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[考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷440及答案与解析.doc

1、考研数学(数学三)模拟试卷 440 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f()在 1 的某邻域内连续,且 则1 是 f()的( )(A)不可导点(B)可导点但不是驻点(C)驻点且是极大值点(D)驻点且是极小值点2 设在区间a,b上,f()0,f()0,f()0,令 S1 abf()d,S 2f(b)(ba),S3 f(a)f(b)(ba) ,则( )(A)S 1S 2S 3(B) S2S 1S 3(C) S3S 1S 2(D)S 2S 3S 13 设 zf(u) ,方程 u(u) yp(t)dt 确定是 ,y 的函数,其中 f(u),(u)可微,p

2、(t),(u)连续且 (u)1,则 ( )(A)p()(B) p(y)(C) 0(D)z4 设 D 是由直线 1,y1 与曲线 y 3 所围成的平面区域,D 1 是 D 在第一象限的部分,则 I ( )(A)2 yd(B) 2 sinyd(C)(D)05 设 1, 2, 3, 4 是四维非零列向量, A( 1, 2, 3, 4),A *为 A 的伴随矩阵,又知方程组 A0 的基础解系为(1,0,2,0) T,则方程组 A*0 基础解系为( )(A) 1, 2, 3(B) 1 2, 2 3, 3 1(C) 2, 3, 4 或 1, 2, 4(D) 1 2, 2 3, 3 4, 4 16 设 A,

3、B 为挖阶矩阵,下列命题成立的是( )(A)A 与 B 均不可逆的充要条件是 AB 不可逆(B) R(A)n 与 R(B)n 均成立的充要条件是 R(AB)n(C) A0 与 B0 同解的充要条件是 A 与 B 等价(D)A 与 B 相似的充要条件是 EA 与 EB 相似7 设随机变量 XN(,4 2),YN( ,5 2),记 P1PX4,P 2PY5,则( )(A)对任意实数 ,有 P1p 2(B)对任意实数 ,有 P1p 2(C)对任意实数 ,有 p1p 2(D)对 的个别值,有 P1p 28 设随机变量 X 的概率密度为 f() 表示对 X 的 3 次独立重复观测中事件X 发生的次数,则

4、 P(Y2)( )(A)(B)(C)(D)二、填空题9 arctan(1 )d_10 没函数 yy()由方程 ef(y)e yln29 确定,其中 f 具有二阶导数且 f1,则_11 设四次曲线 ya 4b 3c 2d f 经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个拐点该曲线上点(0,0) 与点(3,2) 的切线交于点(2, 4),则该四次曲线的方程为y_12 差分方程 y1 的通解为_13 设 A 是 3 阶实对称矩阵,且满足 A22AO,若 kAE 是正定矩阵,则k_14 设 E(X)2,E(y)V1,D(X)25,D(y) 36, XY04,则 E(2X3Y4)2_三、解答题解答应写出

5、文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(0)存在,求满足 f(y) 的函数 f()16 求由方程 222y 2z 28z z80 所确定的函数 z(,y) 的极值,并指出是极大值还是极小值17 设 f(),g()在a,b 上二阶可导,g()0,f(a)f(b)g(a)g(b)0 证明:()g()0 ,任意 (a,b); ()存在 (a,b),使 18 计算定积分19 求幂级数 的收敛域及和函数,并求级数 的和20 设方程组 ,有三个解 1(1,0,0)T, 2(1,2,0) T, 3(1,1,1) T记 A 为方程组的系数矩阵,求 A21 设二次型 f(1, 2, 3)( 1 2)2(

6、1 3)2( 3 2)2 ()求二次型 f 的秩; ()求正交变换 Q,使二次型 f 化为标准形22 设(X,Y)的概率密度为 f(,y) ()问 X,Y是否独立? ()求 Z2XY 的密度 fz(z), ()求 PZ3 23 设(X,Y)的分布律为F(X,Y) 为(X,Y) 的分布函数,若已知 Cov(X,Y) ()求 a,b,c; ()求 E(X2Y 2)考研数学(数学三)模拟试卷 440 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f()在 1 连续,所以 f(1)f(1) ,由知lnf(1)13sin 2lnf(1)1

