[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷479及答案与解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 479 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续，除个别点外二阶可导，其导函数 y=f(x)的图像如图(1)，令函数 y=f(x)的驻点的个数为 P，极值点的个数为 q，曲线 y=f(x)拐点的个数为 r，则（A）p=g=r=3（B） p=3，q=r=2（C） p=3，q=2，r=3（D）p=3，q=2 ，r=12 下列等式或不等式中正确的共有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个3 下列三个命题中正确的个数是（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个4 已知累次积分 其中 a0 为常

2、数，则 I 可写成5 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，AX=0 是 n 元齐次方程组则( )正确（A）如果 1， 2， 3 都是 AX=0 的解，并且线性无关，则 1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系（B）如果 1， 2， 3 都是 AX=0 的解，并且 r(A)=n 一 3，则 1， 2， 3 为 AX=0的一个基础解系（C）如果 1， 2， 3 等价于 AX=0 的一个基础解系则它也是 AX=0 的基础解系（D）如果 r(A)=n 一 3，并且 AX=0 每个解都可以用 1， 2， 3 线性表示，则1， 2， 3 为 AX =0 的一个基础解系6 下列矩阵中不相似于对角

3、矩阵的是7 已知随机变量 且 X1 与 X2 独立记 A=X1=1，B=X2=1，C 1=X1X2=1，C 2=X1X2=一 1，则（A）A，B，C 1 相互独立，A，B，C 2 相互独立（B） A，B ， C1 相互独立， A，B ，C 2 两两独立（C） A，B ， C1 两两独立， A，B ，C 2 相互独立（D）A，B，C 1 两两独立，A，B，C 2 两两独立8 设 X1，X 2，X n+1 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，记（A）（B）（C） k2（D） 2二、填空题9 设 x0 时，x 2f(x)dx=arcsinx+c，F(x)是 f(x)的原函数，满足 F(1)

4、=0，则 F(x)=_10 函数 在点 M0(1，1，1)处沿曲面 2z=x2+y2 在点 M0 处外法线方向 n 的方向导数 =_11 已知函数 y(x)可微(x0) 且满足方程 则y(x)=_12 设有曲面 S：x 2+y2=a2(0xa)，则 =_13 已知 则 A-1=_14 设 X1，X 2，X n+1 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，则服从_分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 ()求累次积分 () 设连续函数 f(x)满足 f(x)=1+ x1f(y)f(y一 x)dy，记 I=01f(x)dx，求证：I=1+ 01f(y)dy0yf(y 一 x

5、)dx，()求出 I 的值16 求 f(x，y， z)=x+yz2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值17 设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 Lf(x，y)dx+xcosydy，在全平面与路径无关，且 求 f(x，y)18 设正项级数 是它的部分和19 若函数 f(c)在0 ，1上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f(x)0，且 f(x)在0，1上的最大值为 M求证： ()f(x) 0(x(0，1)； () 自然数 n，存在唯一的 xn(0，1)，使得 20 设 1， 2， 3 都是矩阵 A 的特征向量，特征值两两不同，记 =1+2+3

6、 证明 ，A ，A 2 线性无关， ，A，A 2，A 3 线性相关 设 1， 2， 3 的特征值依次为 1，一 1，2，记矩阵 B=(，A，A 2)，=A 3，求解线性方程组 BX=21 设二次型 xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵 满足AB=0用正交变换化 xTAx 为标准形，写出所作变换 求(A 一 3E)622 有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，2 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球， 2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，

7、Z 表示取到的黑球数，试求：()(X，Y)的联合分布；()cov(X ， Y)+cov(Y， Z)23 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且X，Y 相互独立，记随机变量 Z=X+2Y()求 Z 的概率密度；()求 EZ，DZ考研数学（数学一）模拟试卷 479 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 a，b ，c，d，e 各点如图， 根据驻点，极值点，拐点的概念及判别法知：驻点是：x=a，c，e因为 x=a，c，e 时， f(x)=0 P=3驻点中只有 x=a，c 是极值点，因为 x=

8、a， c 两侧导数变号x=e 两侧导数均负，f(x)是单调下降的，x =e 不是极值点x=b 是 f(x)的连续而不可导点，x=b两侧的导数均正，x=b 也不是 f(x)的极值点q=2 (x 0，f(x 0)为拐点的必要条件是：f(x0)=0 或 f(x0)不 时 x=x0 是 f(x)的驻点x=d，e 是 f(x)的驻点且这些点的两侧 f(x)的单调性相反即 y=f(x)的图形的凹凸性相反，(d ，f(d) ，(e，f(e)是拐点f(b)不 ，但 x=b 是 f(x)的连续点，x=b 两侧 f(x)的单调性相反，因而(b，f(b) 也是拐点r=3 综上分析，应选 C2 【正确答案】 B【试题

