[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷439及答案与解析.doc

1、考研数学（数学三）模拟试卷 439 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f() ，则 f()有( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个跳跃间断点（D）2 个无穷间断点2 设 f(0)2，则 ( )（A）（B） 2（C）（D）43 设 f()在0 ，1上连续且单调递减，则函数 F(t)t 01f(t)f()d 在(0 ，1)内( )（A）单调增加（B）单调减少（C）有极小值（D）有极大值4 设 f(，y) 连续，且 f(，y) yf(，y)ddy，其中D(，y) 01 ，0y1，则 (

2、 )（A）（B）（C）（D）5 设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 A0 有两个线性无关的解， A*是 A 的伴随矩阵，则有( ) （A）A *O 的解均为 AO 的解（B） A0 的解均为 A*0 的解（C） A0 与 A*0 无非零公共解（D）A0 与 A*0 恰好有个非零公共解6 设 3 维向量 4 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示，则必有( )（A）向量组 1， 2， 3 线性无关（B）向量组 1， 2， 3 线性相关（C）向量组 1 4， 2 4， 3 4 线性无关（D）向量组 1 4， 2 4， 3 4 线性相关7 设随机变量 X1 的分布函数为 F1()，概率密度函数为

3、 f1()，且 E(X1)1，随机变量 X 的分布函数为 F() 04F 1()06F 1(21)，则 E(X)_（A）06（B） 05（C） 04（D）18 设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 记 ，其中 a 为常数若 E(T) 2，则 a( )（A）（B）（C） 1（D）1二、填空题9 微分方程 2yy y 2 满足初始条件 y 1 1 的特解为_10 设 f() ，为连续函数，则a_， b_ 11 函数 f() 展开成 的幂级数为_12 设某商品需求量 Q 是价格 P 的单减函数 QQ(P)，其需求弹性 0，则总收益 R 对价

4、格 P 的弹性函数为_13 设 n 阶方阵 A 与 B 相似，A 22E，则ABAE_14 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f()可导，且 f(0)0，f(0)0，求 16 求z在约束条件 下的最大值与最小值17 设 Oy 平面上有正方形 D(，y)01，0y1及直线 l： yt(t0)，若S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0S(t)dt(0)18 对于一切实数 t，函数 f(t)为连续的正函数且可导，又 f(t)f(t)，设 g() -aa tf(t)dt，

5、a0， a，a ()证明 g()单调增加； ()求出使 g()取得最小值的 ； ()将 g()的最小值当作 a 的函数，使其等于 f(a)a 21，求 f()19 计算二重积分 I 2y 24 ddy ，其中 D 是由 y 与 y2 所围成的平面区域20 设 1， 2， 3， 4 为 4 维列向量，满足 2， 3， 4 线性无关，且 1 32 2 令 A( 1， 2， 3， 4)， 1 2 3 4求线性方程组 A 的通解21 设 A 是一个 n 阶方阵，满足 A2A，R(A)r，且 A 有两个不同的特征值 ()试证 A 可对角化，并求对角阵 A； () 计算行列式 A2E 22 设随机变量 X

6、 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为记UmaxX，Y，VminX，Y ()求(U，V)的概率分布； ()求 U 与 V 的协方差 Coy(U，V)23 已知 X1，X n 为总体 X 的一组样本，总体 X 的概率密度为 f()(0 为未知参数) 求：() 的矩估计量； () 的最大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 439 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 0 与 1 时，f()无定义，则 f()的间断点为 0 和 1则 0 为 f()的可去间断点 则 1为 f()的跳跃间断点 故应选 A2 【正确答案】 B【

