[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷446及答案与解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 446 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 处可导，且 f(x0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在区间(x 0 一 ，x 0+)内单调增加（B） f(x)f(x 0)在区间(x 0，x 0+)内成立，但在区间 (x0，x)内不成立（C） f(x)f(x 0)在区间(x 0 一 ，x 0)内成立，但在区间(x 0，x 0+)内不成立（D）f(x)f(x 0)当 0xx 0 时成立2 下列结论中不正确的是( )（A）z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则它在点(x 0，y 0)处必连

2、续（B） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则它在点(x 0，y 0)处沿任意方向的方向导数都存在（C） z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 fx，f y 在点(x 0，y 0)处必连续（D）z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则它在点(x 0，y 0)处的偏导数必存在3 微分方程(x 2 一 1)dy+(2xycosx)dx=0 满足初始条件 y(0)=1 的特解是( )（A）y=（B） y=（C） y=（D）y=4 设 S 是平面 x+y+z=4 被圆柱面 x2+y2=1 截出的有限部分，则曲面积分 ydS=( )（A）0（B） 4 3（C） 4（D）5

3、 设 A 是 54 矩阵，B 是四阶矩阵，满足 2AB=A，B *是 B 的伴随矩阵若 A 的列向量线性无关，则秩(B *)=( )（A）0（B） 1（C） 3（D）46 下列二次型中，正定的二次型是( )（A）f 1(x1， x2，x 3)= +4x1x2+6x1x3+8x2x3（B） f2(x1，x 2，x 3)= 2x 1x2+2x1x3+2x2x3（C） f3(x1，x 2，x 3)= 2x 1x2+4x2x3（D）f 4(x1， x2，x 3)= +2x1x2+4x1x37 设随机变量 X，y 独立，且 E(X)，E(Y) 和 D(X)，D(Y)存在，则下列等式中不成立的是( ) ，

4、下列表示式中的 a，b 均为常数（A）E(aXbY)=aE(X)bE(Y)（B） E(aX.bY)=abE(X).E(Y)（C） D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)（D）D(aX 一 bY)=a2D(X)一 b2D(Y)8 设随机变量列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n 充分大时，X 1，X 2，X n，依概率收敛于其共同的数学期望，只要X1，X 2，X n，( )（A）服从同一离散型分布（B）有相同的数学期望（C）服从同一连续型分布（D）有相同的泊松分布二、填空题9 =_10 y=sin4x+cos4x，则 y(n)=_(n1)11 定积分 I= (a0)

5、=_12 设 F(x)= (x2 一 t2)f(t)dt，又 x0 时，F(x)与 x2 是等价的无穷小，则 f(0)=_13 设矩阵 A= ，A *为 A 的伴随矩阵，E 为三阶单位矩阵，且满足矩阵方程 A*BA=3BA 一 4E，则 B=_14 已知 XN(3，4) ，Y 服从指数分布 fY(y)= X，Y 的相关系数=14，Z=3X 一 4Y，则 Z 的方差 D(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知极限 I= et2 dt=1，求常数 a，b，c16 计算 dx17 如果 x1x20，试证在 x1 与 x2 之间必至少存在一点，使 x 1ex2 一 x2e

6、x1=(1 一 )e(x1 一 x2) 成立18 求曲线 y= dx 的全长19 将函数 f(x)= 在 x=0 处展成幂级数20 已知三元二次型 XTAX 的平方项系数全为 0，设 =1，2，一 1T 且满足A=2 (1)求该二次型的表示式； (2)求正交变换 X=QY 化该二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (3)若 A+kE 正定，求 k 的取值21 设 A 是三阶矩阵，b=9，18，18 T，方程组 AX=b 有通解 k12，1，0T+k22，0，1 T+1，2，一 2T，其中 k1，k 2 为任意常数，求 A 及 A10022 设 X1，X 2，X 3，X 4 是取自正态总体 N(

7、0，4)的简单随机样本，令 Y=5(X12X2)2+(3X34X4)2，求 P(Y2)23 设总体 X 的概率密度函数如下，X 1，X 2，X n 为总体 X 的样本(1)确定常数 a；(2)求 的极大似然估计量；(3)判断(2)中求出的估计量是否为 的无偏估计量?考研数学（数学一）模拟试卷 446 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据导数的定义，有 f(x0)= 0，从而由极限的保号性(不等式性质) 知，存在 0，使得当 0xx 0 时，有这表明：当 x0xx 0+时，f(x)f(x 0)，而当 x0xx 0 时，f(