9、解析】 要逐一分析 对于：由可知正确 对于：因为 在点 x=0 处无定义，不能在一 1，1上用牛顿一莱布尼兹公式，因此不正确事实上对于： 故 f(x)在一 1，1上连续，且是奇函数=-11f(x)dx=0故 正确对于 ：这里 在(一，+)连续，虽是奇函数，但 -+g(x)dx 发散，因为 故不正确 综上分析，应选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 此类选择题必须逐一判断关于命题：对幂级数的收敛域为(一 1，1)，但 的收敛域是一 1，1)关于命题 ：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确记该幂级数的收敛半径为 R若 R1，由于发散，也与已知矛盾因此，R=1 关于命题：当 R1R2 时，R

10、=min(R 1，R 2)，于是要考察 R1=R2 的情形设有级数 易求得它们的收敛半径为 R1=R2=1但 的收敛半径为 R=2因此命题不正确综上所述，应选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表示成 由 D 的极坐标表示0racos即 r 2=x2+y2arcos=ax，可知若是先 y 后 x 的积分顺序，则D：0xa， 于是 故应选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 A 缺少 nr(A)=3 的条件B 缺少 1， 2， 3 线性无关的条件C例如 1， 2 是基础解系 1+2=3，则 1， 2， 3 和 1，

11、 2 等价，但是 1， 2， 3不是基础解系 要说明 D 的正确，就要证明 1， 2， 3 都是 AX=0 的解，并且线性无关方法如下： 设 1， 2， 3 是 AX=0 的一个基础解系，则由条件，1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示，于是 3r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1， 2， 3)r(1， 2， 3)=3， 则 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=3， 于是 1， 2， 3 线性无关，并且和1， 2， 3 等价，从而都是 AX=0 的解6 【正确答案】 C【试题解析】 A 矩阵的 3 个特征值两两不同，D 是

12、实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵C 矩阵的秩为 1，它的特征值都为 0，其重数 33 一(C) 矩阵的秩因此 C 不相似于对角矩阵B 矩阵的秩也为 1，它的特征值为 0，0，6，0 的重数 2=3 一(B)矩阵的秩因此相似于对角矩阵7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件计算得 P(A)=P(B)=P(C 1)=P(C2)=05， P(A)P(B)P(C 1)=0 125=P(A)P(B)P(C2)， P(AB)=P(AC 1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=025， P(ABC1)=025，P(ABC 2)=0， 由此验证知 D 正确应选 D8 【正确答案】 B【试题解析

13、】 由于 X1，X 2，X n+1 相互独立，当 ij 时，cov(X i，X j)=0；当 i=j 时，cov(X i，X i)=2，所以故选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 按题意，F(x)= 1xf(t)dt为先求 f(x)，将x 2f(x)dx 求导得 x 2f(x)=x2f(x)dx=(arcsinx+C)10 【正确答案】 【试题解析】 记 则 1。2。 M 0 在曲面2z=x2+y2 上，曲面方程改写为 F(x，y，z)=0,F(x，y，z)=x 2+y2 一 2z,M0 处曲面外法向 n 的方向余弦3。 代公式得11 【正确答案】 【试题解析】 这是含变限积分的方程

14、先将原方程两边求导，转化为常微分方程得 在原方程中令 z=1 得 y(1)=1于是原方程与初值问题等价 这是齐次方程，令12 【正确答案】 【试题解析】 用 S 的方程简化被积表达式，并注意 S 关于 yz 平面，zx 平面均对称，被积函数对 x，y 均为偶函数，于是 其中S1=Sx0，y0 ，投影到 yz 平面上，13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 由于Xi(i=1,2，n+1)均来自同一总体，且相互独立故 Exi=，DX i=2，Y 是 Xi 的线性组合，故仍服从正态分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 将 J 表示

15、成 其中 D：0y1， ，如图所示， 现改换成先 y 后 x 的积分顺序得()因为 f(x)=1+ x1f(y)f(y 一 x)dy，所以在0，1上积分上式可得 I=01f(x)dx=1+ 01dxx1f(y)f(y 一 x)dy将累次积分表示成二重积分后交换积分顺序，可得(其中 D0 如图)() 为求 I 值，再对内层积分作变量替换并凑微分可得16 【正确答案】 f(x，y，Z) 在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值 第一步，先求 f(x，y，z) 在 内的驻点 由 =f(x，y，z)在 内无驻点，因此f(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到 第二步，求 f(x，y，z

