[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷500及答案与解析.doc

1、考研数学（数学一）模拟试卷 500 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 |x|1 时 f(x) 展开成收敛于它自身的幂级数 f(x) ，则关于它的系数 an(n0，1，2，)成立的关系式为（A）a n2 an1 a n（B） an3 a n（C） an4 a n2 a n（D）a n6 an2 当 x0 时，下列 3 个无穷小 a按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是（A），（B） ， （C） ， ，（D），3 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f(x)，则设 f(x)存在)，则以下结论中不正确的是（A）f(x)必

2、以 T 为周期（B） 必以 T 为周期（C） 必以 T 为周期（D） 必以 T 为周期4 设 S 为球面 x2y 2z 2R 2(常数 R0)的上半部分，方向为上侧则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是5 设 a1，a 2，a s，是线性方程组 的 s 个互不相同的解向量，则向量组a i 一 aj| ij，i1，2， ，s；j 1，2，s 的秩 r取值范围为（A）1 或 2（B） 2 或 3（C）（D）1.6 已知 P1 AP ， 1 是 A 的属于 11 的特征向量， 2， 3 是A 的属于 21 的线性无关的特征向量，则矩阵 P 是（A）( 2， 1， 3)（B） (1， 2

3、 一 3， 3 1)（C） (31， 2 3， 2 一 3)（D）(2 2， 33， 1)7 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，以 A 表示“正面最多出现一次”，以 B 表示“ 正面和反面各至少出现一次” ，则（A）n2 时，A 与 B 相互独立（B） n2 时， （C） n2 时，A 与 B 互不相容（D）n3 时，A 与 B 相互独立8 设总体 XN(0， 2)(2 已知)，X 1，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是 二、填空题9 设空间曲线 L : 其中常数 a0则空间第一型曲线积分_.10 设 an x(1x) n1 dx,则 _.11 微分方程 y

4、2y一 3yx(e x1) 的通解为 y_12 设 yy(x) 由方程 x 确定，则 _.13 设 xi0，i1，2，3，4则行列式 D_.14 已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 Xx 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布，则 E(XY2)_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知ABC 的面积为 S，三边长分别为 a，b，c在该三角形内求一点 P，使该点到ABC 三边的距离的乘积为最大并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值16 设有向曲面 S：zx 2y 2，x0，y0，z1，法向量与 z 轴正向夹角为钝角求第二型曲面积分 I (xy)dydzz

5、dxdy17 讨论常数 a 的值，确定曲线 yae x 与 y1x 的公共点的个数18 设 (x ，y，z) | x 2 y2z 2R2，R0 ，求三重积分 I (x 一 1)2(2y 一2)2(3z4) 2dv19 设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0) 2，且函数 z 满足(x0)，求 z 的表达式19 设 (a 1，a 2，a n)T，(b 1，b 2，b n)T 为非零正交向量A试求20 |A|；21 An；22 A1 .22 (21)设向量组 (i)1(2 ，4，一 2)T， 2(一 l，a 一 3，1) T，a 3(2，8，b1)T； (ii)1 一(2，b5，一 2)T， 2

6、(3，7，a 一 4)T， 3(1，2b 十 4，一 1)i 记A( 1， 2， 3)，B ( 1， 2， 3) 问23 a，b 为何值时， A 等价于 B，a，b 为何值时， A 和 B 不等价；24 a，b 为何值时，向量组(i) 等价于(ii)，a，b 为何值时，向量组(i)，(ii)不等价24 二维随机变量(X，Y) 在(1，1) ，(1，一 1)，(0， 0)三点组成的三角形区域 D 上服从二维均匀分布，令 U25 讨论 U，V 是否独立；26 求 U 与 Y 的相关系数26 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n 只在时刻 t

7、0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间 T0 结束，此时有 k(0 kn)只器件失效27 求一只器件在时间 T0 未失效的概率；28 求 的最大似然估计.考研数学（数学一）模拟试卷 500 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 D3 【正确答案】 B4 【正确答案】 B5 【正确答案】 A6 【正确答案】 C7 【正确答案】 D8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 平面 xy0 经过球面x 2y 2z 2a 2 的中心，所以 L 是一个半径为 a 的圆周今建立它的参数方程将 L 投影到 xOz

8、平面上去，为此，消去 y，得 所以 L 在 xOz 平面上的投影是一个椭圆引入此椭圆的参数方程：x ，0t2 由于 L 在平面 xy0 上，所以 L 的参数方程为 x 于是 ds所以10 【正确答案】 121n 2【试题解析】 a n11 【正确答案】 ，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 该常系数线性微分方程对应的齐次方程的特征方程为 r22r 一 3(r一 1)(r3) 0，特征根 r11，r2一 3，对应的齐次方程的通解为 YC 1exC 2e-3x，其中 C1，C 2 为任意常数原给非齐次微分方程 y2y一 3yx(e x1)xe xx，可分解成两个非齐次方程 y 22y一 3

