[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷388及答案与解析.doc

1、考研数学（数学三）模拟试卷 388 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则( ).（A）f(x)在 x=1 连续，在 x=一 1 间断（B） f(x)在 x=1 间断，在 x=一 1 连续（C） f(x)在 x=1，x=一 1 都连续（D）f(x)在 x=1，x= 一 1 都间断2 设 f(x)连续，且 =2，则下列结论正确的是 ( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点3 设

2、 t0，则当 t0 时，f(t)= 1 一 cos(x2+y2)dxdy 是 t 的 n 阶无穷小量，则n 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）84 设 1(x)， 1(x)， 3(x)是微分方程 +P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 11(x)+C12(x)+C33(x)（B） C11(x)一 2(x)+C2/sub1(x)一 33(x)+C32(x)一 3(x)+11(x)（C） C11(x)一 2(x)+C22(x)+3(x)（D）C 11(x)一 2(x)+C21(x)一 3(x)+ 1(x)+2(x)+3(x)5 设 A，B

3、及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 ATB=0，则 r(B)等于( ) （A）0（B） 1（C） 2（D）36 设三阶矩阵 A 的特征值为一 2，0，2，则下列结论不正确的是 ( )（A）r(A)=2（B） tr(A)=0（C） Ax=0 的基础解系由一个解向量构成（D）一 2 和 2 对应的特征向量正交7 设随机变量 X ，向量组 a1，a 2 线性无关，则 Xa1a 2，a 1+Xa2 线性相关的概率为( ) （A）（B）（C）（D）18 设 X，y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(y)=1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y 的相关系数为 = ，由切比雪夫不等式得 PX+

4、Y 一 110( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 _10 设 f(x)为连续函数，且 x2+y2+z2= (x+y 一 t)dt，则 z( )_11 设 连续，且 x2+y2+z2= (x+yt)dt ，则 2z( )_12 幂级数 (一 1)n+1 的和函数为_13 设矩阵 A= 不可对角化，则 a=_.14 10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上二阶可导， (x)1(x0 ， 1)，f(0)=f(1)证明：对任意的x0，1

5、，有f(x) 16 某商品进价为 30 元件，根据经验，当销售为 80 元件时日销售量为 100 件，日常调查表明，销售每下降 10，可使日销售量增加 30，该商家在一日内以 72元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大利润？17 计算二重积分 dxdy 其中 D 是由 y=a (a0)及 y=x所围成的区域18 设方程 =0 在变换 下化为 =0，求常数 a19 设 A 从原点出发，以固定速度 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程20 当常数 a 取何

6、值时，方程组 无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时，求出其通解21 设二次型 f(x1，x 1，x 3)= 2x1x3+2ax2x3(a0)通过正交变换化为标准形 () 求常数 a，b；()求正交变换矩阵；()当X =1 时，求二次型的最大值22 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 PXi= ，i=1，2，3 令U=max(X，Y)，V=min(X，Y) ()求(U，V)的联合分布；()求 PU=V)；()判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数23 设总体 X 的分布律为 PX=K=(1 一 p)k1 p(k=，2，)，其中 p 是未知参数，X1，X 2，

7、X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 388 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 (x+1)arctan =0，f( 一 1)=0，得 f(x)在 x=一 1 处连续.由f(10)= (x+1)arctan =，f(1+0)= (x+1)arctan =，得 x=1 为f(x)的跳跃间断点，选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =2，所以由极限的保号性，存在 0，当 0x一 1 时，有 0，即当 x(1 一 ，1)时，f(x)3 【正确答案】 C【试

8、题解析】 f(t)= 1cos(x 2+y2)dxdy因为，所以 f(t) ，即n=6，选(C) 4 【正确答案】 D【试题解析】 显然 C11(x)一 2(x)+C21(X)一 3(X)为 +P(X)y+Q(X)y=0 的通解，且 1(X)+2(x)+3(x)为 +P(x)y+Q(x)y=f(x)的特解，选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ATB=O 且 B 为非零矩阵，所以方程组 ATX=0 有非零解，从而r(AT)=r(A)T)=n 一 1由 ATB=0 得 r(AT)+r(B)n，于是 r(B)1，又 B 为非零矩阵，所以 r(B)1，于是 r(B)=1，选(B) 6 【正

9、确答案】 D【试题解析】 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化，从而 r(A)=2， (A)是正确的；由 tr(A)=一 2+0+2=0 得(B)是正确的；因为 =0是单特征值，所以 =0只有一个线性无关的特征向量，即方程组(OE A)X=0或 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， (C)是正确的；一 2 与 2 对应的特征向量一般情况下线性无关，只有 A 是实对称矩阵时才正交，选(D)7 【正确答案】 C【试题解析】 (Xa 1a 2，a 1+Xa2)=(a1，a 2) ， 因为 a1，a 2 线性无关，所以向量组 Xa1 一 a2，a 1+Xa2 线性无关的充分必要

10、条件是 ，即X=1，故向量组 Xa1 一 a2，一 a1+Xa2 线性相关的概率为 PX=1= ，选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13,则 PX+Y 一 110=PZE(z) 101 一 = ，选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 - f(x)f(y) (x+y)【试题解析】 x 2+y2+z2= f(x+yt)出两边对 x 求偏导得 2x+2z =一 f(x)， 再将x2+y2+z2= f(x+y 一 t)dt 两边对 y 求偏导得