7、0,即 f(1)0 则当 0,lnf(1)13sin 2f(1)3sin 2, 推得原式 4,即231,于是所以是 f()的驻点 又由 1, 以及极限的保号性知当 (1)时, 0,即 f()0, 也就是 f()f(1) 所以 f(1)是极大值 1 是极大值点 故应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f()0,f ()0 知曲线 yf()在a,b上单调减少且是凹的,于是有 f(b) f()f(a) (a), (a,b)ABf(b)df(b)(ba)S 2, 所以,S 2S 1S 3 故应选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 方程 u(u) yp(t)dt 两端分别关于 ,y 求偏导数,

8、得由 zf(u) 可微,得故应选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D 如图 52 所示: 被分割成D1,D 2,D 3,D 4 四个小区域,其中 D1,D 2 关于 y 轴对称,D 3,D 4 关于 轴对称,从而 由于 y 关于 或 y 都是奇函数,则 而 siny 关于 是偶函数,关于 y 是奇函数,则故应选 B5 【正确答案】 C【试题解析】 由 A0 的基础解系仅含有一个解向量知, R(A)3,从而 R(A*)1,于是方程组 A*0 的基础解系中含有 3 个解向量 又A*AA *(1, 2, 3, 4)AEO, 所以向量 1, 2, 3, 4 是方程组A*0 的解 因为(1

9、,0,2,0) T 是 A0 的解,故有 12 30,即 1, 3 线性相关从而,向量组 1, 2, 3 与向量组 1, 2, 3, 4 均线性相关,故排除A、B、D 选项 事实上,由 12 30,得 10 22 30 4,即 1 可由2, 3, 4 线性表示,又 R(1, 2, 3, 4)3,所以 2, 3, 4 线性无关,即2, 3, 4 为 A*0 的一个基础解系 故应选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 类似,故均错误,而 C 仅是必要而非充分条件,故应选 D 事实上,若 AB,则由相似矩阵的性质知 EAEB; 反之,若EAE B,则 E(EA) E (EB),即 AB

10、对于选项 A,若 A 与 B 均不可逆,则AB0,从而ABA B0,即 AB 不可逆,但若 AB 不可逆,推出 A 与 B 均不可逆,如 AE,B ,则 ABB 不可逆,但 A 可逆 对于选项 B,与选项 A 相近,由于 R(AB)minR(A),R(B),故若 R(A)n 与 R(B)n 均成立, 则 R(AB)n 但反之,若 R(AB)n,推不出R(A) n 或 R(B)n,如 AE,B ,则 R(AB)R(B)12,但 R(A)2 对于选项 C,由同型矩阵 A 与 B 等价 R(A)R(B)可知,若 A0 与B0 同解,则 A 与 B 等价; 但反之不然,如 A ,B ,则A,B 等价,

11、但 A0 与 B0 显然不同解 故应选 D7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 N(0,1), N(0,1),所以故 p1:p 2,而且与 的取值无关 故应选 A8 【正确答案】 C【试题解析】 故 PY21PY3 1 故应选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 令 t,则 t 2,所以 arctan(1 )darctan(1t)dt2t 2arctan(1t) t 2arctan(1t)(1 )dt t 2arctan(1 t)tln(2t 22t)C arctanC 故应填10 【正确答案】 【试题解析】 方程两边取自然对数,得 lnf(y)yln(ln29),方程两边对 求导,