16、)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值， 即求 f(x，y，z)在条件 x2+y2+z22=0下的最大、最小值，令 F(x，y，z，)= x+y z2+5+(x2+y2+z22)，解方程由，=x=y，由=z=0 或 =1由 x=y，z=0 代入=x=y=1，z=0当 =1时由，得 因此得驻点 P1(一 1，一 1，0)，P2(1，1，0)， 计算得知 f(P1)=3， f(P 2)=7，f(P 3)=f(P4)= 因此， f(x，y，z)在 的最大值为 7，最小值为17 【正确答案】 () Lf(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关积分得 f(x，y)=siny+C(

17、x) ()求 f(x，y)转化为求C(x) 取特殊路径如图所示， 由于 0tf(x，0)dx+ cosydy=t2,即 0tC(x)dx+tsint2=t2 甘 C(t)=2tsint 22t2cost2因此 f(x，y)=siny+2xsinx 22x2cosx218 【正确答案】 () 级数 的部分和 Tn 易求出()考察级数 由 Sn 与 an 的关系：S n=a1+a2+an-1+an， an=SnSn-1， 因正项级数的部分和数列 Sn 单调上升，上式可放大成 因此，原级数绝对收敛19 【正确答案】 () 由题设条件及罗尔定理，= f(x)f(0)=0(0 xa ， f(x)f(1)

18、=0(0x1)，= f(x)0(x(0，1)() 由题设知存在 xM(0，1)使得 f(xM)=M0 先证 是 f(x)的某一中间值因 f(xM)=0，由拉格朗日中值定理，存在 n(0，x M)使得这里 f(x)在n，x M连续，再由连续函数中间值定理=存在 xn(n，x M) (0，1)，使得最后再证唯一性由 f(x)f(x)在(0，1)单调减少=在区间(0，1)内的点是唯一的，即 xn20 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 的特征值为 a， b，c ，由于它们两两不同，1， 2， 3 线性无关， = 1+2+3，A=a 1+b2+c3， A2=a21+b22+c23，A 3=a31+

19、b32+c33，则 ，A，A2 对 1， 2， 3 的表示矩阵为 其行列式为范德蒙行列式，并且(因为 a，b，c 两两不同)值不为0，于是 r(，A，A 2)=r(1， 2， 3)=3，因此 ，A，A 2 无关 ，A，A 2，A 3 可以用 1， 2， 3 线性表示，因此线性相关 (2)=1+2+3， A=1 一 2+23，A 2=1+2+43，A 3=1 一 2+83，B=(，A，A 2)=(1， 2， 3) =A3=(1， 2， 3) 则 BX= 具体写出就是由于 1， 2， 3 线性无关，它和同解解此方程组得唯一解(一 2，1，2) T21 【正确答案】 先作正交矩阵 Q，使得 Q-1A

20、Q 是对角矩阵 条件说明 B 的 3 个列向量都是 A 的特征向量，并且特征值都是 0由于 B 的秩大于1，特征值的重数大于 1于是 A 的特征值为 0，0 ，6(tr(A)=6 ) 求属于特征值0 的两个单位正交特征向量： 对 B 的第 1，2 两个列向量 1=(1，0，1) T， 2=(2，一 1，0) T 作施密特正交化： 1=1 1= (1，0，1)T， 2=2 2= (1，一 1，一 1)T 求属于特征值 6 的一个单位特征向量：属于特征值 6 的特征向量与 1， 2 都正交，的非零解，求出 3=(1，2，一1)T 是属于 6 的一个特征向量，单位化 3=3 3= (1，2，-1)

21、T记Q=(1， 2， 3，则 Q 是正交矩阵， Q-1AQ= 作正交变换 x=Qy，它 xTAx化为标准二次型 6y32 A 的特征值为 0，0，6，则 A 一 3E 的特征值为一 3，一3，3，(A 一 3E)6 的 3 个特征值都是 36于是(A 一 3E)63 6E=(A 一 3E)6=36E22 【正确答案】 () 用全概率公式求(X，Y) ，(Y，Z)的联合分布，即有从而(X，Y) 与(Y， Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：()于是 COV(X，Y)+COV(Y，Z)=(EXYEXEY)+(EYZ EYEZ)23 【正确答案】 () 由题设 X，Y 相互独立，且先求 Z 的分布函数当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z 2 时，当 z2 时，()直接用期望、方差的运算性质由于 且 X，Y 相互独立，故 EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=1+1=2，DZ=D(X+2Y)=DX+4DY=