7、试题解析】 故应选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 F(t)t 01f(t)f()dt 01f(t)dt 01f()d，其中于是 F(t) 0tf(u)dut 01f()d，F(t)f(t) 01()d 令 F(t)0，即 f(t) 01f()d，由积分中值定理知 01f()df().1f()， (0，1)， 所以，t 是 F(t)的驻点 由于f()在0，1 上单减，当 0t 时，F(t) f(t) f()0； 当 t1 时，F(t)f(t) f()0，则 F(t)在 t 点取得极大值 故应选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 设 yf(，y)ddyA，则解得 A (e1) 2，从

8、而 f(，y) (e1) 2y 所以故应选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，nR(A)2，从而 R(A)n2，由 R(A)与 R(A*)之间关系知R(A*) 0，即 A*O，所以任选一个 n 维向量均为 A*0 的解 故应选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 4 个 3 维向量 1， 2， 3， 4 必线性相关若 1， 2， 3 线性无关，则 4 可由 1， 2， 3 线性表示，所以 B 正确 对于 C 选项，取易知 4 不能由 1， 2， 3 线性表示，但 1 4， 2 4， 3 4 线性相关，故 C 不正确 对于 D 选项，取易知 4 不能由 1， 2， 3 线性表示，但 1

9、 4， 2 4， 3 4 线性无关，故 D 不正确 故应选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 已知随机变量 X1 的分布函数为 F1()，概率密度函数为 f1()，可以验证 F1(21) 为分布函数， 记其对应的随机变量为 X2，其中 X2 为随机变量 X1 的函数，且 X2 ，记随机变量 X2 的分布函数为 F2()，概率密度函数为 f2()，所以 X 的分布函数为 F()04F 1()06F 2() 两边同时对 求导，得 f()04f 1()06f 2()于是 f()d04 f1()d06 f2()d， 即 E(X)04E(X 1)06E(X 2)04E(X 1)06E( )04 故应选

10、 C8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 X 服从泊松分布 P()，则 E(X)D(X) ，由 E(T) 2，可得 a 0，则a 故应选 A二、填空题9 【正确答案】 y【试题解析】 方程变形为 y ，令 u，则 yu ，两边同时对 求导， 得 yuu ，代入原方程得 u 22u， 分离变量得， 则 ， 积分得 ln(u2)lnuln C1， 即 C 2，则 C 2 由 y 1 1，得 C1 则所求特解为 2，即 y 故应填 y 10 【正确答案】 【试题解析】 因为 f()为分段函数，且为连续函数，则 f()在分段点 0，1均连续，即 则 bf(1)ab，则 ab 1解得 故应填11 【正

11、确答案】 【试题解析】 其中11 且1 1，解得收敛域为11 故应填12 【正确答案】 【试题解析】 RPQPQ(P) ，则 R(P)Q(P) PQ(P)，由题意知，需求弹性 ，则收益对价格 P 的弹性函数为13 【正确答案】 1【试题解析】 ABABE(AE)BAE(A E)(BE) 又 A22E，得(A E)(AE) E 再由 A，B 相似，得 AE 和 BE 相似，从而AEB E 于是ABABE AE .BEAE.A EE1 故应填 114 【正确答案】 e -1【试题解析】 所以联合概率密度为 故 PYX f(，y)ddy 01d0e-ydy 01(1e -)d1(e -11)e -1

12、 故应填 e-1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 此极限是“ ”型未定义，由洛必达法则，可得16 【正确答案】 由z 的最值点与 z2 的最值点一致，下面构造拉格朗日函数 设 F(， y，z，)z 2( 29y 22z 2)( 3y3z 5)，令解得两组解：(，y，z) 1(1， ，1) ；( ，y，z)2(5 ， ，5) 比较z 在两点的值大小：当 1，y 时，z1 为最小值；当 5，y 时，z 5 为最大值17 【正确答案】 当 0t1 时，S(t) 0t(t)d t2； 当 1t2 时，S(t)(t 1)1 t-11(t)d t22t1； 当 t2 时