12、得 f(y).yy, 解得 y 则 y11 【正确答案】 【试题解析】 因曲线经过(0,0)点,则 f0; 又经过(3,2)点,所以y 3 81a27b9c 3df2; 又因为(3, 2)是拐点,所y 3 (12a6b 2c) 3 108a18b2c0; 又因为经过(0,0)的切线斜率为 2,所以 y 0 (4a 33b 22cd) 0 d2; 经过点(3,2)的切线斜率为 2,所以 y 3 (4a3b 2c d) 3 108a27b6cd2 联立解得 a ,b ,c ,d2,f0所以曲线方程为 y2 故应填 12 【正确答案】 y ,C R【试题解析】 齐次差分方程 y1 y0 的特征方程为

13、 0,解得 故齐次差分方程的通解为 C 设特解为 y*A ,代入原方程得 A 故所求通解为 y ,C R 故应填 y,CR13 【正确答案】 小于 或【试题解析】 由 A22AO 知,A 的特征值是 0 或2,则 kAE 的特征值是12k1又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于 0,所以,k 故应填小于 14 【正确答案】 305【试题解析】 E(2X3Y4) 2D(2X3Y4) E(2X 3Y4) 2 4D(X)9D(Y)2Cov(2X,3Y) 2E(X)3E(Y)4 2305 故应填 305三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 f(y) ,令 y0,得

14、f(0)0变形为f(0),两边从 0 到 积分得 arctanf()f(0),于是 f()tanf(0)16 【正确答案】 令 F(,y,z) 2 22y 2z 28zz8,则令解得 y0,48 0,代入222y 2z 28zz 80,解得两组解: ( 1,y 1,z 1)(2,0,1);(2, y2,z 2) 再求二阶导数并以两组解分别代入 对于(1, y2,z 1)(2,0,1)点:故z1 为极小值 对于( 2, y2,z 2) 故 z 为极大值17 【正确答案】 () 反证法 若不然,则在(a ,b)内至少存在一点 c,使 g(c)0,于是由已知条件知,g()在a,c与c ,b上满足罗尔

15、定理条件分别应用罗尔定理,得 1(a,c), 2(c,b),使 g( 1)0,g( 2)0, 于是 g()在 1, 2上满足罗尔定理条件,进一步应用罗尔定理,存在 (1, 2) (a,b),使 g()0,这与条件 g()0, (a,b) 矛盾 故 g()0, (a,b) ()令 F()f()g()f()g() ,则 F()在a,b上连续,在(a ,b)内可导,且 F(a)F(b)0,满足罗尔定理条件对 F()应用罗尔定理,于是存在 (a,b),使 F()0,即 F()f()g()f()g ()f()g()f()g() f()g ()f()g()0, 由于 g()0,g()0,所以18 【正确答

16、案】 令 sint,则19 【正确答案】 由,则 当1,即 时,幂级数绝对收敛; 当 1,即 时,幂级数发散; 当 1,即 时,幂级数为 发散 所以,幂级数的收敛域为( )上式两端求导得 当 时,20 【正确答案】 由题意知 , 即A(1, 2, 3)(A 1,A 2,A 3) 记 B( 1, 2, 3),C,则有 ABC 又因为B 20,矩阵 B 可逆, 从而 B-1 对上式两边同时右乘 B-1,得21 【正确答案】 () 由于 f2 122 222 322 122 232 13,二次型对应的矩阵为 A,则有 所以矩阵 A 的秩为2 ( )记二次型厂的矩阵为 A,则 可知 10, 2 33 又 10 时,特征向量 1(1,1,1) T,将 1 单位化后得r1 2 33 时,特征向量 2 (1,1,0) T, 3(1,0,1)T,对 2, 3 施行施密特正交化得 2 2(1,1,0) T, 3, 再将 2, 3 单位化,得 故正交变换矩阵 Q,且有 Qy,使 f3y 223y 3222 【正确答案】 () 由题可得,因为 f(,y)f().f Y(y),故 X,Y 相互独立23 【正确答案】 () 1,可得 abc 因为 ,所以 ab ,从而 c Cov(X,Y)E(XY)E(X).E(Y) , 而已知 Cov(X,Y) ,故 ()E(X2Y 2)

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