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[考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷389及答案与解析.doc

1、考研数学(数学三)模拟试卷 389 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 D 为有界闭区域,z=f(x,y)在 D 上二阶连续可偏导,且在区域 D 内满足:0,则( )(A)f(x,y)在 D 取到最小值和最大值(B) f(x,y)在 D 内取到最小值但取不到最大值(C) f(x,y)在 D 内取到最大值但取不到最小值(D)f(x,y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值2 当 x0 时,f(lnx)= ,则 xf(x)dx 为( )(A)(B)(C)(D)3 设 f(xz)= tln(1+u2)du,g(x)= (1 一 cost)dt,则当 x

2、0 时,f(x)是 g(x)的( )(A)等价无穷小(B)低阶无穷小(C)高阶无穷小(D)同阶但非等价的无穷小,4 设 f(x,y)= 则 f(x,y)在(0,0)处( )(A)连续但不可偏导(B)可偏导但不连续(C)连续、可偏导但不可微(D)可微5 设 A 为 mn 矩阵,以下命题正确的是( ) (A)若 AX=0 只有零解,则 AX=b 只有唯一解(B)若 AX=0 有非零解 9 则 AX=b 有无数个解(C)若 r(A)=n,则 AX=b 有唯一解(D)若 r(A)=m,则 AX=b 一定有解6 设 A 为三阶矩阵,特征值为 1=2=1, 3=2,其对应的线性无关的特征向量为a1,a 2

3、,a 3,令 P1=(a1 一 a3,a 2+a3,) ,则 A*P1=( )(A)(B)(C)(D)7 设随机变量 XN(, 2),其分布函数为 F(x),又 Y=F(X),则 PY 等于( ) (A) 1(B)(C)(D)8 设 X1,X 2,X 16 为正态总体 XN( ,4)的简单随机样本,设H0:=0,H 1:0 的拒绝域为 ,则犯第一类错误的概率为( )(A)2(1)1(B) 22(1)(C) 2( )l(D)22( )二、填空题9 设 f(x)= ,在 x=0 处连续,则 a=_10 _11 设 y=y(x)由 确定,则 =_12 微分方程 xy= +y 的通解为_13 设 A

4、为三阶实对称矩阵, 1= 为方程组 AX=0 的解, 2= 方程组(2EA)X=0 的一个解,E+A=0,则 A=_.14 设 X1,X 2,X m 与 Y1,Y 2,Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的简单随机样本,令 Z= (Xi 一 )2+ (Yi )2,则 D(z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)二阶可导,且 f(0)=0,令 g(x)= ()确定 a 的取值,使得g(x)为连续函数; ()求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性16 设某工厂生产甲、乙两种产品,当这两种产品的产量分别为 q1(吨)与 q2(吨)时,总收入函数为

5、 R(q1,q 2)=15q1+34q2 一 一 2q1q236(万元) ,设生产 1 吨甲产品要支付排污费 1 万元,生产 1 吨乙产品要支付排污费 2 万元 ()如不限制排污费支出,这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少? ()当排污费总量为 6 万元时,这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?17 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内可导(0ab ).证明:存 , (a,b),使得18 设 f(x)为二阶连续可导,且 ,证明级数 绝对收敛19 设 u=f( )二阶连续可导,又 ,求 f(x)20 设 A 是 n 阶矩阵,证明: (I)r(A)=1 的充分必要

6、条件是存在 n 阶非零列向量a,使得 A=aT; ()r(A)=1 且 tr(A)0,证明 A 可相似对角化21 设 A 是三阶矩阵,a 1,a 2,a 3 为三维列向量且 a10,若Aa1=a1,Aa 1=a1+a2,Aa 3=a2+a3 ()证明:向量组 a1,a 2,a 3 线性无关 ()证明:A 不可相似对角化22 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 对 X 作两次独立观察,设两次的观察值为 X1,X 2,令 (I)求常数口及PX10,X 21);() 求(y 1,y 2)的联合分布23 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数,(X 1,X 2,X n)为来自总体 X 的

7、简单随机样本,求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学(数学三)模拟试卷 389 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对区域 D 内任意一点(x,y),A= ,B= ,C= ,因为ACB2=一( )2 一( )22 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(1nx)= 得 f(x)= , 则 xf(x)dx= xdf(x)=xf(x)f(x)dx = 选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 由得f(x) x5; 得g(x) x6则 f(x)是 g(x)的低阶无穷小,选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0f(x,y

8、)一 0= ,所以 f(x,y)=0=f(0 ,0),故 f(x,y)在(0,0)处连续 =0,所以 (0,0)=0,同理 (0,0)=0,即 f(x,y)在(0, 0)处可偏导.z 一 dz=f(x,y)=,令 = ,因为 不存在,所以 f(x,y)在(0, 0)处不可微,选 (C).5 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 r(A)=m 时,则 r(A)=r( )=m,于是若 r(A)=m,则 AX=b 一定有解,选(D)6 【正确答案】 A【试题解析】 A*的特征值为 2,2,1,其对应的线性无关的特征向量为a1,a 2,a 3, 令 P=(a1,a 2,a 3),则 p1 A*P= ,

9、 由 P1=P 得选(A)7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(, 2),所以 F(x)=( ),于是 Y=F(X)=( ),Y =( ) )等价于 0,即X,故 PY )=PX= ,选(B)8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2=4 已知,所以取检验统计量 N(0 ,1),犯第一类错误的概率为 P =0=P 2 1)=1 一 P2 1)=1(1)+(1)=22(1),选(B).二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= 因为 f(x)在 x=0 处连续,所以 a= . 10 【正确答案】 【试题解析】 而d(1 一 x2+y2) 所以11 【正确答案】 【试题解析】 当