13、，S(t)1 即 S(t)所以，当 01 时， 0S(t)dt； 当 12 时，当 2 时， 0S(t)dt 01 dt 12( 2t1)dt 2dt1 因此， 0S(t)dt18 【正确答案】 () 因为 g() a a tf(t)dt a (t)f(t)dt a(t)f(t)dt a f(t)dt a tf(t)dt atf(t)dt af()dt， 且 f(t)连续，故上式右边可导，于是 g() a f(t)dtf()f()f() af(t)dtf() a f(t)dt af(t)dt， g()2f()， 因为 f()0，知 g()0，由此可得出 g()为单调增函数 ()令 g()0，即

14、 a f(t)dt af(t)dt0 令 t，dt d，并注意到 f(t)f(t)，则 a f(t)dt a f()d af()d af(t)dt， 因此 a f(t)dt af(t)dt af(t)dt af(t)dt f(t)dt0 ，即 20f(t)dt0 又因为 f(t)0，故 0由()可知g(0)2f(0)0，则 g()在 0 点取得最小值，最小值为 g(0) a at f(t)dt2 0atf(t)dt ( )由 20af(t)dtf(a) a 21，将上式两边对 a 求导，则有 2af(a)f(a)2a， 即 2a，则有 2，两边积分得 lnf()1 2c； 由 20atf(t)

15、dtf(a)a 21，知 f(0)1，则 cln2， 于是得 f()12，即 f()2 119 【正确答案】 设 D1(，y) 2y 24，y ，0， D2(，y) 2y 24，y ，0，y2 ， 由于积分区域 D 关于 Y 轴对称，被积函数 2y 24关于 是偶函数，由对称性知所以 I2(I 1I 2)4 20 【正确答案】 先求 A0 的基础解系 由于 2， 3， 4 线性无关，且1 22 3，得 R(A)3 又因为 12 2 30. 40， 故 A0 基础解系为(1， 2，1，0) T再求 A 的一个特解 由于 1 2 3 4，故(1，1， 1，1) T 为一个特解所以，A 的通解为 (

16、1 ，1，1，1)T k(1，2， 1，0) T，k 为常数21 【正确答案】 () 设 是 A 的特征值，由于 A2A ，所以 2，且 A 有两个不同的特征值，从而 A 的特征值为 0 和 1 又因为 A2A，即 A(AE) O，故R(A) R(AE) n 事实上，因为 A(AE)O，所以 R(A)R(AE)n 另外，由于 EA 同 AE 的秩相同，则有 nR(E) R(E A)AR(A)R(EA) R(A)R(AE)， 从而 R(A) R(AE) n 当 时，因为 R(AE)nR(A) nr，从而齐次线性方程组(E A)0 的基础解系含有 r 个解向量，因此，A 属于特征值1 有 r 个线

17、性无关特征向量，记为 1， 2， r 当 0 时，因为 R(A)r，从而齐次线性方程组(0.E A)0 的基础解系含 nr 个解向量因此，A 属于特征值 0 有 nr 个线性无关的特征向量，记为 r+1， r+2， n 于是1， 2， n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量，所以 A 可对角化，并且对角阵为 A () 令 P( 1， 2， 3， n)，则 APAP -1，所以 A2E PAP -12EA2E E r2E n-r (1) r(2)n-r(一 1)n2n-r22 【正确答案】 ()(U ， V)的可能取值为(1，1)， (1，2)，(2，1)，(2，2)，则 PU1，V1PX1，Y1PX 1PY1 ； PU1，V20； PU2，V1PX2，Y1P(X1，Y 2 PX2PY1PX1PY2 ； PU2，V2PX2，Y2PX2PY2 故(U，V)的概率分布为()由(U，V)的概率分布可得 E(U) ，E(V) ，E(UV) ， 所以 CoV(U，V)E(UV)E(U)E(V) 23 【正确答案】 ()E(X)令 ，解得 ，即 为 的矩估计量 ()似然函数为 L()对数似然函数为 lnL()对数似然方程为 0 其最大似然估计值为 即 的最大似然估计量为