=(x2+x)

13、 f“(x)| 03 一 03(2x+1)f“(x)dx =一03(2x+1) f“(x)dx =一(2x+1)f(x)+2 03f(x)dx =一 7(一 2)一 2 +203f(x)dx = 16+2 f(x)|03=16+4=2020 【正确答案】 21 【正确答案】 () 由于 当 t0 时， 0，故 L上凸() 因为当 t=0 时，L 在对应点处的切线方程为 x=1，不合题意，故设切点(x0，y 0)对应的参数为 t0 0，则 L 在(x 0，y 0)处的切线方程为 y 一(4t 0 一 t02)=(x 一 t02 一 1)令 x=一 1，y=0，得 t 02+t0 一 2=0 解得

14、 t0=1，或 t0=一 2(舍去)由 t0=1 知，切点为 (2， 3)，且切线方程为 y=x+1()由 t=0，t=4 知 L 与 x 轴交点分别为(1 ，0) 和(17，0)所求平面图形的面积为22 【正确答案】 而 f(0) =0，则 C=0f(x) =ln(sinx+cosx)23 【正确答案】 令 V(a)=0，得 a=e 且当 1ae 时，V(a) 0；当 ae，V(a)0，则 V(a)在 a=e处取极小值而 a=e 是唯一的极值点，则 Vmln(e)=e224 【正确答案】 25 【正确答案】 () 设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a，b上的最大值与最小值，即mf(x)M

15、，xa，b由定积分性质，有 m(b 一 a)abf(x)dxM(b 一 a)即 由连续函数介值定理，至少存在一点 a，b，使得f()= abf(x)dx，即 abf(x)dx=f()(ba)() 由()的结论，可知至少存在一点2，3 ，使 23(x) dx=()(3 一 2)=(n)又由 (2) 232(x)dx=()知，23对 (x)在1，2和2，上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到 (1)(2)，()(2)，得 在1， 2上对导函数 (x)应用拉格朗日中值定理，有(1， 2) (1，3) 26 【正确答案】 27 【正确答案】 () 当 0t1 时，因为 ln(1+t)t，所以|lnt|ln(1+t) ntn|lnt|，因此 01|lnt|ln(1+t)ndttn|lnt|dt()由()知 0un=01|lnt| ln(1+t)dt01tn|lnt|dt因为01|lnt|dt=一 01tnlntdt=28 【正确答案】 如图建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为 =1图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形，记 S1 为下半椭圆面积，则 S1= ；记 S2 是位于 x 轴上方阴影部分的面积，则