8、x)f(x 0)仅(B)入选注意 条件“f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)0”不足以保证f(x)在点 x=x0 的某一邻域内单调增加如果进一步假设导函数 f(x)在点 x=x0 处连续，就可保证 f(x)在点 x=x0 的某一邻域内单调增加了易验证 f(x)=的导函数为虽然 f(x)=1，但 f(x)在任何区间(0，)内无穷次地改变符号，所以 f(x)不可能在任何区间 (，)内单调增加因而(A)中结论是错误的2 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x，y)= 则故 f(x，y)在点(0，0)处可微但 因不存在，故 fx(x，y)在点(0 ，0)处不连续所以(C)不正确仅(C)入选

9、3 【正确答案】 A【试题解析】 原方程可化为 x2dy+2xydxdydsinx=d(x2y)一 d(y+sinx)=d(x2yysinx)=0，两边积分得到 x2yysinx=y(x2 一 1)一 sinx=c由 y(0)=1 得一 10=c，即 c=1，故 y= 仅(A)入选4 【正确答案】 A【试题解析】 由题设条件知 D：x 2+y21，且 z(x，y)=4 一 xy， f(x，y，z)=y，故 zx=1，z y=1，则 因 D关于 x 轴对称，而被积函数 y 关于 y 为奇函数，故 ydS=0 仅(A)入选5 【正确答案】 D【试题解析】 由 2AB=A 得 A(2BE)=O，从而

10、 r(A)+r(2BE)4又因 A 是 54矩阵，A 的列向量线性无关，由此知秩 r(A)=4，从而秩 r(2BE)=0，即 2BE=O于是 B= E)=r(E)=4，故 r(B*)=4仅(D) 入选6 【正确答案】 D【试题解析】 用排除法，可知仅(D)入选(A)f 1 中有一 项，故取(x 1，x 2，x 3)=(0，0，1)0 时，f 1(0，0 ，1)=10，因此 f1 不正定(B)f 2 中缺 项，故取(x1，x 2，x 3)=(0，1，0)0 时，有 f2(0，1，0)=0，因此 f2 不正定(C)f 3(x1，x 2，x 3)= 一 2x1x2+4x2x3 =(x1 一 x2)2

11、+ 7+4x2x3 =(x1 一 x2)2+2(x2+x3)2，取(x 1，x 2，x 3)=(1，1，一 1)0，有 f3(1，1，一 1)=0，因此 f3 不正定7 【正确答案】 D【试题解析】 对于随机变量线性组合的方差，有如下等式成立： D(aXbY)=a2D(X)+b2D(Y)2abcov(X，Y) 而对于 X，Y 独立的情形，因 cov(X，Y)=0，故 D(aXbY)=a2D(X)+b2D(Y) 仅(D)入选8 【正确答案】 D【试题解析】 因为随机变量列 X1，X 2，X n， 服从辛钦大数定律的条件是：各个随机变量独立同分布，而且数学期望存在显然 4 个选项中只有(D)满足此

12、条件仅(D)入选二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 (1+ ，则10 【正确答案】 4 n 一 1cos(4x+ )【试题解析】 y=(sin 2x+cos2x)2 一 2sin2xcos2x=1 一 = cos4x利用三角函数 cosx 的 n 阶导数的公式即得11 【正确答案】 【试题解析】 令 x=asint，则12 【正确答案】 【试题解析】 =2xf(x)f(0)，所以由题设得13 【正确答案】 diag(13，43，49)【试题解析】 应先将方程 A*BA=3BA4E 变形为 A*BA 一 3BA=4E ，即 (A *一3E)BA=4E，所以 A*一 3E，B，A 均可逆于

13、是 B=(A *一 3E)1 (一 4E)A1 = 4(A*一 3E)1 A1 =4A(A *一 3E)1 =4(AE 一 3A)1 =4(一 6E 一3A)114 【正确答案】 124【试题解析】 由题设知 D(X)=4， D(Y)= =4， XY=14，代入即可求得D(Z)因 X，Y 不一定独立，应利用公式 D(Z)=D(3X)+D(4Y)一 2cov(3X，4Y) 求之D(Z)=D(3X 一 4Y)=D(3X)+D(4Y)2cov(3X，4Y) =9D(X)+16D(Y)2.3.4cov(X，y) =9D(X)+16D(Y)2.3.4 XY =9.4+16.424(一14) =124三、

14、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 (5x4)=0 得到 (3ax2+b+cex2 )=0，即 b+c=0 再由由 (20x2)=0 得到 (6a2ce x2 )=0，即 6a2c=0， 亦即 3ac=0 再由 I= =1得到 c=10由式得到 b=10，由式得到 a=103【试题解析】 为去掉分子中的变限积分，通分后必先使用洛必达法则又因极限函数的分母 x5(无穷小量)的极限存在，故必有分子的极限也为 0反复利用这一点可列出 a，b， c 所满足的条件，求出 a，b，c当然也可用泰勒展开求之16 【正确答案】 而该极限不存在同理可证 该极限也不存在，故 dx

