[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷440及答案与解析.doc

1、考研数学（数学三）模拟试卷 440 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()在 1 的某邻域内连续，且 则1 是 f()的( )（A）不可导点（B）可导点但不是驻点（C）驻点且是极大值点（D）驻点且是极小值点2 设在区间a，b上，f()0，f()0，f()0，令 S1 abf()d，S 2f(b)(ba)，S3 f(a)f(b)(ba) ，则( )（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 13 设 zf(u) ，方程 u(u) yp(t)dt 确定是 ，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，p

2、(t)，(u)连续且 (u)1，则 ( )（A）p()（B） p(y)（C） 0（D）z4 设 D 是由直线 1，y1 与曲线 y 3 所围成的平面区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 I ( )（A）2 yd（B） 2 sinyd（C）（D）05 设 1， 2， 3， 4 是四维非零列向量， A( 1， 2， 3， 4)，A *为 A 的伴随矩阵，又知方程组 A0 的基础解系为(1，0，2，0) T，则方程组 A*0 基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 1 2， 2 3， 3 1（C） 2， 3， 4 或 1， 2， 4（D） 1 2， 2 3， 3 4， 4 16 设 A，

3、B 为挖阶矩阵，下列命题成立的是( )（A）A 与 B 均不可逆的充要条件是 AB 不可逆（B） R(A)n 与 R(B)n 均成立的充要条件是 R(AB)n（C） A0 与 B0 同解的充要条件是 A 与 B 等价（D）A 与 B 相似的充要条件是 EA 与 EB 相似7 设随机变量 XN(，4 2)，YN( ，5 2)，记 P1PX4，P 2PY5，则( )（A）对任意实数 ，有 P1p 2（B）对任意实数 ，有 P1p 2（C）对任意实数 ，有 p1p 2（D）对 的个别值，有 P1p 28 设随机变量 X 的概率密度为 f() 表示对 X 的 3 次独立重复观测中事件X 发生的次数，则

4、 P(Y2)( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 arctan(1 )d_10 没函数 yy()由方程 ef(y)e yln29 确定，其中 f 具有二阶导数且 f1，则_11 设四次曲线 ya 4b 3c 2d f 经过点(0，0)，并且点(3，2)是它的一个拐点该曲线上点(0，0) 与点(3，2) 的切线交于点(2， 4)，则该四次曲线的方程为y_12 差分方程 y1 的通解为_13 设 A 是 3 阶实对称矩阵，且满足 A22AO，若 kAE 是正定矩阵，则k_14 设 E(X)2，E(y)V1，D(X)25，D(y) 36， XY04，则 E(2X3Y4)2_三、解答题解答应写出

5、文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(0)存在，求满足 f(y) 的函数 f()16 求由方程 222y 2z 28z z80 所确定的函数 z(，y) 的极值，并指出是极大值还是极小值17 设 f()，g()在a，b 上二阶可导，g()0，f(a)f(b)g(a)g(b)0 证明：()g()0 ，任意 (a，b)； ()存在 (a，b)，使 18 计算定积分19 求幂级数 的收敛域及和函数，并求级数 的和20 设方程组 ，有三个解 1(1，0，0)T， 2(1，2，0) T， 3(1，1，1) T记 A 为方程组的系数矩阵，求 A21 设二次型 f(1， 2， 3)( 1 2)2(

6、1 3)2( 3 2)2 ()求二次型 f 的秩； ()求正交变换 Q，使二次型 f 化为标准形22 设(X，Y)的概率密度为 f(，y) ()问 X，Y是否独立? ()求 Z2XY 的密度 fz(z)， ()求 PZ3 23 设(X，Y)的分布律为F(X，Y) 为(X，Y) 的分布函数，若已知 Cov(X，Y) ()求 a，b，c； ()求 E(X2Y 2)考研数学（数学三）模拟试卷 440 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f()在 1 连续，所以 f(1)f(1) ，由知lnf(1)13sin 2lnf(1)1

7、0，即 f(1)0 则当 0，lnf(1)13sin 2f(1)3sin 2， 推得原式 4，即231，于是所以是 f()的驻点 又由 1， 以及极限的保号性知当 (1)时， 0，即 f()0， 也就是 f()f(1) 所以 f(1)是极大值 1 是极大值点 故应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f()0，f ()0 知曲线 yf()在a，b上单调减少且是凹的，于是有 f(b) f()f(a) (a)， (a，b)ABf(b)df(b)(ba)S 2， 所以，S 2S 1S 3 故应选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 方程 u(u) yp(t)dt 两端分别关于 ，y 求偏导数，

8、得由 zf(u) 可微，得故应选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D 如图 52 所示： 被分割成D1，D 2，D 3，D 4 四个小区域，其中 D1，D 2 关于 y 轴对称，D 3，D 4 关于 轴对称，从而 由于 y 关于 或 y 都是奇函数，则 而 siny 关于 是偶函数，关于 y 是奇函数，则故应选 B5 【正确答案】 C【试题解析】 由 A0 的基础解系仅含有一个解向量知， R(A)3，从而 R(A*)1，于是方程组 A*0 的基础解系中含有 3 个解向量 又A*AA *(1， 2， 3， 4)AEO， 所以向量 1， 2， 3， 4 是方程组A*0 的解 因为(1

9、，0，2，0) T 是 A0 的解，故有 12 30，即 1， 3 线性相关从而，向量组 1， 2， 3 与向量组 1， 2， 3， 4 均线性相关，故排除A、B、D 选项 事实上，由 12 30，得 10 22 30 4，即 1 可由2， 3， 4 线性表示，又 R(1， 2， 3， 4)3，所以 2， 3， 4 线性无关，即2， 3， 4 为 A*0 的一个基础解系 故应选 C6 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 类似，故均错误，而 C 仅是必要而非充分条件，故应选 D 事实上，若 AB，则由相似矩阵的性质知 EAEB； 反之，若EAE B，则 E(EA) E (EB)，即 AB

