[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷499及答案与解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 499 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x) f(x)与 g(x)在它们各自的定义域上（A）f(x)无界，g(x) 有界（B） f(x)有界， g(x)无界（C） f(x)与 g(x)都有界（D）f(x)与 g(x)都无界2 设 f(x，y)|x 一 y|(x， y)，其中 (x，y)在点(0，0)的某邻域内连续则(0，0)0 是 f(x，y) 在点(0 ，0)处可微的（A）必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件3 下列反常积分发散的是（A） （B） （C） （

2、D） 4 设 f(x，y) 则 f(x，y)在点(0，0)处（A）两个偏导数都存在，函数也连续（B）两个偏导数都存在，但函数不连续（C）偏导数不存在，但函数连续（D）偏导数不存在，函数也不连续5 设 n 维向量 1， 2， 3 满足 1223 30，对任意的 n 维向量 ，向量组1 a， 2b ， 3 线性相关，则参数 a，b 应满足条件（A）ab（B） a一 b（C） a2b（D）a一 2b6 设 A 是一个 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记成 B，则下列五个关系(I)|A|B| ； ()r(A)r(B)；( )A B；(IV)

3、AB；(V)AB中正确的有（A）2 个（B） 3 个（C） 4 个（D）5 个7 设 是 的估计量，则下列正确的是（A） （B） （C） （D） 8 设 X，X 2，,X n 是来自总体 X 的简单随机样本， ,EX,DX1，下面说法中正确的是（A）（B） 为 2 的无偏估计（C）由切比雪夫不等式知 P ( 为任意正数)（D）若 为未知参数，则样本均值 既是 的矩估计，又是 的最大似然估计二、填空题9 设 n 为正整数，则_10 设 f(x)在区间a，)上存在二阶导数，且 0，其中 a，b 均为常数，则 _.11 设 l 为圆周 (a0) 一周，则空间第一型曲线积分_.12 设 S 为球面 x

4、2 y 2z 2R 2 被锥面 z 截下的小的那部分，并设其中 A，B，R 均为正常数且 AB，则第一型曲面积分 _.13 设 A ，B 是 32 矩阵，E 是 2 阶单位矩阵满足ABE，则 B_14 已知随机变量 X1，X 2，X 3 的方差都是 2，任意两个随机变量之间的相关系数都是 ，则 的最小值_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设有向曲面 S：zx 2y 2，x0，zl，法向量与 z 轴正向夹角为锐角求第二型曲面积分 dydzy 2dzdx16 设 zz(x， y)具有二阶连续偏导数，试确定常数 a 与 b，使得经变换uxay，u xby，可将 z 关于 x，y

5、 的方程 0 化为z 关于 u，v 的方程 0，并求出其解 zz(xay，xby)17 设 a 为正常数， f(x)xe a 一 aexxa证明：当 xa 时，f(x)017 设 n 为正整数，f(x)x nx 一 118 证明：对于给定的 n，f(x)在(0 ，) 内存在唯一的零点 xn；19 对于() 中的 xn，证明 存在并求此极限20 求平面 P 的方程，已知 P 与曲面 zx 2y 2 相切，并且经过直线 L：20 设 A，B 是 n 阶矩阵21 A 是什么矩阵时，若 ABA，必有 BEA 是什么矩阵时，有 BE，使得ABA；22 设 A 求所有的 B，使得 ABA 22 设 A 是

6、 n 阶正定矩阵，x 是 n 维列向量，E 是 n 阶单位矩阵，记 P23 计算 PW；24 写出二次型 f|w|的矩阵表达式，并讨论 f 的正定性24 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 P(0p1) 的几何分布，令ZX Y，求：25 Z 的概率分布；26 X 与 Z 的相关系数26 设总体 X 的概率密度 f(x) 其中 0， 为未知参数，X1，X 2，X n 为取自 X 的简单随机样本27 用原点矩求 ， 的矩估计量；28 求 ， 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 499 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B2

7、 【正确答案】 C3 【正确答案】 C4 【正确答案】 C5 【正确答案】 C6 【正确答案】 D7 【正确答案】 A8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 所以10 【正确答案】 0【试题解析】 取常数 h 0，在区间x，xh上用泰勒公式：于是有令 x有 ，并且由已知，有11 【正确答案】 【试题解析】 由轮换对称性知， ，所以而 为 l 的全长，l 是平面xyza 上的圆周，点 O(0，0，0) 到此平面的距离为 d ,所以 l 的半径为所以12 【正确答案】 【试题解析】 球面与锥面的交线在 xOy 平面上的投影曲线的方程为 (A1)x2(B1)y 2R 2，则相应

