[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷404及答案与解析.doc

1、考研数学（数学二）模拟试卷 404 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y=y(x)由方程 x2 一 ax2y2+by3=0 所确定，要使 x=1 是 y=y(x)的驻点，且曲线 y=y(x)通过点 (1，1)，则( )（A）a=2 ，b=3（B）（C）（D）a=-2，b=-32 设 ，则在点 x=a 处( )（A）f(x)的导数存在，且 f(A)0（B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值（D）f(x)的导数不存在3 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(A)=f(B)，f(x)0，则( ) （A）f(x)在a，b内没有零点（B）

2、 f(x)在a，b内只有一个零点（C） f(x)在a，b内至少有一个零点（D）f(x)在a，b内零点个数不能确定4 设 f(x)在0，1上连续， f(x)0记则( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I2I 3I 1（D）I 1I 3 I25 设函数 z=f(x，y)满足 且 f(x，0)=1 ，一(x ，0)=x ，则 f(x，y)=( )（A）1 一 xy+y2（B） 1+xy+y2（C） 1 一 x2y+y2（D）1+x 2y+y26 设 =( )（A）1（B）（C）（D）e 一 17 设 A 是三阶实对称矩阵， 1， 2， 3 是 3 个非零特征值，且满足a123

3、b若 kA+E 为正定矩阵，则参数 k 应满足( )（A）k一 1a（B） ka（C） kb（D）k一 1b8 已知 1=2， 2=1， 3=一 1 为三阶矩阵 A 的 3 个特征值，对应特征向量为1,2,3令 P=22，3 3，一 1，则 P 一 1(A+2E)P=( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 已知 则 a=_10 曲线 的渐近线方程是_11 设函数 f(x)在 x=1 处连续，且 则 f(1)=_12 =_。13 =_.14 设 A 为三阶方阵，B 为四阶方阵，且 A 的三个特征值分别为 1，2，3，B 2=0，则矩阵 的非零特征值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或

4、演算步骤。15 (I)求极限 ，a i0,且 ai1，i=1，2，n，n2；()利用(I)中结果求16 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且证明：存在 (0，2)，使 f()=016 设函数 f(x)在(一，+)内连续，且 F(x)=0x(x 一 2t)f(t)dt 证明：17 若 f(x)为偶函数，则 F(x)也是偶函数;18 若 f(x)为非增函数，则 F(x)为非减函数19 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4-xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值20 求曲线 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2

5、 所围成的图形的面积最小20 设 z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足21 作自变量与因变量变换：u=x+y， v=x y， w=xyz 将 z 所满足的方程变换为 w 关于 u，v 的偏导数满足的方程22 求 z=z(x，y)23 求微分方程 的通解24 设向量组， 1,2 r 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解 证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ r 线性无关25 已知实矩阵 A 的伴随矩阵 若矩阵 B 满足柚 A-1=一 BA 一1+2E，求 B考研数学（数学二）模拟试卷 404 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

6、题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 y=y(x)过点(1，1)，故 1 一 a+b=0，a 一 b=1 又因 x=1 是y=y(x)的驻点，则 y(1)=0先求 y(x)在 x3 一 ax2y2+by3=0 两边对 x 求导，得到2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设有 由极限的保号性知，存在 x=a 的右邻域(a ，a+ 1)(10)，使 f(x)一 f(A)0， 即 f(x)f(A)，也存在 x=a 的左邻域(a一 2，a)(0)，使 f(x)一 f(A)0， 即 f(x)f(A)由极值的定义知，f(A)为 f(x)的极大值仅 B 入选3 【正确答案】 B【试题解析】 因为

7、f(x)在a ，b 上连续，(a ，b) 内可导，f(A)一 f(B)，由罗尔定理知，至少存在-(a，b)，使得 f()=0如果 f(x)在 (a，b)内有两个零点1， 2(12)，则函数 f(x)在 1， 2上仍满足罗尔定理条件，则在 1， 2 之间存在3，使 f(3)=0，这与在a，b上 f(x)0 矛盾因此仅 B 入选4 【正确答案】 B【试题解析】 在 I1 中，令 x=sint，当 x=0 时，t=0；当 x=1 时， 且dx=costdt因此 在 I1 中，令 x=tanx，当x=0 时， t=0；当 x=1 时， ，且 dx=sec2tdt，当 时，sect1，从而有 sec2t

