[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷290及答案与解析.doc

1、考研数学（数学二）模拟试卷 290 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 ，则( )（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a 是 f(x)极大值点（C） a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 F(x)= ，其中 f(x)在 x=0 处可导，f (x)0，f (0)=0，则 x=0 是 F(x)的( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点3 设 ，则( )（A）a=1 ，b=0（B） a=0

2、，b=-2（C） a=0，b=1（D）a=1 ，b=-24 设 f(x)为连续函数， ，则 F(2)等于( )（A）2f(2)（B） f(2)（C） -f(2)（D）05 矩形闸门宽 a 米，高度 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )6 设 y=f(x)是满足微分方程 y+y-ex=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在( )（A）x 0 的某个邻域内单调增加（B） x0 的某个邻域内单调减少（C） x0 处取得极小值（D）x 0 处取得极大值7 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则( )（A）E-A 不可逆， E+A 也不可逆（B） E-

3、A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 也可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆8 设向量 可由向量组 a1，a 2，a m 线性表示，但不能由向量组()a1，a 2，a m线性表示，记向量组 ()a 1，a 2，a m-1， ，则( )（A）a m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示（B） am 不能由() 线性表示，但可能由()线性表示（C） am 可由() 线性表示，也可由()线性表示（D）a m 可由()线性表示，但：不可由()线性表示二、填空题9 设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 dy/dx=_10 =_11 函数 f(u， v)由关

4、系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 =_12 交换积分次序 =_13 设 1-(1+ax2)1/3 与 xln(1+x)是 x=0 处的等价无穷小，则 a=_14 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 当 x10时，f(x)=x ，设 g(x)=17 设 f(x)在0，1上连续，且 0f(x)1，试证在0，1内至少存在一个 ，使 f()=18 求函数 y=(x-1)e/2 +arctanx 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线19 假设：(1)函数 y=f(x)(0x+) 满足

5、条件 f(0)=O 和 0f(x)ex-1；(2)平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 Y=f(x)和 y=ex-1 分别相交于点 P1 和 P2；(3) 曲线 y=f(x)，直线MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度，求函数 y=f(x)的表达式20 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求21 计算22 已知 3 阶矩阵 B 为非零向量，且 B 的每一个列向量都是方程组 ()求 的值； ()证明B=023 设向量 a=(a1，a 2，a n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件aT=0，记 n 阶矩阵

6、 A=aT求： ()A 2； ()矩阵 A 的特征值和特征向量考研数学（数学二）模拟试卷 290 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设， 又因为 f(x)在 x=a 处导数连续，则 f(a)=0，即 x=a 是 f(x)的驻点又由 当 xa 时，f (x)0；当 xa 时，f (x)0，故 f(a)是极大值，所以选 (B)2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，可见 f(x)在 x=0 处的极限存在但不等于在此点的函数值， 因此 x=0 为第一类(可去)间断点，故选(B)3 【正确答案】 A【试题解析】 用洛必达法则

7、，有 得b=0故应选(A)4 【正确答案】 B【试题解析】 利用分部积分法，得所以 F(t)=(t-1)f(t)，F (2)=f(2)故只有选项(B)正确5 【正确答案】 A【试题解析】 取xx+dx 0，h，dF=1*x*a*dx=axdx ，选(A)6 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)满足方程 f(x)+f(x)-ex=0， 所以有 f(x0)=exf(x0)=ex00， 即f(x0)=0，f (x0)0，故 f(x)在 x0 处取得极小值故选(C)7 【正确答案】 C【试题解析】 由 A3=0 可得 E-A 3=(E-A)(E+A+A2)=E 和 E+A3=(E+A)(E-A+A2

