[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷354及答案与解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 354 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =X-Y 不相关的充分必要条件为（A）E(X)=E(Y)（B） E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2（C） E(X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+E(X2)2=E(Y2)+E(Y)22 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3 的规范形为( )（A）2y 12+y22+y32 （B） y12-y22-y32（C） 2y12-y22-y32（D）y 12+y22+y323

2、4 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x 0( )（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仅有零解（D）当 mn 时必有非零解5 6 (2010 年试题，一) 设函数 z=z(x，y)由 方程确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则 等于 ( )（A）x（B） z（C）一 x（D）-z7 (1999 年试题，二) 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1) ，则 ( )（A）PX+Y0=1 2（B） PX+Y1=12（C） PXY0=12（D）PXY1=128 （A） （B） &n

3、bsp（C）  （D） 二、填空题9 10 11 12 设 f(x)是以 2 为周期的函数，当 x-，时，f(x)=f(x)的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 Q(x，y)在*Oy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并且对任意 t 恒有 ，求 Q(x，y) 16 椭球面 1 是椭圆 L： 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 2 是由过点(4，0)且与椭圆 L: 相切的直线绕 x 轴旋转而成()求 1 及 2 的方程；()求位于 1 及 2 之间的立体体积17 设 f(x)为-a,a上的连续的偶函数且

4、f(x)0，令 F(x)=-aa|x-t|f(t)dt ()证明：F(x)单调增加 ()当 x 取何值时， F(x)取最小值? ( )当 F(x)的最小值为 f(a)一 a2一 1 时，求函数 f(x)18 19 19 A 是三阶矩阵，有特征值 1=2=2，对应两个线性无关的特征向量为1， 3,2=2 对应的特征向量是 320 问 1+2 是否是 A 的特征向量?说明理由；21 2+3 是否是 A 的特征向量?说明理由；22 证明：任一三维非零向量 (0)都是 A2 的特征向量，并求对应的特征值。23 24 本题满分 10 分。25 在连续型情形证明 E(X - EX) 2=EX2 - (EX

5、)2考研数学（数学一）模拟试卷 354 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 综合2 【正确答案】 B【知识模块】 综合3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意可得故而有 即正确答案为 B解析二在方程 两边求全微分得从而即正确答案为 B解析三方程 两边分别对 X，Y 求偏导数，则有 解得从而 即正确答案为 B【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 由已知，X，Y 独立且都服从正态分布，则 X+Y 也服从正态分布，且有

6、 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2 因此 X+Y 一 N(1，2)，又任何一般正态分布都可通过线性变换化为标准正态分布，因此，于是有综上，选 B解析二若随机变量 z 服从正态分布 N(， 2)，则一定有 ，又E(X+Y)=1，故正确答案为 B【知识模块】 多维随机变量及其分布8 【正确答案】 D【知识模块】 综合二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 2e【试题解析】 11 【正确答案】 A+C【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 当 x 为 f(x)的连续点时，f(x)=S(x) ；当 x 为 f(x)的间断点时，S(

7、x)=于是13 【正确答案】 旋转曲面的方程为：2xx 2y 2，用先二后一法求解得：14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 () 1： 设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为 ，因为切线经过点(4，0)，所以 x0=1， 切线方程为 则 2：(x 一 4)2=4(y2+z2)() 1 及 2 围成的几何体在 yOz 平面上的投影为 Dyz： 则17 【正确答案】 ()F(x)= -aa|x-t|f(t)dt=-ax(xt)f(t)dt+xa(t 一 x)f(t)dt=x-ax

8、f(t)dt-aatf(t)dt+xatf(t)dt-xxaf(t)dt=x-axf(t)dt-aatf(t)dt-axtf(t)dt+xaxf(t)dt F(x)=-axf(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf(x)+axf(t)dt+xf(x)=axf(t)dttaf(t)dt 因为 F“(x)=2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数 () 因为 F(0)=-a0f(x)dx0a(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F“(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点故最小值为 F(0)=-aa|t|f(t)dt=20atf(t)dt ()由

9、 20atf(t)dt=f(a)一 a2 一 1 两边求导得 2af(a)=f(a)-2a ，于是f(x)一 2xf(x)=2x，解得 f(x)=2xe-2xdxdx+Ce-2xdx= 一 1，在 20atf(t)dt=f(a)一 a2一 1 中令 a=0 得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)= 一 118 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 1+2 仍是 A 的对应于 1=2=2 的特征向量 因已知A1=22，A 1=22故 A(1+2)=A1A2=21 一 22=2(1+2)21 【正确答案】 2+3 是 A 的特征向量 假设是，设其对心的特征值为 则有A(2+3

10、)=(2+3) 得 22 一 24 一 22 一 3=(2 一 )2(2+) 3=0 因 2 和2+ 不同时为零，故 2， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线无关矛盾，故 2+3 不是 A 的特征向量22 【正确答案】 因 A 特征值 1=2 2=一 2，故 A2 有特征值 1=2=3=4对应的特征向量仍是 12， 3 且 1， 2， 3 线性无关故存在可逆阵 P=1， 2， 3，使得 P-1A2P=4E，A 2=P(4E)P-1=4E，从而有对任意的 0，有 A2=4E=4，故知任意非零向量 都是 A2 的对应于 =4 的特征向量23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 【知识模块】 综合