1、考研数学(数学一)模拟试卷 440 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 bn0(n=1,2,),下述命题正确的是 ( )2 设 f(x,y)=|x y|(x,y),其中 (x,y)在点(0,0)的某邻域内连续则 (0,0)=0 是 f(x,y)在点(0,0)处可微的( )(A)必要条件但非充分条件(B)充分条件但非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件3 下列反常积分发散的是( )4 设 则 f(x,y)在点(0,0)处( )(A)两个偏导数都存在,函数也连续(B)两个偏导数都存在,但函数不连续(C)偏导数不存在,但函数连续(D)偏导
2、数不存在,函数也不连续5 设 n 维向量 1, 2, 3 满足 1 一 22+33=0,对任意的 n 维向量 ,向量组1+, 2+b, 3 线性相关,则参数 a,b 应满足条件( )(A)a=b (B) a=b(C) a=2b(D)a= 2b 6 设 A 是一个 n 阶矩阵,先交换 A 的第 i 列与第 j 列,然后再交换第 i 行和第 j 行,得到的矩阵记成 B,则下列五个关系()|A|=|B|;()r(A)=r;中正确的有( )(A)2 个(B) 3 个(C) 4 个(D)5 个7 设(X,Y) 为二维连续型随机变量,则下列公式各项都有意义的条件下f(x,y)=fX(x)fY(y); fX
3、(x)= +fY(y)fX|Y(x|y)dx;PXY)= +FX(y)fY(y)dy,其中 FX(y)= yfX(x)dx必定成立的个数为 ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)48 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,令 Y=maxX,1,则 EY=( )二、填空题9 设常数 a 0,曲线 上点(a ,a,a)处的切线方程是 _10 11 设 f(x)=arctan2x,则 f(2015)(0)=_12 微分方程 的通解为 y=_13 设 则满足 AB=A,其中 BE 的所有的 B=_14 已知随机变量 X 与 y 都服从正态分布 N(, 2),且 PX0,Y 2)=a ,则PX0
4、,Y2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设当 x一 1,1时 f(x)连续,F(x)= 1 1|x 一 t|f(t)dt,x 1,1 ()若 f(x)为偶函数,证明:F(x)也是偶函数; ()若 f(x)0(当1x1),证明:曲线 y=F(x)在区间1,1 上是凹的16 ()计算 0nt|sint|dt,其中 n 为正整数;()求17 设 an= 试证明:()a n+1a n 且 ()级数 条件收敛18 设 f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且微分方程 xy(1+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程 () 求 f(x); ()求该全微
5、分方程的通解19 设平面区域 D 用极坐标表示为20 设线性方程组 添加一个方程ax1+2x2+bx3 一 5x4=0 后,成为方程组()求方程组(*)的通解;()a,b 满足什么条件时,(*)(*)是同解方程组21 A 是 3 阶矩阵,有特征值 1 一 2=2,对应两个线性无关的特征向量为1, 2, 3=一 2 对应的特征向量是 3 ()问 1+2 是否是 A 的特征向量? 说明理由; ( )2+3 是否是 A 的特征向量?说明理由; ()证明:任意三维非零向量(0)都是 A2 的特征向量,并求对应的特征值22 设 X 和 Y 的联合密度函数为 ()求 Z=YX 的密度函数;()求数学期望
6、E(X+Y)23 设袋中有编号为 1N 的 N 张卡片,其中 N 未知,现从中有放回地任取 n 张,所得号码为 x1,x 2,x n()求 N 的矩估计量 ,并计算概率 ;()求 N 的最大似然估计量 ,并求 的分布律考研数学(数学一)模拟试卷 440 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 证明(C) 正确首先证明: 事实上,左边级数前 n 项部分和 Sn=(1 一 2)+(2 3)+( n 一 n+1)=1 一 n+1根据比较判别法的极限形式知,级数 收敛,从而知 绝对收敛不存在,所以发散满足(A)的题设条件,但 是收敛的(
7、B)不正确,反例: 收敛,但 是收敛的,故(B)不正确(D)不正确,反例:也发散,故(D)不正确2 【正确答案】 C【试题解析】 先证充分性设 (0,0)=0,由于 (x,y)在点(0,0)处连续,所以由于按可微定义,f(x,y)在点(0,0)处可微,且 af=0.x+0.y,即 fx(0,0)=0,f y(0,0)=0 再证必要性设 f(x,y)在点(0, 0)处可微,则 fx(0,0)与 fy(o,0)必都存在其中 x0 +时取“+”,x0 时取“一”由于fx(0,0)存在,所以 (0,0)=9(0,0),从而 (0,0)=0证毕3 【正确答案】 C【试题解析】 至于(A)、(B)、(D)
8、都是收敛的4 【正确答案】 C【试题解析】 所以 f(x,y)在点(0,0)连续 不存在同理 fy(0,0)也不存在选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 因 1, 2, 3 满足 1+22+33=0, (*) 要求向量组1+a, 2+b, 3 线性相关,其中 是任意向量利用式 (*),取常数 k1=1,k 2=一 2,k 3=3,对向量组 1+a, 2+b, 3 作线性组合,得 ( 1+)一 2(2+b)+33 12 2+33+(a 一 2b)=(a2b) 故当 a=2b 时,对任意的 n 维向量 均有 1+2( 2+b)+33=0 即 a=2b 时, 1+a, 2+b, 3 对任意 线性
