[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷476及答案与解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 476 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 的拐点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）32 定积分 的值等于3 设 f(x0)=0，f(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得（A）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0+是凹的（B）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0+)是凸的（C）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0单调减少，而在x 0，x 0+单调增加（D）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0单调增加，而在x 0，x 0+)单调减少4 下列函数中在区间一 2，3上不存在原函数的是5 3 阶实对称矩阵 A 相似于

2、矩阵 是实数则 A2+A+E是正定矩阵的充分必要条件是（A）0（B） 一 1（C） 一 12（D）一 16 已知向量组 1， 2， 3 和 1， 2， 3， 4 都是 4 维实向量，其中 r(1， 2， 3)=2，r( 1， 2， 3， 4)1，并且每个 与 1， 2， （A）1（B） 2（C） 3（D）47 在区间(一 1，1) 上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在 (一1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（A）X 与X相关，且相关系数 =1（B） X 与X相关，但1（C） X 与X不相关，且也不独立（D）X 与X相互独立8 已知随机变量 X 的概率分布为

3、 其中 0，k=1，2，则EX 为（A）（B） e（C）（D）二、填空题9 设曲线 的极坐标方程为 r=e，则 在点 处的法线的直角坐标方程是_10 质量为 M，长为 l 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 c 的引力 其中 k 为引力常数现将质点 C 在杆的延长线上从距离近端 r0 处移至无穷远时，则引力做的功为_11 微分方程 的通解为_12 设 L 为曲线： 则 I=L(x2+3y+3z)ds=_13 已知 则 Ax=0 的解空间的一个规范正交基是 _14 设 x，y 分别服从参数为 的 0-1 分布，且它们的相关系

4、数 ，则 X与 Y 的联合概率分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)= +01x 2-t20，( )求出积分 f(x)的表达式；()求 f(x)在(0，+) 的最小值点16 ()设 f(x)=4x3+3x26x，求 f(x)，的极值点； ()设有 ，它的反函数是 y=y(x)，求 y=y(x)的拐点17 有一容器由平面 z=0，x=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成过 z 轴上 点(0，0， z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径的圆面若以每秒 v0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的()写出注

5、水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度 z 与时间 t 的函数关系()求水表面上升速度最大时的水面高度；()求灌满容器所需时间18 证明等式 并指出等式成立的区间19 求空间曲线积分 J=Ly2dx+xydy+xzdz，其中 L 是圆柱面 x2+y2=2y 与平面 y=z 一1 的交线，从 x 轴正向看去取逆时针方向20 设在一个空间直角坐标系中，有 3 张平面的方程： P 1：x+2y+3z=3；P 2：2x 一2y+2az=0；P 3：xay+z=b已知它们两两相交于 3 条互相平行的不同直线，求a，b 应该满足的条件21 已知 判断

6、 A 与 B 是否相似?要说明理由22 设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i，y j)(i，j=1，2)，且试求：()二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；() 条件概率 PY=yjX=x 1，j=1，223 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为其中 0，a0 为已知参数记 () 求 A的矩估计量 () 求 Y 的数学期望 EY 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 476 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 y与 y因此，选 D2 【正确答案】 D【试题解析】

7、故应选D3 【正确答案】 D【试题解析】 当 x(x0一 ，x 0+)且 xx0 时， =当 x(x0 一 ，x 0)时，f(x)0；当x(x0，x 0+)时，f(x)0又 f(x)在 x=x0 连续=f(x)在(x 0 一 ，x 0单调增加，在x0，x 0+)单调减少故应选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 我们知道连续函数一定存在原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则其余的一个就被选中A 存在原函数显然， x0 时 f(x)连续，又因为=f(x)在点x=0 处连续因此 f(x)在 一 2，3 上连续=f(x)在一 2，3上 原函数B 存在原函数因为 在一 2，3上连续=f(x)在一2，

8、3上 原函数D 存在原函数因为，g(x)在一 2，3上有界，除 x=1 外连续=g(x)在 一 2，3上可积= 0xg(x)dt 在一 2，3 上连续 =f(x)=0xg(x)dt 在一 2，3上 原函数 综上分析，应选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 A 的特征值为 3，2，一 1，A 2+A+E 的特征值12+， 6+， ，A 2+A+E 是正定矩阵的充分必要条件为 A2+A+E 的特征值全大于 0，得 06 【正确答案】 B【试题解析】 构造矩阵 A=(1， 2， 3)，则 i 都是与 1， 2， 3 正交说明 i 都是4 元方程组 ATx=0 解再由 r(1， 2， 3)=2，得

9、r(AT)=rA=2，于是 ATx=0 的解集合的秩为 2，从而 r(1， 2， 3， 4)=27 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，X 在(一 1，1)上服从均匀分布，其概率密度为故cov(X，X)=0，从而 =0，X 与X不相关于是可排除 A 与 B 对于任意实数 a(0a1) ，有 pXa= ，p Xa=a又 pXa，X a=pXa=a，从而 pXap XapXa，Xa，即(0a1) 所以 X 与X不独立，故应选 C8 【正确答案】 D【试题解析】 注意到该分布除 a 外与泊松分布仅差 k=0 这一项，故利用与泊松分布的关系求出常数 a 的值，然后再求 EX由故选 D二、填空题9 【