10、 t=0 时,x=1.y= ln(1+u)du=uln(1+u)=2ln21 ,e xsintx+1=0 两边对 t 求导,得exsin. +excost =0,于是 =e;y= ln(1+u)du 两边对 t 求导,得=1n(t+2),于是 =ln2故 12 【正确答案】 arcsin =lnx+C【试题解析】 由 xy= +y,得 y= ,令 =u,则 u+x =u+,解得 arcsinu=1nx+C,则原方程通解为 arcsin =1nx+C13 【正确答案】 【试题解析】 显然 1= 为 A 的特征向量,其对应的特征值分别为1=0, 2=2,因为 A 为实对称阵,所以 =k2 一 2k

11、+1=0,解得 k=1,于是 1=, 2= 又因为E+A=0,所以 =一 1 为 A 的特征值,令 3=一 1 对应的特征向量为 3= ,由 得 3= .令 P=,得 A= .14 【正确答案】 2(m+n 2)【试题解析】 令 ,则(m-1) =(Xi 一 )2 2(m 一 1),(n1) = 2(n 一 1),因为 X 与 y 相互独立,所以(Xi 一 )2 与 相互独立,于是 D(z)一 2(m 一 1)+2(n 一 1)=2(m+n 一2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () ,当 a=f(0)时,g(x)在 x=0 处连续.( )当 x0时,g(

12、x)= ,当 x=0 时 g(0)=于是 g(x)= 因为16 【正确答案】 () 利润函数为 L(q1,q 2)=R(q1,q 2)一 q12q2=14q1+32q2一 2q1q2 一 36令 得 q1=4,q 2=3,因为驻点唯一,且该实际问题存在最大值,故当 q1=4,q 2=3 时 L(q1,q 2)达到最大,最大值为 L(4,3)=40(万).()令 F(q1,q 2,)=L(q 1,q 2)+(q1+2q26),令得 q1=2,q 2=2,于是在 q1+2q2=6 下,当q1=2, q2=2 时, L(q1,q 2)取到最大值,最大值为 L(2,2)=28(万)17 【正确答案】

13、令 g(x)=cosx,g(x)=sinx0(axb), 由柯西中值定理,存在(a, b),使得 ; 令 h(x)=sinx, h(x)=cosx0(axb), 由柯西中值定理,存在 (a,b),使得 从而(sinbsina), 于是, 故18 【正确答案】 由 =2 得 f(0)=1,由洛必达法则得,于是有 f(0)=0,再由因为 f(x)二阶连续可导,所以有 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2+o(x2),即 f(x)=1+ x2+o(x2),于是 因为,而 收敛,所以 收敛,即级数 绝对收敛.19 【正确答案】 由 =2 得 f(1)=0,f(1)=2 ,令 =r 则 , 同理 由

14、=0 得(r)+ ,解得 rf(r)=C1,由 f(1)=2 得C1=2,于是 f(r)= ,f(r)=lnr 2+C2,由 f(1)=0 得 C2=0,所以 f(x)=lnx2.20 【正确答案】 (I)若 r(A)=1,则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例,即于是 A= (b1,b 2,b n),令a= ,显然 a, 都不是零向量且 A=aT;反之,若 A=aT,其中A, 都是 n 维非零列向量,则 r(A)=r(aT)r(a)=1,又因为 a, 为非零列向量,所以 A 为非零矩阵,从而 r(A)1,于是 r(A)=1()因为 r(A)=1,所以存在非零列向量 a,J=,使得 A=a

15、T,显然 tr(A)=(a,) ,因为 tr(A)0,所以(a,)=k0 令AX=X,因为 A2=kA,所以 2X=kX,或( 2 一 k)X=0,注意到 X0,所以矩阵A 的特征值为 =0或 =k因为 1+2+ n=tr(A)=k,所以 1=k, 2=3= n=0,由 r(OEA)=r(A)=1,得 A 一定可以对角化21 【正确答案】 (I)由 Aa1=a1 得(A E)a1=0, 由 Aa2 一 a1+a2 得(A E)a2=a1,由Aa36=a2+a3 得(AE)a 3=a2令 k 1a1+k2a2+k3a3=0, 1)两边左乘以(A E)得k2a1+k3a2=0,两边再左乘(AE)

16、得 k3a1=0,由 a10得 k3=0,代人 2)得 k2a1=0,则k2=0,再代人 1)得 k1a1=0,从而 k1=0,于是 a1,a 2,a 3 线性无关()令P=(a1,a 2,a 3),由(Aa 1,Aa 2,Aa 3)=(a1,a 1+a2,a 2+a3)得 AP=P ,从而由E 一 A=E 一 B一( 一 1)3=0 得 A 的特征值为 1=2=3=1,E B= ,因为 r(EB)=2,所以 B 只有一个线性无关的特征向量,即 B 不可相似对角化,而 AB,故 A 不可相似对角化22 【正确答案】 (I)由 1= ,得 a= ,因为 X1,X 2 相互独立,所以 Px10,X

17、 21一 PX10PX 21,注意到 f(x)为偶函数,所以PX10= ,于是 PX10,X 21)= pX21)=()(Y 1,Y 2)可能的取值为(0,0),(0 ,1),(1,0),(1,1)PY 1=0,Y 2=0=PX11,X 21=PX 11PX 21=, PY 1=0,Y 2=1=PX11,X 21=PX 11)PX 21) =*1556arctane(1 arctahe)=PY1=1,Y 2=0, PY 1=1,Y 2=1)=PX11,X 11=PX11PX21)= 23 【正确答案】 E(X)=0,令 E(X2)= ,则参数 的矩估计量为 似然函数 L()=f(x1;)f(x2;)f(x n;)一 , 令 lnL(0)=一,得 ,则参数 的极大似然估计量为 =

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