[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷411及答案与解析.doc

1、考研数学（数学二）模拟试卷 411 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 x=0 是 f(x)的( )（A）可去间断点。（B）跳跃间断点。（C）无穷间断点。（D）振荡间断点。2 设 f(x，y)=g(x，y)|x 一 y|，g(x，y)在(0 ，0)的某邻域内连续，则 g(0，0)=0 是fx(0，0)，f y(0，0)存在的( )（A）充分非必要条件。（B）必要非充分条件。（C）充要条件。（D）既非充分又非必要条件。3 设 f(x)是( 一，+)上连续的偶函数，且|f(x)|M，当 x(一，+) 时成立，则F(x)= f(t)dt

2、 是(一， +)上的( )（A）有界偶函数。（B）无界偶函数。（C）有界奇函数。（D）无界奇函数。4 曲线 y= ( )（A）有一条渐近线。（B）有两条渐近线。（C）有三条渐近线。（D）没有渐近线。5 设 z(x，y)是方程 =x2+2y 满足条件 z(x，x 2)=1 的解，则 01z(1，y)dy=( )6 设函数 f(x)= ，则( )（A）f(x)在 x=0 处的左、右极限均存在。（B） f(x)在 x=0 处的左、右极限均不存在。（C） 11f(x)dx 收敛。（D） 11f(x)dx 发散。7 设 B 为 nm 实矩阵，且 r(B)=n，则下列命题中BB T 的行列式的值为零；BB

3、T 必与单位阵等价； BBT 必与对角阵相似； BBT 必与单位阵合同。正确的个数有( )（A）1 个。（B） 2 个。（C） 3 个。（D）4 个。8 已知 A= ，则 A 与 B( )（A）等价、相似、合同。（B）等价、相似、不合同。（C）不等价、不相似、不合同。（D）等价、不相似、合同。二、填空题9 =_。10 设 z= =_。11 微分方程 =x 的通解为_。12 已知极坐标下的累次积分 I= d0acosf(rcos，rsin)rdr，其中 a0 为常数，则 I 在直角坐标系下可表示成_。13 曲线 y= (0x1)绕 x 轴旋转一周所：得的旋转曲面的面积为_。14 设 n 阶方阵

4、A、B 相似，A 2=2E，则行列式|AB+AB 一 E|=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算极限 。16 设 f(x)在0，1上存在二阶导数，且满足条件 |f(x)|a，|f“(x)|b，试证|f(c)|2a+。17 设二元函数 z=z(x，y)具有二阶连续偏导数，并且经变换=0，求满足条件的常数 a。18 设 f(x)为连续函数。 ( )求初值问题 的解 y(x)，其中 a 为正的常数； () 若 |f(x)|k(k 为常数)，证明：当 x0 时，有|y(x)| (1 一 eax)。19 一底为 8cm，高为 6cm 的等腰三角形铁片，铅直地沉入到水中，顶在上

5、，底在下且与水面平行，而顶离水面 3cm，试求它的每面所受的压力(重力加速度按98m 2s 计算)。20 函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，f(1)=1，证明：()存在c(0，1)，使得 f(c)= =2。21 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 xy)在由直线 x+y=6、x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值。22 已知 A，B 为三阶非零方阵，A=为齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量，且 Ax=3 有解。 ()求 a，b 的值； ()求 Bx=0 的通解。23 设 A 为三阶方阵， 1， 2， 3 为三维线性无关的列向

6、量组，且有A1=2， 3，A 2=3+1，A 3=1+2。 () 求 A 的全部特征值； ()A 是否可对角化?考研数学（数学二）模拟试卷 411 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 所以 x=0 是f(x)的跳跃间断点。故选 B。2 【正确答案】 C【试题解析】 f x(0，0)=一 1，故要使 fx(0，0)存在，当且仅当 g(0，0)=0。同理，f y(0，0)存在(0，0)=0。从而应选 C。3 【正确答案】 A【试题解析】 首先，讨论 F(x)的奇偶性，对任意的 x 有 F( 一 x)=F(x)，可见，F(x)是(

7、一，+)上的偶函数。 其次，讨论 F(x)的有界性，因 F(x)是(一，+)的偶函数，可限于讨论 x0 时 F(x)的有界性，由于故 F(x)也是(一，+)上有界的函数。故应选 A。4 【正确答案】 B【试题解析】 所以 x=0 是曲线的铅直渐近线。因此，曲线有两条渐近线。故应选择 B。5 【正确答案】 A【试题解析】 z(x，y)= =(x2+2y)dy=x2y+y2+C(x)，且已知 z(x，x 2)=1，于是有 x2x 2+(x2)2+C(x)=1，故 C(x)=12x4，所以 z(x，y)=x 2y+y2+12x4。 代入所求积分得 01z(1，y)dy= 01(y+y2+12)dy=

8、 ，故诜 A。6 【正确答案】 D【试题解析】 显然，x=0 是被积函数的唯一瑕点(奇点)，故将积分区间分开，即 11f(x)dx=10f(x)dx+01f(x)dx，注意到 10f(x)dx= =+，所以反常积分 11f(x)dx 发散。故选 D。7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(B)=r(BBT)=n，由此知行列式 |BBT|0，命题不成立；由于两个同阶矩阵等价的充要条件是秩相等，因此 BBT 与单位阵等价，命题 成立；由于 BBT 是实对称矩阵，所以必与对角矩阵相似，命题 成立；对于任意的x0，由 r(Bnm)=n，知 BTx0，于是(B Tz)BTTz=xT(BBT)x0，可

