[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷420及答案与解析.doc

1、考研数学（数学二）模拟试卷 420 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()二阶连续可导， g()连续，且 f()lncos 0g(t)dt， 2，则( )（A）f(0)为 f()的极大值（B） f(0)为 f()的极小值（C） (0，f(0)为 yf() 的拐点（D）f(0)不是 f()的极值，(0，f(0)也不是 yf()的拐点2 当 0 时， f(ln) ，则 -22f()d为( )（A）（B）（C）（D）3 设 zz(，y)由 F(azby ，b cz ，cy a) 0 确定，其中函数 F 连续可偏导且af1 cf20，则 ( )（A）a

2、（B） b（C） c（D）ab c4 设函数 f()在( ，)上连续，其导函数的图形如图所示，则 f()有( ) （A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点5 设 D 为 y ， 0，y1 所围成区域，则 arctanyddy( )（A）（B）（C）（D）6 设函数 uf(z ，yz ，)的所有二阶偏导数都连续，则 ( )（A）0（B） zf 11yzf 22z 2f 12（C） z2f 12zf 32（D）zf 11yzf 227 设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BAC，则( )（A）若矩阵 C 的列向量

3、线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关（B）若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关（C）若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关（D）若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关8 设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值全为 0，则( )（A）AO（B） A 只有一个线性无关的特征向量（C） A 不能与对角阵相似（D）当 A 与对角阵相似时，AO二、填空题9 _10 设 yf() 与 ysin2 在(0，0)处切线相同，其中 f()可导，则_11 _12 由方程 2yz 2 0 所确定的函数 zz(，y)在点(1，1，2)处的全微分 dz_ 1

4、3 设函数 yy()在(0，) 上满足 y( sin) o() ，且 ，则 y()_14 设矩阵 A 不可对角化，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算极限 16 设 uf(y，y，z)由 +zy+zP(t)dt 确定 z 为 ，y 的函数，又 f 连续可偏导，P 可导，且 p(y)p( z)10，求 17 设 f()在0，2上二阶可导，且 f()0，f(0)1，f(2)1，f(0)f(2)1证明：2 02f()d318 设抛物线 y 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0) ( )求 SS(

5、a)的表达式； ()当 a 取何值时，面积 S(a)最小?19 计算 ，其中 D(，y) 2y 21，0，y020 设曲线 yy()位于第一卦限且在原点处的切线与 轴相切，P(，y) 为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l1，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l2，又满足 (3l12) 2(1)l 2，求曲线 yy()21 设曲线 yy()(0)是微分方程 2yyy(46)e -的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 轴 () 求曲线 yy()的表达式； ()求曲线yy()到 轴的最大距离； ()计算积分 0 y()d22 设非齐次线性方程组 有三个

6、线性无关解1， 2， 3 () 证明系数矩阵的秩 r(A)2； ()求常数 a，b 的值及通解23 设 f(1， 2， 3) 12 222 322a 122b 132c 23X TAX，其中 ATA 又 B 且 AB O 求正交矩阵 Q，使得 XTAX 在正交变换 XQY 下化为标准二次型考研数学（数学二）模拟试卷 420 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)0， 2 得 g(0)0，g(0) 2 由0g(t)dt 0g(u)du 得 f()lncos 0g(u)du故(0， f(0)为 yf()的拐点，选 C

7、2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(ln) 得 f() ，故选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 F(azby ， bcz，cy a)0 两边对 求偏导得0，解得 ； F(azby，bcz，cy a)0 两边对 y 求偏导得 ， 故， 因此选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 设导函数的图形与 轴的交点从左至右依次为 A，B，C ，在点 A左侧 f()0，右侧 f()0所以点 A 为 f()的极大值点，同理可知点 B 与 C 都是 f()的极小值点关键是点 0 处，在它左侧 f()0，右侧 f()0，而 f()在点O 连续，所以点 O 也是 f()的极大值点(不论在 0 处 f()是

8、否可导，见极值第一充分条件)，选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 因此选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 因此选 C7 【正确答案】 D【试题解析】 设 B 为 mn 矩阵，A 为 ns 矩阵，则 C 为 ms 矩阵，且 r(B)n因为 BAC，所以 r(C)r(A)，r(C)r(B) 若 r(C)s，则 r(A)s，又 r(A)s，所以 r(A) s，A 的列向量组线性无关，A 项不对；若 r(C)s，则 r(A)s，所以 A 的行向量组的秩为 s，故 ns若 ns，则 A 的行向量组线性相关，若 ns，则 A 的行向量组线性无关，B 项不对；若 r(A)s，因为 r(C)s，所以不