9、yxe x 与 y2y一 3yx，用常用的待定系数法，可求得各自的特解分别为所以原给方程的通解为 y其中 C1，C 2 为任意常数或写成如上所填12 【正确答案】 一 2【试题解析】 将 x0 代入 x 有 y1再将所给方程两边对 x 求导，得 1 于是 y将x0，y1 代入，得 一 213 【正确答案】 【试题解析】 将 D 的第 1 行的一 l 倍加到 2，3，4 行，再将第 i 列(i2，3，4)的倍加到第 1 列，得 D 14 【正确答案】 21n 2【试题解析】 由题设知 所以(X，Y) 的联合概率密度为F(x，y) 所以 E(XY2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

10、。15 【正确答案】 设点 P 到 a，b，c 三边的距离分别为 x，y，z 于是S ，即 axbycz 2S 0令 F(x，y，z，)xyz(ax bycz 一 2S)，由拉格朗日乘数法，令解得 当点 P在三角形的边上时，xyz 0而点 P 在三角形内部时，xyz0所以当点 P 在三角形内部时，乘积 xyz 有最大值所以当 (x，y，z) 时，xyz 最大，最大值为16 【正确答案】 法一 投影法：S 在 yOz 平面上的有向投影为 D1(y，z)|y2z1，y0，法向量向前；S 在 xOy 平面上的有向投影为 D2(x ，y)|0x2y 21， x0，yO) ，法向量向下所以I 法二 先化

11、成第一型曲面积分再计算有向曲面S：zx 2y 2，z0，y0，z1，它与 z 轴正向夹角为钝角的法向量 n(2x，2y，一 1)， n 又因 dS，S 在 xOy 平面上的投影区域 D(x ，y)|0x 2y 21,x0,y0)，于是17 【正确答案】 若 a0 ，则 yae x 成为 y0，它与 y1x 有且仅有 1 个交点x0一 1，y 00以下设 a0令 f(x)ae x 一 1 一 x，f(x)ae x 一 1若 a0，则 f(x)0f( ) 0，f( ) 0，存在唯一公共点若 0a1，则由 f(x)0 得唯一驻点 x0 又 f(x)ae x0所以有且仅有 2 个公共点若 a1，则由

12、f(x)0 得唯一驻点 x00，f(x 0)Ina0，f(x)ae x0，最小值 f(x0)lna0，所以无公共点若 a1，有 f(0)0，f(0)0，f(x) e x0，所以最小值 f(0)0，存在唯一公共点18 【正确答案】 将被积函数展开，并注意到 关于 yOz 平面、zOx 平面、xOy 平面都对称，于是有所以19 【正确答案】 于是原方程化为 (1 一 u2)f(u) 2f(u)u，其中 u ，初始条件为 f(0)2解上述方程，得 f(u) 再由初始条件 f(0)2，求出 C1所以 f(u)于是 z20 【正确答案】 ， 正交， T 0|A| 21 【正确答案】 AE T，A nx2

13、0b 因 n2 时，有( T)n( T)(T)( T)( T)(T)( T)T0故 AnEn T22 【正确答案】 A 2(E T)E2 T2E 2 TE2AE， 则 A 2 一2AA(A 一 2E)一 E，A(2EA)E， 故 A 可逆，且 A -12EA 2E-E 一TE 一 T23 【正确答案】 AB r(A)r(B)将 A，B 合并，一起作初等行变换，当al 且 b一 1 时，r(A)r(B)3，AB ；当 a1 或 b一 l 时，r(A)r(B)2，AB 所以无论 a，b 为何值均有 A 和 B 等价24 【正确答案】 (i) (ii)向量组可以相互表出 (1， 2， 3)x 1，(

14、 1， 2， 3)y i(i1，2，3)均有解 r(i)r(i| i)，r(ii)r(iii| i)(i1，2，3)r(i)r(ii)r(i|ii) 由()知，al ，b一 1 时，r(i)r(ii) r(i|ii)3，(i)(ii)；a1，b一 1时，r(i)r(ii)r(i i ii)2，(i)(ii)；a 1，b一 1 时，r(i)r(ii)2r(i i ii)3，( 1， 2， 3)y 3 无解，(i)，(ii) 不等价；a1 ，b一 1 时，r(i)r(ii)2r(i|ii)3 ，( 1， 2， 3)x 2 无解，(i)，(ii)不等价25 【正确答案】 由题意，知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)求(U，V)的联合分布列，由联合分布列可得，U ，V 独立26 【正确答案】 先计算 Cov(U，Y)E(UY)一 EUEY，其中故 Cov(U，Y) 0，所以27 【正确答案】 记 T 的分布函数为 F(t)，则 一只器件在t0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0)F(T 0) ，故在时间 T0 未失效的概率为 PTT0)1 一 F(T0) 28 【正确答案】 考虑事件 A试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，n-k 只未失效的概率由于各器件的试验是相互独立的，因此事件 A 的概率为这就是所求的似然函数取对数得得nk 解得 的最大似然估计为