15、 发散【试题解析】 首先应确认一下该积分是否是无界函数的反常积分实际上，它是无界函数的反常积分应按反常积分的定义来计算因此下述解法是错误的=ln1ln1=0 这是因为当 x=4 时，分母 sinxcosx=0所给积分是一个无界函数的反常积分正确的做法应按定义计算17 【正确答案】 因为 x1x20，故以 x1，x 2 为端点的区间一定不包含原点 x=0，即可引进辅助函数：f(x)=e xx， (x)=1x，且在区间x 1，x 2上利用柯西中值定理得 ，x 1x 2整理即得 x1ex2 一 x2ex1=(1 一 )e(x1一 x2)【试题解析】 为了看出应对什么函数使用中值定理，先让我们把待证等

16、式中不含中值 的表示式移至一边得到 ，然后将分子、分母用 x1x2 相除得到显然应对 f(x)= 应用柯西中值定理18 【正确答案】 显然函数 y= dx 的定义域为一 2，2，且 y=由弧长公式得所求曲线的垒长为=4 =4【试题解析】 先根据被积函数的定义域，确定 z 的取值范围，然后用弧长公式计算19 【正确答案】 而(一 1)nxn(x1) ，故【试题解析】 所给函数的分母和分子均为多项式，为将其展为 x 的幂级数，应先将其化为的形式，再按等比级数展开之另外，也可将函数变形，化为已知其展开式的函数的代数和简化求之20 【正确答案】 (1)由题设得到利用三阶行列式的算法和克拉默法则，得到故

17、该二次型为 XTAX=4x1x2+4x1x34x2x3(2) 由 EA= =(2)2(+4)=0 得到 A 的特征值为 1=2=2， 3=4即 1 为二重根，可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵解(2EA)X=0由 =B 得到属于 1=2 的一个特征向量 1=1，1，0 T，另一个与之正交的特征向量设为X=x1，x 2，x 3T，则 BX=x 1x 2x 3=0 又由 X=0 得到 x1+x2=0， 联立式与式解之由 得到与 1 正交的特征向量为 2=12，一 12，1 T 2 也可用施密特正交化的方法求得为此，先由式 取两个线性无关的特征向量： 1=1，1，0 T， 2=1，0，1 T令 1

18、=1，则 2=2当 3=4 时，求解(一 4E 一 A)X=0由 得到属于 3=4 的特征向量 3=一1，1，1 T于是 1， 2， 3 为两两正交的特征向量将 1， 2， 3 单位化得到令 Q=1， 2， 3，则 Q 为正交矩阵作坐标变换 X=QY，则在此坐标变换下原二次型化为标准形：XTAX=YT (3)因 A+kE 的特征值为 k+2，k+2 ，k 一 4，故当k4 时，矩阵 A+kE 正定21 【正确答案】 由题设知 1=一 2，1，0 T 与 2=2，0，1 T 为 AX=0 的基础解系，即有 A1=0=01，A 2=0=02，于是 0 为 A 的二重特征值， 1 与 2 为对应于1

19、=2=0 的特征向量，又 =1，2，一 2T 为其特解，故于是 3=9 为 A 的另一个特征值， 为其对应于 3=9 的特征向量易看出 1 与 2 线性无关(对应分量不成比例)又 与1， 2 均线性无关，故 1， 2， 线性无关所以 A 有 3 个线性无关的特征向量，必与对角矩阵 =diag(0， 0，9)相似，取 P=1， 2，则 P1 AP=，即注意到其中 =1，2，一 2T，则T=9，A 2=A.A=T.T=(T)T=9T=9A，A 100=999A或 A 100=(P p1【试题解析】 为求 A 及 A100，必须先建立 A 及 A100 的一个等式常利用对角相似建立之为此先设法求出

20、A 的特征值或特征向量，证明 A 必与对角矩阵相似22 【正确答案】 因 XiN(0，4)，X 1，X 2，X 3，X 4 为简单随机样本，故 X12X2N(0 ，5 2)=N(0，20)， 同法可求得 3X34X4N(0，25 2)=N(0，100) ， 又因 X1 一 2X2 与3X3 一 4X4 相互独立，利用 2 的可加性，得到查自由度 n 为 2，且上分位数为 002 的 2 分布，可得 P( 002)=099，即P(Y2)=1P( 002)=1099=001【试题解析】 所给统计量 Y 是服从正态分布的样本个体线性组合的平方和的统计量应利用 2 分布的典型模式先求 Y 的分布及分布的自由度，再求概率 P(Y2)23 【正确答案】 (1) 故 a=2于是(2)极大似然函数 两边取对数，得 解得故 的极大似然估计量为 (3)而所以是 的无偏估计量【试题解析】 由 f(x)dx=1 确定 a按常规的方法求出 的极大似然估计，关键在于正确写出极大似然函数