[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷402及答案与解析.doc

1、考研数学（数学三）模拟试卷 402 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在区间0，1上连续，且 0f(x)1，又设 an=( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与具体的 f(x)有关2 设 f(x)在 x=a 处可导，则f(x)在 x=a 处不可导的充要条件是 ( )（A）f(a)=0，f(a)=0 （B） f(a)=0，f(a)0 （C） f(a)0，f(a)=0 （D）f(a)0，f(a)0 3 考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质：f(x)在a，b 上连续；f(x)在a，b 上可积；f(x)在a，b 上可导；f(

2、x)在a，b 上存在原函数以 PQ 表示由性质 P 可推出性质 Q，则有 ( )（A）（B） （C） （D）4 设在 x0 处 f(x)连续且严格单调增，并设 F(x)=0x(2t 一 x)f(t)dt，则 F(x)在 x0时 ( )（A）没有驻点（B）有唯一驻点且为极大值点（C）有唯一驻点且为极小值点（D）有唯一驻点但不是极值点5 设 A，B 是 3 阶矩阵，A 是非零矩阵，满足 AB=O，且 B= ，则 ( )（A）a= 一 1 时，必有 r(A)=1（B） a=2 时，必有 r(A)=2（C） a=一 1 时，必有 r(A)=2（D）a=2 时，必有 r(A)=16 设 A= ，则 B

3、相似于 ( )7 已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(，) ，如果 PmaxX，Y) =a(0a1) ，则 Pmin(X，Y)= ( )（A） （B） 1 一 （C） a（D）1 一 a8 设随机变量 X1、X 2、X 3 相互独立，且 X1、X 2 均服从 N(0，1)，PX 3=一 1)=PX3=1)= ，则 Y=X1+X2X3 的概率密度 fY(y)为 ( )二、填空题9 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 ，01已知产品收益R 对价格的边际为 s 元，则产品的产量应是 _10 设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 f(xy， )=y2(x2 一 1)，则

4、dz=_。11 设 f(x)=arctan 2x，则 f(0)= _12 =_13 设 A 相似于 B，B= ，则 r(2E 一 A)*=_14 设 Xf(x)= X1，X 2，X 50 取自 X 的一组简单随机样本，由中心极限定理得 表示)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 ()设 0 x+ ，证明存在 ，01，使 ； ( )求 关于 x 的函数关系的具体表达式 =(x)，并求出当 0x+时函数 (x)的值域16 设 D=(x， y)0x sin(x2，y 2)d17 设 z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且 f(1，2)=2 ，f 1(1，2)=3，

5、f 2(1，2)=4 ，(x)=f(x，f(x，2x) 求 18 求由方程 2x2+2y2+z2+8xz 一 z+8=0 所确定的函数 z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值19 设微分方程及初始条件为 ()求满足上述微分方程及初始条件的特解；()是否存在那种常数 y1，使对应解 y=y(x)存在斜渐近线，请求出此 y1 及相应的斜渐近线方程20 设非齐次线性方程组 Ax=(1， 2， 3， 4)x=5 有通解 k(一 1，2，0，3) T+(2，一3，1，5) T ()求方程组( 1， 2， 3)x=5 的通解； ()求方程组(1， 2， 3， 4， 4+5)x=1 的通解21 设 A

6、 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行第 j 列元素 aij=ij(i，j=1 ，2，n)B 是 n 阶矩阵，B 的第 i 行第 j 列元素 bij=i2(i=1，2，n) 证明：A 相似于 B22 设在某段时间内来到证券交易所的人数 X 服从参数为 的泊松分布，每个来交易所的人购买 A 股的概率为 p假设股民之间是否购买 A 股相互独立，试求在该段时间内交易所 X 人中共有 Y 人购买 A 股的数学期望23 设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，令随机变量 Y= ()求y 的分布函数 FY(y)；()求 y 的数学期望 EY考研数学（数学三）模拟试卷 402 答案与解析一、选择题下列每题给

7、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 0f(x)1 且 f(x)连续，有2 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0，则存在 x=a 的某邻域 U，在该邻域内 f(x)与 f(a)同号，于是推知，若 f(a)0，则f(x) =f(x)(当 xU)；若 f(a)0，则f(x)=一 f(x)总之，若 f(a)0，f(x)在 x=a 处总可导若 f(a)=0，则其中 xa +时，取“+” ，xa 时，取“一”，所以当 f(a)=0 时，f(x)在 x=a 处可导的充要条件是f(a) =0，即 f(a)=0 所以当且仅当 f(a)=0，f(a)0 时，f

8、(x)在 x=a 处不可导，故应选 (B)3 【正确答案】 B【试题解析】 因可导必连续，连续函数必存在原函数，故(B)正确 (A)不正确虽然由(连续)可推出(可积)，但由 (可积 )推不出(可导)例如 f(x)=x在 一 1，1上可积， 11xdx=2 01xdx=1但 f(x)=x在 x=0 处不可导 (C)不正确由 (可积)推不出(存在原函数)，例如 在1， 1上可积，则 11f(x)dx=11(1)dx+011dx=1+1=0，但 f(x)在1，1上不存在原函数因为如果存在原函数 F(x)，那么只能是 F(x)=x+C 的形式，而此函数在点 x=0 处不可导，在区间一 1，1上它没有做