8、的投影区域为 D(x ， y)|(A1)x 2(B1)y 2R2球面(上部 )方程为 z 则其中 SD 为投影区域 D 的面积由于 D 是个椭圆，故 ，所以13 【正确答案】 ，其中是 k1，k 2 是任意常数【试题解析】 设 B 即解方程组两个方程一起求解对增广矩阵作初等行变换得 A故 B 其中 k1，k 2 是任意常数14 【正确答案】 【试题解析】 D(X 1X 2X 3)D(X 1)D(X 2)D(X 3)2Cov(X 1，X 2)2Cov(X 1，X 2)2Cov(X 2，X 3) 3 26p 23 2(12p)0，所以三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答

9、案】 令 D1(y，z)|y 2z1)，D 2(z，x)|x 2z1，x0，则16 【正确答案】 z 与 x， y 的复合关系为： 于是代入所给方程，得0 按题意，应取14a3a 20，14b 3b20，24(ab)6ab0解得 由可知 ，其中 (v)为 v 的任意的可微函数于是 z其中 (u)为 u 的任意的可微函数，(v)为 (v)的一个原函数取 a ，b1 时，得 z 取 a1，b 时，得z 由于 与 的任意性，所以两组解其实是一样的17 【正确答案】 f(a) 0，f(x)e a 一 aex 一 1，f(x)一 aex0令 (a)f(a)e a-aea 一 1，又因为 ，所以 (a)0

10、(a0)，即 f(a)0 (a0)将 f(x)在 xa 处按 2 阶泰勒公式展开： f(x)证毕18 【正确答案】 当 x(0，)时，f(x) nx n-110，所以在区间(0，)上f(x)至多只有一个零点，又 f(0)一 10，f(1)10，所以 f(x)在(0，)上存在唯一零点，记为 xn，且 xn(0，1) ，此时 f(xn)019 【正确答案】 下面证数列xx n单调增加由两式相减，得 但因0 1，所以 于是有 0上式第 2 个括号内为正，所以0，即数列x n严格单调增加且有上界 1，所以 存在，记a，0 a1以下证 a 1用反证法，如果 0a 1，将两边令 n取极限，得 1 一 a0

11、，解得 a1，与反证法的假设矛盾，所以 a 1证毕20 【正确答案】 经过直线 L： 的平面束方程为 6yz 1(x一 5yz 一 3)0 【注】 ，即 x(65)y(1 一 )z130它与曲面zx 2y 2 相切，设切点为 M(x0，y 0，z 0)于是该曲面在点 M 处的法向量为n(2x 0，2y 0，一 1)从而 此外，点 M(x0，y 0，z 0)还应满足及将(*)，(*)，(*)联立，解得 2，(x 0，y 0，z 0)(1，一 2，5)，或(4，1，17)于是得两个平面方程：2x 一 4y 一 z50，8x2yz 一 17 021 【正确答案】 当 A 是可逆矩阵时，若 ABA，两

12、端左边乘 A-1，必有 BE；当 A 不可逆时，有 BE，使得 ABA 因 A 不可逆时Ax 0 有非零解，设Ai0(i1，2，n)，合并得 A(1， 2， n)O 令( 1， 2，, n)BE即 B (1， 2，, n)EE ，则 A(BE)O，得 ABA，其中 BEO，BE 22 【正确答案】 Ax 0 有解 k 取 X ,则，其中 k，l 是不同时为零的任意常数令 BE得 BE ，即为 A 时，使得 ABA 的所有的 B(k，l 是任意常数，因 A(BE)O，故有 ABA) 23 【正确答案】 PW24 【正确答案】 因|P| ，故 f 的矩阵表达式为：f|w|P| |W|PW| |A|

13、?(x TA-1x)由 A 是正定矩阵知，|A|0，且 A 的特征值 i0(i1，2，n)，A *的特征值为0 (i1，2，n)所以 A*也是正定矩阵，故当 n为偶数时，f( 一 1)nxTA*xx TA*x 是正定二次型；当 n 为奇数时，f(一 1)nxTA*x一 xTA*x 是负定二次型25 【正确答案】 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 p 的几何分布，PXk P(1一 p)k-1，k1，2，故 ZXY 的取值为 2， 3，则 PZz26 【正确答案】 X 与 Y 相互独立，则 D(XY) DXDY，Cov(X ，Y)0则27 【正确答案】 EXE(X2)于是，由矩估计思想， 一2 再开平方得 所以， 的矩估计量为28 【正确答案】 因为似然函数为 L(x1，X n；，) 于是 xi，i 1，n 时， ln L由此可知 1n L 关于 单调增加，即L(x1，x n； ，) 关于 单调增加，又因为 ,故 的最大似然估计量为 令 ,解得 的最大似然估计量为