8、)=E 显然E-A0，E+A0，所以 E-A 和 E+A 均可逆。故应选 C.8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设， 可由向量组 a1，a 2，a m 线性表示， 则存在一组数后k1，k 2，k m，使 =k1a1+k22+kmam， 但是 不能由 a1，a 2，a m-1 线性表示，从而 km0， 因此 am=1/km(-k1a1-k2a2km-1am-1)， 即 am 可由()a 1，a 2，a m-1，线性表示，所以(A)、(D)不正确 若 am 能由向量组()线性表示，则存在另一组数 1， 2， m-1， 使得 am=1a1+2a2+ m-1am-1， 从而 =k1a1+km-1a

9、m-1+km1a1+2a2+ m-1am-1 =(k1+km1)a1+(k2+km2)a2+(km-1+kmm-1)am-1， 这与前述已知矛盾，所以 am 不能由向量组()线性表示，综上，选(B)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 等式两边同时对 x 求导得 exy(y+xy)+2yy=-sinx，解得10 【正确答案】 ln3【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 南已知关系式 fxg(y)，y=x+g(y)两边对 x 求二次偏导，有 f u*g(y)=1， (1) fuug(y)2=0 (2) 由已知 g(y)0，所以 fuu=0，在(1)式两边对 y 求一次偏导，有 f

10、u*g(y)+fuu*x*g(y)+fuv*1g(y)=0? 将 fuu=0 代入上式，得 fu*g(y)+fuv*g(y)=0，从而12 【正确答案】 【试题解析】 由题设，设原积分中两部分的积分区域分别如图所示，则原式13 【正确答案】 -3【试题解析】 因为 1-(1+ax2)1/3 -(a/3)x 2，xln(1+x)x 2，且 1-(1+ax2)1/3xln(1+x)，所以 a=-314 【正确答案】 1【试题解析】 矩阵 所以故 A3 的秩为 r(A3)=1 AA268三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 x1 时， 按照等价无穷小代换16 【正

11、确答案】 17 【正确答案】 于是 f1)1+m1，矛盾，所以在0，1 内至少存在一个 ，使 f()=18 【正确答案】 得驻点 x1=0，x 2=-1，列表如下：则单调递增区间为(-，-1) ，(0，+)，单调递减区间为(-1，0)，极小值为 f(0)=-e/2，极大值为 f(-1)=-2e/4由于 ，则得一条渐近线y=e(x-2)又由于 ，从而得另一条渐近线 y=x-2 而 y(x)在(-，+)上连续，因此无垂直渐近线， 综上，曲线有两条斜渐近线：y=e(x-2)和 y=x-219 【正确答案】 由已知条件，有 0xf(t)dt=ex-1-f(x)， 方程两边对 x 求导得 f(x)=ex

12、-f(x)，即 f(x)+f(x)=ex， 令 x=0，由原方程得 f(0)=0， 于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)+f(x)=ex 满足初始条件 f(0)=0 的特解 由一阶线性微分方程的通解公式，得20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 () 因B0，故 B 中至少有一个非零列向量，依题意，所给齐次方程组非零解，故必有系数行列式A= =0，由此可得 =1 ()因 B 的每一列向量都是原方程的解，故 AB=0 因 A0则必有B=0事实上，倘若不然，设B0，则 B 可逆，故由 AB=0 两边右乘 B-1，得 A=0，这与已知条件矛盾，可见必有B=023 【正确答案】 () 由题设，a ， 都是非零向量，且 aT=o，则 Ta=0，则A2=(aT)(aT)=(Ta)aT=O，即 A2 为零矩阵 ()由特征值及特征向量的定义，设为 A 的特征值，x 为其相应的特征向量， 则 Ax=x，x0，由前述知 A2=D，从而 0=AAx=Ax=2x，即 =0，所以 A 的所有特征值都为 0又 A=，不失一般性，可设 a10，b 10，则由初等行变换可化 A 为，由此 Ax=0 的基础解系为所以 A的特征向量为 k11+k22+kn-1n-1，其中后。k 1，k 2，k n-1 是不全为 0 的任意常数