9、相关故应选(C) 6 【正确答案】 D【试题解析】 将 A 的 i 列、j 列互换,再将 i 行、 j 行互换,相当于右乘、左乘相同的互换初等阵 Eij,即 =EijAEij,其中 |Eij|=一 10,是可逆矩阵,|E ij|2=1,故( )、()、()成立 Eij1 =Eij,故Eij 1AEij=EijAEij=B,故 AB,()成立 EijT =Eij,故 EijAEij=EijT AEij=B,故 A B,( )成立从而知()、( )、()、()、()均成立应选(D)7 【正确答案】 A【试题解析】 需要独立条件才成立; 应该为需要独立条件8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题
10、9 【正确答案】 x+y=2az=a【试题解析】 将 x 看成自变量,方程两边对 x 求导,得 yz+xyz+xyz=0 及x+yy=az将(x,y,z)=(a,a,a) 代入,得 y(a)+z(a)=一 1,y(a) 一 z(a)=一1解得 y(a)=一 1,z(a)=0所以切线方程为 ,即x+y=2a,z=a10 【正确答案】 【试题解析】 用球面坐标,11 【正确答案】 一(2014!)2 2015【试题解析】 由幂级数展开式的唯一性知,f (k)(0)=k!ak,k=0,1 ,2,当 k=2015 时,2015=21007+1,故 n=1007,12 【正确答案】 ,其中 C1,C 2
11、 为任意常数【试题解析】 此为欧拉方程令 x=et,于是按 y 对 t 的二阶常系数线性非齐次方程的解法解之,得通解13 【正确答案】 ,其中 k1,k 2,k 3 是不全为零的任意常数【试题解析】 AB=A ,得 A(BE)=0BE ,故 BE0将 BE 按列分块,知BE 的每一列均是 Ax=0 的解Ax=0 有通解 k(1,一 1,1) T,其中 k 为任意常数, ,其中k1,k 2,k 3 是不全为零的任意常数14 【正确答案】 a【试题解析】 记 A=X 0),B=Y2),由题设知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 设 f(x)为连续的偶函数,则
12、 F(一 x)=1 1|一 x 一 t|f(t)dt=1 1|x+t|f(t)dt =1 1|x 一 uf(一 du)(du)一 1 1|x 一 u|f(u)du=F(x)? 所以 F(x)也是偶函数 ()F(x)= 1 x(xt)f(t)dt+x1(tx)f(t)dt =x1 xf(t)dt 一 1 xtf(t)dt+x1tf(t)dt 一xx1f(t)dt, F(x)= 1 xf(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf(x)+xf(x)一 x1f(t)dt =1 xf(t)dtx1f(t)dt, F“(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0 所以曲线 y=F(x)在区间一 1,1上是凹
13、的16 【正确答案】 17 【正确答案】 () 因为 且仅在两处 x=0 与 等号成立,所以 又因 ana n+2,所以 2ana n+an+2,从而 因 2an+2a n+an+2,从而得证()由()有所以由莱布尼茨定理知 收敛,所以 条件收敛18 【正确答案】 () 由题设知,存在二元函数 u(x,y),使由于 f(x)具有一阶连续导数,所以 u 的二阶混合偏导数连续,所以有 即有 x(1+2y)f(x)=f(x)+2xy, f(x)+f(x)=x连同已知 f(0)=0,于是可求得 f(x)=x 一 1+ex ()由()有du=(xy2+yyex )dx+(x 一 1+ex +x2y)dy
14、求 u(x,y)有多种方法凑微分法(xy 2+yye x )dx+(x1+ex +x1 y)dy=xy(ydx+xdy)+(ydx+xdy)+(ye x dx+ex dy)dy 所以该全微分方程的通解为(xy)2+xy+yex 一 y=C,其中 C 为任意常数19 【正确答案】 D 如图阴影部分,为清楚起见, 4 个圆只画出有关的 4 个半圆D 关于直线 yz 对称,交点 A、B、C 的极坐标分别为20 【正确答案】 得方程组(*)的通解为 k(一 3,一 5,1,0) T,k 是任意常数()方程组(*)(*) 是同解方程组 方程组(*)的通解满足方程组(*) 的第 4 个方程,代入得一 3k
15、a+(一 5k).2+bk+0=0,即(一 3a+b)k=10k因 k 是任意常数,故得一 3a+b=1021 【正确答案】 () 1+2 仍是 A 的对应于 1=2=2 的特征向量 因已知A1=21,A 2=22,故 A( 1+2)=A1+A2=21+22=2(1+2) () 2+3 不是 A 的特征向量假设是,设其对应的特征值为 u,则有 A( 2+3)=(2+3), 得 222 3 一2 一 3=(2) 2 一(2+) 3=0, 因 2 和 2+ 不同时为零,故 2, 3 线性相关,这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾, 故 2+3 不是 A 的特征向量 ()因 A 有特征值 1=2
16、=2, 3=2,故 A2 有特征值 1=2=3=4对应的特征向量仍是 1, 2, 3,且 1, 2, 3 线性无关故存在可逆矩阵 P=(1, 2, 3),使得 P1 A2P=4E,A 2=P(4E)P1 =4E 从而对任意的 0,有 A2=4E=4,故知任意非零向量 都是 A2 的对应于 =4 的特征向量22 【正确答案】 密度函数法 ()E(X+Y)= + +(x+y)f(x,y)dxdy= 0+dx0+(x+y)e(x+y)dy=0+0+(xex ey +ye y)dydx=223 【正确答案】 记 X 为事件“从袋中有放回地任取 1 张卡片”,记 Xi 为事件“取出的卡片编号为 i”,X 与 Xi:同分布,此题已知样本分布,即可得到总体 X 分布为
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