[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷286及答案与解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 286 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是( )2 设函数 f(x)在点 z=a 处可导，则函数 f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（A）f(a)=0 且 f(a)=0（B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a)0 且 f(a)03 设 f(x，y)= ，则函数在原点处偏导数存在的情况是 ( )（A）f x(0，0)，f y(0，0)都存在（B） fx(0，0)不存在，f y(0，0)存在（C） fx(0，0)存在，f y(0，0)不

2、存在（D）f x(0，0)，f y(0，0)都不存在4 设 ，其中D=(x，y) x 2+y21)，则( ) （A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I25 向量组 a1， a2，a m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 a1，a 2，a m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k1a1+k2a2+kmam0（C）向量组 a1，a 2，a m 的维数大于其个数（D）向量组 a1，a 2，a m 的任意一个部分向量组线性无关6 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则

3、 ( )（A）E-A=E-B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似7 设 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)+P =1，则( )（A）事件 A 和 B 互不相容（B）事件 A 和 B 互相对立（C）事件 A 和 B 互不独立（D）事件 A 和 B 相互独立8 设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2，则对任意常数 C 有( )（A）E(X-C) 2=E(X-)2（B） E(X-C)2E(X-)2（C） E(X-C)2=E(X2)-C2（D）E(X-C) 2E(X-) 2二、填空题9 =_1

4、0 曲面(z-a)(x)+(z-b)(y)=0 与 x2+y2=1，z=0 所围立体的体积 V=_(其中 为连续正值函数，a0，b0)11 设 f(x)有连续的导数 f(0)=0 且厂(0)=b，若函数 F(x)= 在 x=0处连续，则常数 A=_12 幂级数 的收敛区间为_13 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12，x 22，x 32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y2，则 a=_14 设 X1，X 2，X 3(n1) 是来自总体 N(，)的随机样本，用 2X2，-X 1， 及 X1 作总体参数 为估计算时，最有效的是 _三、解

5、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 曲线 y= 的切线与 x 轴和 y 由围成一个图形，记切点的横坐标为 a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?17 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(0，c) 内存在且单调减少，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a，b 满足条件 0aba+bc18 设 ：x=x(t)，y=y(t)(at)是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)，(a，) 有连续的导数且 x2(t)+y2(t)0，f(x，y)在 D 内

6、有连续的偏导数，若 P0 是 f(x，y)在 上的极值点，求证：f(x，y)在点 P0 沿 的切线方向的方向导数为零19 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb ，证明：20 k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解21 设矩阵 A= 已知线性方程组 AX= 有解但不唯一，试求： ()a 的值； () 正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵22 假设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为 f(x)= ()已知事件 A=Xa和 B=Ya独立，且 P(AB)=3/4，求常数 a； ()求 1/X2 的数学期望23 设

7、总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1，X 2，X 3 是来自总体的简单随机样本，证明： 都是参数 的无偏估计量，试比较其有效性考研数学（数学一）模拟试卷 286 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，(A)选项 (B)选项 ln (C)选项 (D)选项 故应选 (B)2 【正确答案】 B【试题解析】 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项 关于(A)，令 f(x)=x2，a=0，则 f(a)=f(a)=0，但f(z) =x 2 在 x=0 可导， 因此(A) 不正确；关于(C)，令 f(x)=x，a=1，

8、则 f(a)=10，f (a)=10， 但f(x)= x在 x=1 可导，所以(C)也可排除；关于 (D)，令 f(x)=-x，a=1， 则 f(a)=-10，f ()=-10，但f(x)= x在 x=1 也可导，即(D)也可排除； 关于(B)的正确性证明如下：设f(a)=0，f (a)0，不失一般性，设 f(a)0，则 因而在点 z=a 左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，记 (x)=f(x)，从而 (x)在 x=a 不可导，即f(x)在 x=a 不可导故选 (B)3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 fx(0，0)= 又所以 fx(0，0)不存在；又 y(0，0)= 所以 y(0，0)存

9、在，故应选(B)4 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知，积分区域 D 上有(x 2+y2)x2+y2 (等号仅在区域 D 的边界上成立)，于是在积分区域 D 上有 cos(x2+y2)2cos(x2+y2) (等号仅在区域 D 的边界上成立)，由于三个被积函数都在区域 D 上连续，根据二重积分的性质，有 I3I 2I 1，所以选(A)5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 a1，a 2，a m， 线性无关有 a1，a 2，a m 线性无关，但反之不成立；(B)不对，因为 a1，a 2，a m 线性无关，则对任意一组非零常数 k1，k 2，k m 使得 k1a1+k2a2+k