9、见 BBTT 为正定矩阵，因此必与单位矩阵合同，命题成立。故应选 C。8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 r(A)=3，r(B)=3 ，所以 A 与 B 等价。 A 与 B 均为实对称矩阵，若特征值相同，则 A 与 B 相似，否则 A 与 B 不相似。由于所以 A 的特征值为 A=一 1，3，1，B 的特征值为 B=2，1+ ，因此 A与 B 不相似。 但由于 A 与 B 的正负惯性指数是相同的，即正惯性指数均为 2，负惯性指数均为 1，所以 A 与 B 合同，故选 D。二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 3x2yln(1+xy2)【试题解析】 先将原式进行恒等变

10、形，即 z= ，于是利用复合函数求导法则11 【正确答案】 ，C0【试题解析】 12 【正确答案】 0adx f(x，y)dy【试题解析】 设 x=rcos，y=rsin ，原积分区域为 D=(r ，)|0racos ，一，变换到直角坐标系下有 x2+y2=r2racos=ax，0ca ，如图：13 【正确答案】 【试题解析】 由旋转曲面面积的计算公式可得14 【正确答案】 1【试题解析】 因为方阵 A、B 相似，所以 A+E 与 B+E 也相似，故|A+E|=|B+E| ，则 |AB+AB 一 E|=|(A 一 E)(B+E)|=|A 一 E|B+E| =|A 一 E|A+E|=|(A 一

11、E)(A+E)| =|A2 一 E|=|E|=1。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由 f(x)二阶可导，将函数在 x=c 处展开成泰勒级数，有其中，在0 ，1 上，c 2+(1 一 c)2 的最大值为 1。17 【正确答案】 由偏导数的链式法则，有18 【正确答案】 () 先求解对应的齐次方程 y+ay=0，可得其通解为 ln|y|=一ax+C，整理可得 y=Ceax。 根据常数变易法，令非齐次方程的通解为 y=C(x)eax，代入原非齐次方程可得 C(x)e ax 一 aC(x)eax+aC(x)eax=f(x)。故 C(x)=eax

12、f(x)，积分可得 C(x)= 0xeatf(t)dt+C，故 y=(0xeatf(t)dt+C)dt+C)eax。由 y|x=0=0，可知C=0，从而 y=e ax0xeatf(t)dt。 ()由题意可知|y|=e ax|0xeatf(t)dt| eax0xeat|f(t)|dt keax0xeatdt = (1 一 eax)。19 【正确答案】 建立坐标系如图所示：根据压力计算公式 F=PS，其中压强P=gh。 取微元 dF=g(一 y)dS=g(一 y)2xdy，20 【正确答案】 () 令 F(x)=f(x)一 ，显然 F(x)在 0，1上连续，且 F(0)=f(0)一0，根据零点定理

13、，存在 c(0，1)，使得 F(c)=0，即 f(c)= 。 ()因为 f(x)在0 ，1上连续，在(0，1)上可导，在(0，c)和(c， 1)上分别使用拉格朗日中值定理可得，存在 ， (0，1)，使得21 【正确答案】 首先在区域 D 内求驻点。令 在 D内仅有唯一驻点(2，1) 。在点(2，1) 处，有 A=f“ xx(2，1)=(8y 一 6xy 一 2y2)|(2，1) =一60， B=f“ xy(2，1)=(8x 一 3x2 一 4xy)|(2，1) =一 4， C=f“yy(2，1)=一 2x2|(2，1) =一 8。于是，ACB 2=320，A0，因此点(2，1)是极大值点，且极

14、大值 f(2，1)=4 。在D 的边界 x=0(0y6)和 y=0(0x6)上，f(x，y)=0 。在 D 的边界 x+y=6(0x6)上，把 y=6 一 x 代入 f(x，y) 可得 z=2x 2(x 一 6)，(0x6)。由于 z=6x(x 一 4)所以点(4，2)是这段边界上 z 的最小值点，最小值 f(4，2)=一 64。 比较 D 内驻点的函数值 f(2，1)=4 和 f(x，y)在 D 的边界上的最大值和最小值可得 f(x， y)在 D 上的最大值和最小值分别是 (x，y)=f(4，2)= 一 64。22 【正确答案】 () 由 1， 2， 3 均为 Bx=0 的解，而 BO 知，

15、 1， 2， 3 必线性相关，于是| 1， 2， 3|= =0，由此解得 a=3b。由 Ax=3 有解，知r(A： 3)=r(A)，可见有 b=5。故 a=15，b=5。 () 由题设 r(B)1，于是 3 一 r(B)2，而 1， 2 为Bx=0 的两个线性无关的解，故 3 一 r(B)=2，可见 1， 2 可作为 Bx=0 的基础解系，故通解为 x=k 11+k22(k1，k 2 为任意常数)。23 【正确答案】 ()A( 1， 2， 3)：(A 1，a 2，a 3)=(1， 2， 3) 。由于 1， 2， 3 为三维线性无关的列向量组，所以矩阵( 1， 2， 3)可逆，从而(1， 2， 3)1A(1， 2， 3)= ，所以 A 。相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵 A 的特征值与矩阵