10、正确答案】 【试题解析】 的参数方程是 在此点的切线的斜率为 =法线的斜率为 1，因此 在点 处的法线方程为10 【正确答案】 【试题解析】 以 AB 为 x 轴，近端点为原点，x 轴正向指向 CC 的坐标为 x，则杆对 C 的引力于是，C 从r0 移至无穷远时，引力做的功11 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 将原方程改写为 以 y 为自变量，x 为因变量，这是伯努利方程两边乘 x-2 得12 【正确答案】 a 3【试题解析】 由在 L 上 y+z=0= I=L(x2+3y+3z)ds=Lx2ds+3L(y+z)ds=Lx2ds 易写出 L 的参数方程：于是 I= 02a2co

11、s2t.adt=a302cos2tdt=a313 【正确答案】 【试题解析】 先求 Ax=0 的一个基础解系，它就是解空间的一个基然后对它进行施密特正交化即可得 Ax=0的一个同解方程组： 求得一个基础解系， 1=(1，5，3,0)T， 2=(一 2，一 1，0，3) T 正交化：单位化：作 1=1 1= (1，5，3，0) T， 2=2 2= (一3，0，1，5) T，则 1， 2 是 Ax=0 的一个单位正交基础解系，也就是 Ax=0 的解空间的一个规范正交基14 【正确答案】 【试题解析】 依题意， 设(X，Y)的联合分布与边缘分布如下表： 由于X，Y 只取 0，1 两个值，所以 E(X

12、Y)=p 22.1= 再由(X，Y) 的联合分布与边缘分布的关系，可得 p 12=0，p 11=p21=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 由定积分的几何意义知 (这是以原点为心，半径为 X 的圆在第一象限部分的面积) 再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分： 当 0z 1 时 01x 2 一 t2dt= 0x(x2 一 t2)dt+x1(t2 一 x2)dt当 x1时 01x 2 一 t2dt= 01(x2 一t2)dt= 于是 ()为求 f(x)在(0，+) 上的最小值，先求 f(x)16 【正确答案】 () 先求 f(x)=12x2+6x 一

13、 6=6(2x 一 1)(x+1) 由可知 x=一 1 为 f(x)的极大值点，为 f(x)的极小值点( )由变限积分求导法得再由复合函数求导法得在定义域中考察 y=y(x)：=只有拐点(0 ，0) 17 【正确答案】 () 由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 x(t)与体积 V(t)之间的关系是 V(t)=0z(t)S(z)dz， 其中 S(z)是水面 D(z)的面积，即 S(z)=z2+(1 一 z)2现由 及 z(0)=0，求 z(t)将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=v0dt，即 两边积分并注意 z(0

14、)=0，得()求 z 取何值时 取最大值已求得(*)式即 因此，求 取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z2+(1 一 z)2 在0 ，1 上的最小值点由()归结求容器的体积，即 或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，于是在(*) 中令 z=1 得18 【正确答案】 逐项积分得 再逐项积分得逐项积分保持收敛区间不变，在x=1 处逐项积分后的级数收敛，又 f(x)在 x=1 连续，故展开式在 一 1，1成立因此19 【正确答案】 L 的方程是 =L 的参数方程是 x=cost， y=1+sint， z=2+sint 按 L 的定向 t 从 0 到 2，于是代公式得 J=

15、02(1+sint)2(一sint)+(1+sint)cos2t+(2+sint)cos2tdt =02(一 2sin2t+3cos2t)dt=，其中 02(一 sintsin3t+2sintcos2t)dt -(一 sint 一 sin3t+2sintcos2t)dz 020 【正确答案】 记 1=(1，2，3)， 2=(2，一 2， 2a)， 3=(1，一 a，1) 建立线性方程组() ： 先把几何条件转化为代数条件： 这 3 张平面两两相交，说明它们互相不平行，于是 1， 2， 3 两两线性无关 它门两两相交于 3 条互相平行的不同直线，说明方程组(I)无解，从而增广矩阵的秩大于系数矩阵

16、的秩 写出() 的增广矩阵，并用初等行变换把它化为阶梯形矩阵：则由知，a 2 一a=0，la 一 b0 由于 a=1 时 2， 3 线性相关，于是 a=0，b121 【正确答案】 关于两个矩阵相似的有关性质是： 相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件因此本题应该从计算特征值下手 =(+1)(22一 3) =(+1)2(一 3)， A 的特征值为一 1，一 1，3 =(一 3)(2+2+1)=(一 3)(+1)2 B 的特征值也是一 1，一 1，3 再看 3 它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值一 l 有没有两个线性无关的特征向量也就是看

17、r(A+E)和 r(B+E)是否为 1 r(A+B)=1，因此 A 有属于特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵 r(B+E)=2，因此 B 没有两个属于特征值一 1 的线性无关的特征向量，B 不相似于对角矩阵 由相似关系的传递性，A 与 B 不相似22 【正确答案】 () 因 X 与 Y 独立，所以有于是(X，Y) 的联合概率分布为 ()因 X 与 Y 独立，所以 PY=yjX=x 1=PY=yj，j=1，2，于是有【试题解析】 依题意，随机变量 X 与 Y 的可能取值分别为 x1x2 与 y1y2，且于是有 PX= x1Y=y 1= PX= x1，即事件X=x 1与事件Y=y 1相互独立，因而X=x 1的对立事件X=x 2与Y=y 1独立，且X=x 1与Y=y 1的对立事件Y=y 2独立；X=x 2与Y=y 2独立，即 X 与Y 相互独立23 【正确答案】 ()EX= -+xf(x)dx=a+xe-(x-a)dx 0+(t+a)e-tdt =0+te-tdt+a0+e-tdt= 令 样本的似然函数 L(x1，x 2， ，x n；)= 取对数由于EY 是 的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故 EY 的最大似然估计量为