10、mam0，但反之不成立；(C) 向量组a1，a 2，a m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 a1= 线性无关，但其维数等于其个数，故选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，若 A 与 B 相似，则A-E=B-E，即 A 与 B 的特征值相同，若 A-E=B-E 层，则 A 与 B 相似，但是 A 与 B 相似并不能得出 A-AE=B-E 的结论，由此可知(A)，(B)不正确；此外，相似矩阵 A，B 不一定可以对角化，即不一定相似于对角阵，所以(C)也可排除；关于 (D)的正确性证明如下：已知 A 相似于 B，则在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 P-1(tE-A)P=P-

11、1tEP-P-1AP=tE-B，从而 tE-A 与 tE-B 相似综上选(D)7 【正确答案】 D【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 E(X-C) 2-E(X-)2=E(X2)-2CE(X)+C2-E(X2)- 2E(X)+2=C2+2E(X)E(X)-C-CE(X)2=C-E(X)20，选(B)二、填空题9 【正确答案】 5/24【试题解析】 原式=故原式=10 【正确答案】 1/2(a+b)【试题解析】 曲面的方程为：z= 故因 D：x 2+y21，对 x，y 具有轮换对称性，故 则11 【正确答案】 b+a【试题解析】 由于 F(x)在 x=0 连续，故 A=F(0)=12

12、【正确答案】 -1，1)【试题解析】 ，所以收敛半径为 1当 x=1 时，级数发散，当 x=-1 时，级数 收敛，故收敛域为 -1，1)13 【正确答案】 2【试题解析】 因为二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值，又因为所以 a+a+a=6+0+0 a=214 【正确答案】 【试题解析】 因 E(2X2-X1)=2E(X2)-E(X1)=2-= E(X1)=，E( )=，故 2X2-X1，X 1， 都是 的无偏估计量又 D(2X2-X1)=40(X2)+D(X1)=52，D( )=2/n，D(X 1)=2

13、， 故 D( )D(X 1)D(2X 2-X1)，则最有效的是 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由 该切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为(3a0) 和 ，因此此切线与 x 轴和 y 轴所围成的平面图形的面积为 当切点沿曲线趋于无穷远时，分两种情况：() 当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时， ()当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时，17 【正确答案】 当 a=0 时，f(0)=0 ，有 f(a+b)=f(B)=f(A)+f(B)； 当 a0 时，在0，a和b ， a+b上分别应用拉格朗日中值定理有显然0 1ab B2a+bc，因 f(戈)在

14、0，c 上单调减少，故 f(2)f(1)，从而有因为 a0，所以有 f(a+b)f(a)+f(b) 总之，当0aba+bc 时，f(a+b)f(a)+f(b)总成立18 【正确答案】 主要基于 的方向导数计算公式其中 ， 为切向量的方向角当(x，y) 时，f(x ，y)变成 t 的一元函数f(z(t)，y(t) ，记 P0 对应的参数为，即 P0 为(x(t 0)，)，y(t 0)：(x 0，y 0)P 0 是(x，y)在 的极值点，即 t0 是 f(x(t)，y(t)的极值点，于是，由一元函数极值点的必要条件得 d/dt f(x)t)，y(t) t=t0=0 f(x(t)，y(t) 是二元函

15、数 f(x，y)与一元函数x=x(t)，y=y(t)的复合，由复合函数求导法得其中x=x(t)，y=y(t)，注意曲线 在 P0 点处的切向量是(x (t0)，y (t0)，单位切向量，因此，t=t 0 时由， 式得由于 及方向导数的计算公式得19 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，所以又因为 f(x)0，所以 从而20 【正确答案】 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形当 k-1和 k4 时，有 这时方程组有唯一解： 当 k=-1 时，r(A)=2r =3，方程组无解当 k=4 时，有，r(A)=r =2n=3，故方程组无穷多组解，这时，同解方程组为： 令 x3=c，得方程组的全部

16、解：其中 c 为任意常数21 【正确答案】 () 由题设，AX= 的解不唯一，从而其系数矩阵的秩与增广矩阵阵的秩相同但小于 3对增广矩阵做初等行变换，得不难推断出 a=-2因此 ()下面求 A 的特征值及特征向量，由 A-E =0，即 =0，可解出 1=3， 2=-3， 3=0，相应特征向量为22 【正确答案】 () 因 X 和 Y 同分布，所以 P(A)=PXa=PYa=P(B) ， 又A 和 B 独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)， 于是 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A)-P(A)2=3/4， 解得 P(A)=1/2(因 P(A)=3/2 不合题意，舍去)23 【正确答案】 因为总体 x 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为 F(x)=则 FU(u)=P(Uu)=PmaxX1，X 2，X 3u=P(X1u，X 2u，X 3u)=P(X1u)P(X2u)p(X3u)=则 U，V 的密度函数分别为 FU(x)=因为所以 都是参数 的无偏估计量.