9、能断定 C 的列向量组线性相关还是无关，C 项不对；若 r(C)s，则 r(A)s，故选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 若 A 的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP ，于是 AO，选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 由 yf()与 ysin2 在(0，0)处切线相同得 f(0)0，f(0)2 由0f(t)dt 0f(u)du11 【正确答案】 10【试题解析】 12 【正确答案】 d 2dy【试题解析】 2y+z2 0 两边对 求偏导得 10， 则 ， z2yz 2 0 两边对 y 求偏导得 2 0， 则

10、2，于是dz d2dy13 【正确答案】 (1cos)【试题解析】 由可微的定义，函数 yy()在(0，)内可微，且 y sin或 y sin，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 y(cosC) 由 得 C1，所以 y(1cos) 14 【正确答案】 0 或 4【试题解析】 由EA (a)(4)0， 得10， 2， 34 因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而a0 或 a4 当 a0 时，由 r(OEA)r(A)2 得 1 20 只有一个线性无关的特征向量， 则 A 不可对角化，a0 合题意； 当 a4 时，4E A， 由 r(4EA) 2 得 2 34 只有一个线性无关的

11、特征向量，故 A 不可对角化，a4 合题意三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当 0 时，1 ，则16 【正确答案】 将 uf(y，y，z)及 z +zy+zp(t)dt 两边对 求偏导得17 【正确答案】 首先 f()0，所以 f()在(0 ，2)内不可能取到最小值，从而 f(0)f(2)1 为最小值，故 f()1(0，2) ，从而 02()d0因为f()0，所以有 所以 02f()d 01f()d 12f()d01(1)d(3 )d318 【正确答案】 () 设另一个切点为( 0， 02)，则抛物线 y 2 的两条切线分别为 L1：y2a a2， L 2：

12、y2 0 02 因为 L1L2，所以 0 ，两条切线L1，L 2 的交点为 1 ，y 1a 0，L 1，L 2 及抛物线 y 2。所围成的面积为()S(a) 0，得 a 因为当 a(0， )时，S(a)0， 当a 时，S(a)0， 所以当 a 时，面积 S(a)取最小值19 【正确答案】 20 【正确答案】 由已知条件得 y(0)0，y(0) 0， l 1 0 d； P(，y)处的切线为 yyy(X) ， 令 X0，则 Yyy，A 的坐标为(0 ，yy) ， l 2， 由 (3l12) 2(1)l 2 得两边对 求导整理得1y 22(1)yy 令 yp，y ，代入得 1p 22( 1)p ，

13、变量分离得 ， 积分得 ln(1P 2)ln(1)lnC 1，即 1P 2C 1(1)，由初始条件得 C11，即 p ，从而 y C 2， 再由 y(0)0 得 C20，故所求的曲线为 y2 321 【正确答案】 () 微分方程的特征方程为 2 210， 特征值为11， 2 ，则微分方程 2yyy0 的通解为 yC 1e-C 2 令非齐次线性微分方程 2yyy(46)e -的特解为 y0()(ab)e -，代入原方程得 a1，b 0，故原方程的特解为 y0() 2e-，原方程的通解为 yC 1e- C2 e -， 由初始条件 y(0)y(0)0 得 C1C 20，故 y 2e- ()曲线y 2

14、e-到 轴的距离为 d 2e-， 令 d2e - 2e-(2)e -0，得 2 当(0，2)时，d0； 当 2 时，d0， 则 2 为 d 2e-的最大值点，最大距离为 d(2) () 0 y()d 0 2e-d222 【正确答案】 () 令 r(A)r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以 r(A)2 1 2， 1 3 为对应的齐次线性方程组的两个解 令 k1(1 2)k 2(1 3)0，即(k 1k 2)1k 12 k230 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 k1k 20，即 1 2， 1 3 线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即 4r2 或 r2，故 r(A)2因为r(A)r( )2，所以 解得 a2，b3，于是通解为 X23 【正确答案】 A ，由 ABO 得 B 的列为 AX0 的解， 令，由 A10 1，A 20 2 得 1 20 为 A 的特征值， 1， 2 为 1 20 对应的线性无关的特征向量 又由 1 2 3tr(A)6 得34， 令 3 为 34 对应的特征向量， 由 ATA 得34 对应的线性无关的特征向量为 3