9、原函数的 “资格”(D) 不正确因为由(存在原函数 )推不出(函数连续)例如：但 f(x)并不连续即存在原函数的函数 f(x)可以不连续4 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)= 0x(2t 一 x)f(t)dt=20xtf(t)dtx0xf(t)dt， F(x)=2xf(x)一 xf(x)一0xf(t)dt=xf(x)一 0xf(t)dt =xf(x)一 xf()=xf(x)一 f()，0 x 由于 f(x)严格单调增加，可知 f(x)f()，所以 F(x)0，故 F(x)在 x0 时无驻点，故应选(A) 5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=0，知 r(A)+r(B)3又 r(A)

10、0，且所以当 a=一 1 时，r(B)=1， r(A)=1 或 r(A)=2故选项(A)、(C)不成立 当 a=2 时，r(B)=2，必有 r(A)=1选项(D)成立，选项(B)不成立故应选(D) 6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件知矩阵 AB 是由矩阵 A 经初等行变换得到的具体的是，将 A 的第 1 行乘一 1，第 2 行乘 2 后再将第 2、3 行互换得 AB，即7 【正确答案】 C【试题解析】 PmaxX ，Y =PX Y =pX+PY一PX，Y = 一 PminX，Y =1PminX，Y=PminX，Y， 选择(C) 8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X1，X 2 均

11、服从 N(0，1)，且相互独立，则 X1 一 X2，X 1+X2 均服从 N(O，2)，故 F Y (y)=PX3=一 1PX1+X2X3yX 3=一 1+PX3=1PX1+X2X3yX 3=1 =PX3=一 1PX1 一 X2y+PX3=1PX1+X2y二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 (2xy)dxxdy【试题解析】 即 f(x，y)=x 2 一xy 所以 dz=(2xy)dxxdy11 【正确答案】 一(2014!)2 2015【试题解析】 由幂级数展开式的唯一性知， f (k)(0)=k!ak， k=0，1，2， 当 k=2 015 时，2 015=21 0

12、07+1，故 n=1 007， f (2015)(0)=(2015!)a2015=(2015 !) =一(2014 !)2 201512 【正确答案】 e【试题解析】 故应填 e13 【正确答案】 1【试题解析】 AB，则 2EA2EB ， r(2EB)一2r(2EA)一 2r(2E A)*=114 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 取 f(x)= ，由拉格朗日中值定理有 f(x+1)一 f(x)=f()(x+1一 x)，即 其中 xx+1，=x+ ，0 1()16 【正确答案】 D 是一块矩形域，如图所示，则17 【正确答

13、案】 =32(x)(x)， (1)=f1，f(1，2)=f(1，2)=2 ， (x)=f1x，f(x，2x)+f 2x，f(x，2x) =fx，f(x，2x)+f 2x，f(x ，2x)f1(x，2x)+2f 2(x，2x)， (1)=f 11，f(1，2)+f 21，f(1，2)f 1(1，2)+2f 2(1，2) =f1(1，2)+f 2(1，2)f 1(1，2)+2f 2(1，2)=3+4(3+8)=47， =32(1)(1)=32247=56418 【正确答案】 令 F(x，y)=2x 2+2y2+z2+8xz 一 z+8，且解得 y=0，4x+8z=0，再与 2x2+2y2+z2+8

14、xz 一 z+8=0联立解得两组解：19 【正确答案】 () 改写所给方程为20 【正确答案】 () 由题设，非齐次线性方程组 ( 1， 2， 3， 4)x=5 有通解k(一 1， 2，0，3) T+(2，一 3，1，5) T，则 r( 1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=3 且由对应齐次方程组的通解知，一 1+22+34=0，即 1=22+34，故2， 3， 4 线性无关(若线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)3，这和题设矛盾) 2， 3， 4 是 1， 2， 3， 4 及 1， 2， 3， 4， 5 的极大线性无关组， 1， 5均可由 2， 3， 4 线性表示，从

15、而 r( 2， 3， 4)=r(2， 3， 4， 5)=3， 方程组 (2， 3， 4)x=5 (*) 有唯一解由题设条件， 5 可由 1， 2， 3， 4 线性表示，且表示法不唯一，k 可任取，取 k=2，使 5 由 1， 2， 3， 4 线性表示时，不出现5，则得 5=2+3+114， 故方程组(*)的通解(唯一解)为 x=(1，1，11) T ()非齐次线性方程组( 1， 2， 3， 4， 4+5)x=5， (*) 显然有 r( 1， 2， 3， 4， 4+5)=r(1， 2， 3， 4， 4+5， 5)=3， 故方程组(*)的通解的结构为 k11+k22+其中 k1，k 2是任意常数2

16、1 【正确答案】 由题设条件知B 各行元素成比例 r(B)=1，=0 是 B 的 n 一 1 重特征值，B 的非零特征值为 n= B 对应于 =0有 n 一 1 个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵 P，使得故 BA由相似关系的传递性，得证AAB，AB22 【正确答案】 Y=r 表示“有 r 个人买 A 股”，X=i 表示“ 有 i 个人来到交易所”，i=r，r+1， PX=i)= ，PY=rX=i)=C ipr(1 一 p)i-r，i=r，r+1， 于是，由全概率公式有 从此可看出 X 人中购买A 股的人数 Y 服从参数为 p的泊松分布，所以 EY=p23 【正确答案】 () 先画出 Y= 的图像由分布函数定义 FY(y)=PYy，当 Y0 时，F Y(y)=0；当 Y1时，F Y(y)=PYy=1；