8、1因此 于是有 I3I 1I 2仅B 入选5 【正确答案】 B【试题解析】 在方程 两边对 y 积分得 由 fy(x，0)=x 知再积分得 f(x，y)=y 2+xy+C1(x)，再由 f(x，0)=1 知C1(x)=1于是 f(x，y)=1+xy+y 2仅 B 入选6 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域如上图所示 交换积分次序，得 仅 B 入选7 【正确答案】 A【试题解析】 由题设有 a123B，故 当时，由上式知 从而当 时，kA+E 为正定矩阵仅 A 入选8 【正确答案】 A【试题解析】 因 1,2,3 为 A 的 3 个不同特征值的特征向量，故线性无关，且它们都是齐次方程的解而

9、22，3 3，一 1 仍然分别为齐次方程的解，且它们线性无关，故它们也为 A 的 3 个不同特征值的特征向量于是令 P=22，3 2，一 1，有 故 P 一 1(A+2E)P=P 一 1AP+2P 一 1EP仅 A 入选二、填空题9 【正确答案】 因 分子、分母去掉高阶无穷小，得到 故 a=一 210 【正确答案】 故当 x3 时，函数 y 不趋向无穷大，同法可得当 x4 时，y 也不趋向无穷大y无铅直渐近线，也无斜渐近线，y 的水平渐近线为 11 【正确答案】 12 【正确答案】 13 【正确答案】 交换积分次序(先对 y 后对 x)计算，得到：14 【正确答案】 矩阵 的特征值由 2A*+

10、E 与 B 的特征值组成由B2=0 知，B 的特征值为 0而 2A*+E 的特征值为 其中 i(i=1，2，3)为 A的特征值，故A= 123=6于是 2A*+E 的三个特征值为又因 B 的特征值全为 0，故的非零特征值为 5，7，13三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由积分中值定理得于是 f(x)在，2上满足罗尔定理，即存在 1(，2)，使 f(1)=0 又 f(x)在 满足罗尔定理，于是存在，使 f(2)=0 由式、式得到 f(1)=f(2)再对 f(x)在 2， 1上使用罗尔定理，得到 (2， 1)C(0，2)，使 f()=017

11、【正确答案】 由于 f(一 x)=f(x)，则 F(-x)= 0x(一 x+2t)f(t)dt(令 t=一 u) =一 0x(一x+2u)f(-u)du =0x(x 一 2u)f(u)du=F(x)， 故 F(x)也是偶函数18 【正确答案】 由于 f(x)非增，则F(x)=f(t)dt+xf(x)一 2xf(x)=zf()一 xf(x)(0x 或 x 0)=xf()一 f(x)0，所以 F(x)为非减函数19 【正确答案】 由方程组 得 x=0(0y6)及点(4，0)，(2，1)点(4，0)及线段 x=0 在 D 的边界上，且 f(2，1)=4 在边界 x+y=6上，y=6 一 x，代入 f

12、(x， y)中，得 z=2x312x 2 (0x6)由 z=6x224x=0 得x=0，x=4当 x=0 时，y=6，f(0 ，6)=0当 x=4 时，y=2，f(4 ，2)=一 64经比较，最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=一 6420 【正确答案】 设切点为 ，则过此点的切线 l 的方程为其中切线 l 的斜率为 将 x=2，x=0 代入切线 l 的方程，即得 则21 【正确答案】 z=xy 一 w，由复合函数微分法则得到代入原方程，得22 【正确答案】 解上述方程，对 u 积分得 再对 u 积分得其中 (v)，(v)是有二阶连续导数的任意函数，则由w=xyz 得到 即23

13、 【正确答案】 对应齐次方程的特征方程为 r34r 2 一 k-4r=0，解得 r1=0，r 2=r3=2所以对应的齐次方程的通解为 y=c1+(c2+c3x)e2x令所给方程的一个特解为 y*=Ae-x将它代入原方程并比较两边系数，得 ，于是 故原方程通解为24 【正确答案】 用矩阵表示法证之先证 1,2 n， 线性无关，可用反证法证之如果 1,2 n， 线性相关，而 1,2 n 线性无关，故 可由1,2 n 线性表示设 =k11+k22+knn在上式两端左乘 A，得到A=k1A1+k2A2+knAn=0+0+0=0这与 A0 矛盾，故 1,2 n， 线性无关又因=1,2 nK显然K0，故 ， +1，+ 2，+ n 线性无关25 【正确答案】 为消去题设方程两边的公因子，在其两边右乘 A 得到 AB=一B+2A， 即 AB+B 一 2A=0 另求得 ，故由A *= A n 一 1=A 4 一 1=A 3=一 8，故A =一 2为在方程中化未知为已知，在方程两边同时左乘 A*，利用 A*A=A E=一 2E 得到一 2B=一 A*B一 4E，即(A *一 2E)B=一 4E由A *一 2E0 可知，A *一 2E 可逆，故 B=一4(A*一 2E)-1 由“两调一除”的方法易得