[考研类试卷]考研数学二（高等数学）模拟试卷54及答案与解析.doc

1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x，y)在(x 0，y 0)处偏导数存在，则在该点函数 f(x，y)( )（A）有极限（B）连续（C）可微（D）以上结论均不成立二、填空题2 设 f(x，y， z)=exyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 fx(0，1，一 1)=_3 已知4 设 2sin(x+2y 一 3z)=x+2y 一 3z，则5 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3，f y(1，2)=4 ，(x)=f(x，f(x，2x)，则 (

2、1)=_6 设 则 2fx(0，0)+f y(0，0)=_7 由 x=zey+z 确定 z=z(x，y)，则 dz|(e,0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 f(x)= 求 02f(x 一 )dx9 设 f(x)= 求 13f(x 一 2)dx10 设 f(x)=arcsin(x 一 1)2 且 f(0)=0，求 I=01f(x)dx11 设 f(u)是连续函数，证明： 0xf(sinx)dx=12 设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，|f(x)一 f(y)|arctanx 一 arctany|，又 f(1)=0，证明：13 证明： 0xasinxd

3、x. 其中 a0 为常数14 证明：15 设 f(x)，g(x) 为a，b 上连续的增函数(0a b)，证明： abf(x)dxabg(x)dx(b 一a)abf(x)g(x)dx16 设 f(x)在0，1上可导，且 |f(x)|M，证明：17 设函数 f(x)在0，2上连续可微，f(x)0 ，证明：对任意正整数 n，有18 设 f(x)在(一，+)上是导数连续的有界函数，|f(x)一 f(x)|1证明：|f(x)|119 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明： abf(x)dx20 已知 f(x)在0，2上二阶连续可微， f(1)=0，证明：| 02f(x)dx| 其中21

4、 计算曲线 (0x)的弧长22 设 D=(x， y)|0x1，0y1)，直线 l：x+y=t(t0)S(t)为正方形区域 D 位于 l左下方的面积，求 0xS(t)dt(x0)23 求曲线 y=2e-x(x0)与 x 轴所围成的图形的面积24 设 f(x)是( 一+)上的连续非负函数且 f(x)0xf(x 一 t)dt=sin1x，求 f(x)在区间0， 上的平均值25 设抛物线 y=ax2+bx+c(a0)满足：(1)过点(0 ，0)及(1，2)；(2)抛物线 y=ax2+bx+c与抛物线 y=一 x2+2x 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值26 设 f(x)=-1x(1 一|t|)

5、dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积27 求曲线 y=xe-x(x0)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积28 设由 y 轴、y=x 2(x0)及 y=a(0a 1)所围成的平面图形及由 y=a，y=x 2 及 x=1所围成的平面图形都绕 z 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a29 设曲线 在点(x 0，y 0)处有公共的切线，求：(1)常数 a 及切点坐标； (2)两曲线与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积30 设 f(x，y)= 试讨论 f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性31 设连续函数 f(x)满足：

6、 01f(x)+xf(xt)dt 与 x 无关，求 f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x，y)= 显然 f(x，y)在(0，0)处偏导数存在，但 不存在，所以应选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 1【试题解析】 x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得将 x=0，y=1，z=一 1 代入得 故 fx(0，1，一1)=1【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 【试题解析】 两边关于 x 求偏导得【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 1【试题解

7、析】 两边关于 x 求偏导得 2cos(x+2y 一 3z)2sin(x+2y 一 3z)=x+2y 一 3z 两边关于 y 求偏导得【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 47【试题解析】 (x)=f x(x，f(x，2x)+f y(x，f(x ，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)， 则 (1)=fx(1，f(1，2)+f y(1，f(1 ，2)f x(1，2)+2f y(1，2) =fx(1，2)+f y(1，2).fx(1，2)+2f y(1，2)=3+4(3+8)=47【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 一 2【试题解析】 f(x，y)=一3x+4y+o()，由二元函数

8、可全微定义得 fx(0，0)=一 3，f y(0，0)=4 ，故 2fx(0，0)+fy(0，0)=一 2【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 x=e，y=0 时，z=1x=xe y+z 两边关于 x 求偏导得x=zey+z 两边关于 y 求偏导得【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 02f(x-)dx=02f(x-)d(x-)=-f(x)dx =-0f(x)dx+0f(x)d=-0(-1)dx+0xsinxdx=【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 13f(x 一 2)dx=13f(x 一 2)d(x 一 2)=-11f(

9、x)dx【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 由 f(0)=0 得 f(x)=0xarcsin(t 一 1)2dt，则 01f(x)dx=xf(x)|01 一01xarcsin(x 一 1)2dx =f(1)一 01(x 一 1)+1arcsin(x 一 1)2dx【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 I= 0xf(sinx)dx 0( 一 t)f(sint)(一 dt) =0f(sint)dt0tf(sint)dt=0f(sinx)dx02xf(sinx)dx=0f(sinx)dxI，则 0xf(sinx)dx=【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 由|f(x)|=|f(x)一

10、f(1)|=|arctanxarctan1|=|arctanx |得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 F(x，y)=f(x)-f(y)g(x)-g(y)，D=(x，y)|axb，ayb) ，因为f(x)，g(x) 在a，b 上为增函数，所以 F(x，y)0，从而 abdxabF(x，y)dy0， 而abdxabF(x，y)dy= abdxabf(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)dy =(b 一 a)abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(y)dyabg(x)

11、dxabf(y)dy+(b 一 a)abf(y)g(y)dy =2(b 一 a)abf(x)g(x)dx一 2abf(x)dxabg(x)dx， 故 abf(x)dxabg(x)dx(b 一 a)abf(x)g(x)dx【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(0)f(2)，从而 f(2)一 f(0)0【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为 f(x)有界，所以 于是 e-xf(x)|x+=x+e-xf(x)dx，即一 e-xf(x)=x+一 e-xf(x)一 f(x)dx，两边取绝对值得 e-x|f(x)|x+e-x

12、|f(x)一 f(x)|dxx+e-xdx=e-x，故|f(x)|1【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调递减，从而 (x)0(axb)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 所围成的面积为 A=0+2e-xdx=2(1)=2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 0xf(xt)dt x0f(u)(一 du)=0xf(u)du，由 f(x)0xf(u)du=sin4x得( 0xf(u)du)2=2 sin4x， (0xf(u

13、)du)2=0x2sin4xdx+C，取 x=0 得 C=0，即( 0xf(u)du)2=0x2sin4tdt【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 y=ax2+bx+c 过点(0，0)及(1 ，2)得 则 y=ax2+(2-a)x令 ax2+(2 一 a)x=一 x2+2x 得 x=0 及 所围成的图形面积为得 a=一 3，且当 a一 3 时，S(a)0；当 a一 3 时，S(a) 0，故当 a=一 3 时，所围成的面积最小，此时 a=一 3，b=5，c=0【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 (2)所求体积为V=V1+V2，【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 =0=f(0，0)得 f(x，y)在(0，0)处连续即 f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 01f(x)+xf(xt)dt=f(x)+01f(xt)f(xt)=f(x)+0xf(u)du，因为 01f(x)+xf(xt)dt 与 x 无关，所以 即 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce-x【知识模块】 高等数学