10、对于选项 A，若 A 与 B 均不可逆，则AB0，从而ABA B0，即 AB 不可逆，但若 AB 不可逆，推出 A 与 B 均不可逆，如 AE，B ，则 ABB 不可逆，但 A 可逆 对于选项 B，与选项 A 相近，由于 R(AB)minR(A)，R(B)，故若 R(A)n 与 R(B)n 均成立， 则 R(AB)n 但反之，若 R(AB)n，推不出R(A) n 或 R(B)n，如 AE，B ，则 R(AB)R(B)12，但 R(A)2 对于选项 C，由同型矩阵 A 与 B 等价 R(A)R(B)可知，若 A0 与B0 同解，则 A 与 B 等价； 但反之不然，如 A ，B ，则A，B 等价，

11、但 A0 与 B0 显然不同解 故应选 D7 【正确答案】 A【试题解析】 由于 N(0，1)， N(0，1)，所以故 p1：p 2，而且与 的取值无关 故应选 A8 【正确答案】 C【试题解析】 故 PY21PY3 1 故应选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 令 t，则 t 2，所以 arctan(1 )darctan(1t)dt2t 2arctan(1t) t 2arctan(1t)(1 )dt t 2arctan(1 t)tln(2t 22t)C arctanC 故应填10 【正确答案】 【试题解析】 方程两边取自然对数，得 lnf(y)yln(ln29)，方程两边对 求导，

12、得 f(y).yy， 解得 y 则 y11 【正确答案】 【试题解析】 因曲线经过(0，0)点，则 f0； 又经过(3，2)点，所以y 3 81a27b9c 3df2； 又因为(3， 2)是拐点，所y 3 (12a6b 2c) 3 108a18b2c0； 又因为经过(0，0)的切线斜率为 2，所以 y 0 (4a 33b 22cd) 0 d2； 经过点(3，2)的切线斜率为 2，所以 y 3 (4a3b 2c d) 3 108a27b6cd2 联立解得 a ，b ，c ，d2，f0所以曲线方程为 y2 故应填 12 【正确答案】 y ，C R【试题解析】 齐次差分方程 y1 y0 的特征方程为

13、 0，解得 故齐次差分方程的通解为 C 设特解为 y*A ，代入原方程得 A 故所求通解为 y ，C R 故应填 y，CR13 【正确答案】 小于 或【试题解析】 由 A22AO 知，A 的特征值是 0 或2，则 kAE 的特征值是12k1又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于 0，所以，k 故应填小于 14 【正确答案】 305【试题解析】 E(2X3Y4) 2D(2X3Y4) E(2X 3Y4) 2 4D(X)9D(Y)2Cov(2X，3Y) 2E(X)3E(Y)4 2305 故应填 305三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 f(y) ，令 y0，得

14、f(0)0变形为f(0)，两边从 0 到 积分得 arctanf()f(0)，于是 f()tanf(0)16 【正确答案】 令 F(，y，z) 2 22y 2z 28zz8，则令解得 y0，48 0，代入222y 2z 28zz 80，解得两组解： ( 1，y 1，z 1)(2，0，1)；(2， y2，z 2) 再求二阶导数并以两组解分别代入 对于(1， y2，z 1)(2，0，1)点：故z1 为极小值 对于( 2， y2，z 2) 故 z 为极大值17 【正确答案】 () 反证法 若不然，则在(a ，b)内至少存在一点 c，使 g(c)0，于是由已知条件知，g()在a，c与c ，b上满足罗尔

15、定理条件分别应用罗尔定理，得 1(a，c)， 2(c，b)，使 g( 1)0，g( 2)0， 于是 g()在 1， 2上满足罗尔定理条件，进一步应用罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使 g()0，这与条件 g()0， (a，b) 矛盾 故 g()0， (a，b) ()令 F()f()g()f()g() ，则 F()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 F(a)F(b)0，满足罗尔定理条件对 F()应用罗尔定理，于是存在 (a，b)，使 F()0，即 F()f()g()f()g ()f()g()f()g() f()g ()f()g()0， 由于 g()0，g()0，所以18 【正确答

16、案】 令 sint，则19 【正确答案】 由，则 当1，即 时，幂级数绝对收敛； 当 1，即 时，幂级数发散； 当 1，即 时，幂级数为 发散 所以，幂级数的收敛域为( )上式两端求导得 当 时，20 【正确答案】 由题意知 ， 即A(1， 2， 3)(A 1，A 2，A 3) 记 B( 1， 2， 3)，C，则有 ABC 又因为B 20，矩阵 B 可逆， 从而 B-1 对上式两边同时右乘 B-1，得21 【正确答案】 () 由于 f2 122 222 322 122 232 13，二次型对应的矩阵为 A，则有 所以矩阵 A 的秩为2 ( )记二次型厂的矩阵为 A，则 可知 10， 2 33 又 10 时，特征向量 1(1，1，1) T，将 1 单位化后得r1 2 33 时，特征向量 2 (1，1，0) T， 3(1，0，1)T，对 2， 3 施行施密特正交化得 2 2(1，1，0) T， 3， 再将 2， 3 单位化，得 故正交变换矩阵 Q，且有 Qy，使 f3y 223y 3222 【正确答案】 () 由题可得，因为 f(，y)f().f Y(y)，故 X，Y 相互独立23 【正确答案】 () 1，可得 abc 因为 ，所以 ab ，从而 c Cov(X，Y)E(XY)E(X).E(Y) ， 而已知 Cov(X，Y) ，故 ()E(X2Y 2)