11、2y+2z =f(y)， 两式相加得 z( )=一 f(x)一 f(y)一(x+y)11 【正确答案】 (y)(x)2(x+y)【试题解析】 (x+yt)dt (u)(一 du)= (u)du， x 2+y2+z2= (u)du两边对 z 求偏导得 2x+2z =一 (x)，解得 =一 ；x 2+y2+z2= (u)du两边对 y 求偏导得 2y+2z =(y)，解得 ，则 2z( )=(y)一(x)2(x+y) 12 【正确答案】 ln(1+ )(x一 )【试题解析】 由 得级数 的收敛半径为 R=，当 x= 时， 收敛，收敛域为一 令 S(x)= ， 则 S(x)=13 【正确答案】 0

12、或 4【试题解析】 由E 一 A= =(一 a)(一 4)=0 得1=0， 2=a， 3=4因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重跟，从而 a=0或 a=4.当 a=0 时，由 r(0EA)=r(A)=2 得 1=2=0 只有一个线性无关的特征向量，则 A 不可对角化，a=0 和题意；当 a=4 时，4EA=，由 r(4EA)=2 得 2=4 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可对角化，a=4 合题意 14 【正确答案】 【试题解析】 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品， P(A)=1 一 p( )=1 一 ，P(B)= ， 则 P(BA)=三、解答题

13、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 对任意的 x0,1，由勒公式得 f(0)=f(x) 一 f(x)x+ ，其中1 介于 0 与 x 之间； f(1)=f(x)+f(x)(1 一 x)+ (1x) 2，其中 2 介于 x 与 1 之间两式相减得 0=f(x)+ ，于是 由 (x)1(x0，1)，得f(x) (1 一 x)2+x2，令 (x)=(1x) 2+x2 令 (x)=0，得 x= ，因为 (0)=(1)=1，( )= ，所以 (x)=(1x) 2+x2 在0 ，1上的最大值为 1，故f(x) 16 【正确答案】 当该商品的售价从 p 降到 p2 时，对应的日常销售

14、量从 q1 上升为q2,由题意有 即 q2=q1+3q1(1 )，商家以 72 元件的价格出售该商品的日销售量为 100+300(1 )=130.设该商品一次性降价处理的价格设为p 元件，则相应的日常销售量为 q=130+390(1 =520 . 利润为L=pq30q= (p 一 30)(96 一 p)，令 L= (63 一 p)=0，得 p=63，即若一次性以 63元件出售其余商品时，商家获得最大利润 17 【正确答案】 令 其中一 0，0r一 2asin，则 18 【正确答案】 代入整理得(1 一 ) +(2 一 a) =0，从而 故 a=一 219 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位

15、置为 M(x，y)，则 ，即=y 0t， (*) (*) 两边对 x 求导，得，或 ，代入(*)，得 ，令 k= ，则 令 f=p，由，得 dx，两边积分，得 p+ ，由y(x0)=0，得 c0= ，从而 .当 k1 时,y=，由 y(x0)=0，得 c1= ，则 B 的轨迹方程为 当 k=1 时，B 的轨迹方程为20 【正确答案】 若a=1，则 ，原方程组的通解为X=k(1，0,1) T+(2，1,0) T(k 为任意常数).若 a1，则当 a=0 时，方程组无解；当 a=一 2 时， ，原方程组的通解为 X=k(1，1,1) T+(2，2,0)(k 为任意常数).21 【正确答案】 ()

16、令 A 则 f(x1,x2,x3)=XTAX因为二次型经过正交变换化为 ，所以矩阵 A 得特征值为 1=2=2， 3=b.由特征值的质得 解得 a=1，b=1.()当1=2=2 时，由(2EA)X=0，得 1= ， 2= ；当 3=一 1 时，由(E A)X=0，得 3= 令 1=1= ， 2=2 1= ， 3=3= ，单位化得1= ， 令 Q= ，则f(x1，x 2，x 3) ()因为 Q 为正交矩阵，所以X=1 时，Y=1，当Y=1 时，二次型的最大值为 2.22 【正确答案】 ()U ， V 的可能取值为 1,2,3，显然 PUV)=0，PU=1，V=1=PX=1=PX=1PY=1= ，

17、PU=2,V=1=PX=2，Y=1=PX=1,Y=2=2PX=2=PY=1= PU=2,V=2=PX=2，Y=2=PX=2,Y=2=PX=2PY=2= PU=3,V=1=PX=3，Y=1+PX=1,Y=3=2PX=3=PY=1= PU=3,V=2=PX=3，Y=2+PX=2,Y=3=2PX=3=PY=2= PU=3,V=3=PX=3，Y=3+PX=3,Y=3=PX=3=PY=3= 于是(U，V)的联合分布率为()PUV=PU=1， V=1)+PU=2，V=2)+PU=3，V=3)= ()PU=1)=1 ，PV=3)= ，PU=1 ， V=3)=0，因为 PU=1，V=3PU=1)PV=3) ，所以 U，V 不独立 U，V 的分布律为 U E(U)= ，E(U 2)= ， D(U)= ，E(V)= ，E(V 2)= D(V)= ，E(UV)= +2 +22 +3 +32 +33 =4，Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V)= ，于是 .23 【正确答案】 E(X)= ，令 ，得参数 p 的矩估计量为. L(p)=PX=x1PX=xn=(1 一 p) ，lnL(p)=( n)ln(1 一 p)+nlnp令 ，得参数 p 的极大似然估计量为