[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷428及答案与解析.doc

1、考研数学（数学二）模拟试卷 428 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=f(0)=2，则 =( )2 曲线 y= 的渐近线条数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。3 设函数 f(x)= ，则 x=0 为 f(x)的( )（A）连续点。（B）跳跃间断点。（C）可去间断点。（D）无穷间断点。4 设M= ，其中 D=(x，y)x 2+y21，则( )（A）MNP 。（B） NM P 。（C） M=NP。（D）M=PN。5 设函数 f(x)有三阶导数，且 =1，则 ( )（A）f(0)是 f(

2、x)的极大值。（B） f(0)是 f(x)的极小值。（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是 f(x)的极小值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。6 设函数 f(x)具有连续的导数，则( )（A）若 f(x)是偶函数，则对任意实数 a， axf(t)dt 必为奇函数。（B）若 f(x)是周期函数，则 0xf(t)dt 必为周期函数。（C）若 f(x)是奇函数，则 0xf(t)dt 必为奇函数。（D）若 f(x)是偶函数，则 0xf(t)dt 必为偶函数。7 设 A 为 mn 矩阵，曰为 nm 矩阵，若矩阵 AB 可逆，则下列说法中正确的是( )（A）A

3、的行向量组线性无关，B 的行向量组也线性无关。（B） A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关。（C） A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关。（D）A 的列向量组线性无关，B 的列向量组也线性无关。8 设 1， 2， 3， 4， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（A）若 1， 2， 3， 4 线性相关，那么当 k1，k 2，k 3，k 4 不全为 0 时，k11+k22+k33+k44=0。（B）若 1， 2， 3， 4 线性相关，那么当 k11+k22+k33+k44=0 时，k1，k 2，k 3，k 4 不全为 0。（C）若 5 不能由 1， 2， 3， 4

4、线性表出，则 1， 2， 3， 4 线性相关。、（D）若 1， 2， 3， 4 线性相关，则 5 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出。二、填空题9 函数 y=f(x)由参数方程=_。10 x2+0xet2sin3tdtxcos2xdx=_。11 以 C1ex +C2ex+C3 为通解的常系数齐次线性微分方程为_。12 已知 f(x)= ，则 f(1)=_。13 设函数 z=f(x，y)由方程 x 一 az=(ybz)所确定，其中 可导，且 ab0，则=_。14 设矩阵 A= ，若存在不相同的矩阵 B，C 使得 AB=AC，且 A*O，则a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步

5、骤。15 设曲线 L 过点(1 ，1)， L 上任意一点 p(x，y)处的切线交 x 轴于点 T，O 为坐标原点，若PT= OT 。试求曲线 L 的方程。16 求函数 f(x，y)=xy 一 x 一 y 在由抛物线 y=4x2(x0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域 D 上的最大值和最小值。16 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)上可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为 M0。设 n1，证明：17 存在 c(0，1) ，使得 f(c)= ；18 存在互不相同的 ，(0，1) ，使得 。19 设函数 z=z(x，y)具有二阶连续导数，变量代换 =ax+y，=x+

6、by 把方程=0，试求 a，b 的值。19 设有摆线 (0t2)，求：20 曲线绕直线 y=2 旋转所得到的旋转体体积；21 曲线形心的纵坐标 。21 设 Ia=x所围成的区域，则22 求 Ia；23 求 a 的值使得 Ia 最小。23 设 In= dx，n=1，2，3，。24 证明：I n=0 dx；25 证明：I n=In2 ，n=1，2，3，并求 In。25 已知两个向量组 1=(1，2，3) T， 2=(1，0，1) T 与 1=(一 1，2，t)T， 2=(4，1，5) T。26 t 为何值时， 1， 2 与 1， 2 等价；27 当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。

7、27 设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1=(1，一 1，一 1)T， 2=(一 2，1，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，且矩阵 A 一 6E 不可逆，则28 求齐次线性方程组(A 一 6E)x=0 的通解；29 求正交变换 X=Qy 将二次型 xTAx 化为标准形；30 求(A 一 3E)100。考研数学（数学二）模拟试卷 428 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据反函数求导法则2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =，所以 x=0 是一条垂直渐近线；因为=，所以不存在水平渐近线；则 y=x+1 是

8、一条斜渐近线；所以 y=一 x 一 1 是一条斜渐近线。综上一共有三条渐近线，故选择(C)。3 【正确答案】 B【试题解析】 通过求解极限得到函数的表达式，即 x0，f(x)=ex；x0，f(x)= =x2；x=0 ，f(0)=1。故 f(x)= 由于 f(0+0)=f(0)=1，f(00)=0 ，可知 x=0 为 f(x)的跳跃间断点，答案选(B)。4 【正确答案】 C【试题解析】 M= (x+y)3dxdy= (x3+3x2y+3xy2+y3)dxdy，因为积分区域 D 关于x 轴和 y 轴都对称，x 3、3xy 2 是关于 x 的奇函数，3x 2y、y 3 是关于 y 的奇函数，所以根据

9、对称性可得 M=0。N= (sinxcosy+sinycosx)dxdy，因为积分区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称，sinxcosy 是关于 x 的奇函数，sinxcosy 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得 N=0。P= (exy 一 1)dxdy，因为积分区域为 D=(x， y)x 2+y21，则有 exy 一 10 ，即 P0。故有 M=NP，选择(C)。5 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f(x)三阶可导，则 f(x)在 x=0 处的三阶泰勒展开式为，f(x)=f(0)f (0)x o(x 3)，故=1，则有 f(0)=f(0)=f(0)=0，f (0)=1。故(0，f

10、(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选(C)。6 【正确答案】 C【试题解析】 由函数 f(x)连续可导，可知 f(x)连续，若 f(x)是奇函数，则 f(x)必为偶函数，令 F(x)=0xf(t)dt，易知 F(0)=0，则 F(x)=0xf(t)dt 为奇函数，选(C)。7 【正确答案】 B【试题解析】 由于矩阵 AB 可逆，可知 r(AB)=m，而 r(A)r(AB)，r(B)r(AB)，且 A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关，故选 (B)。8 【正确答案】 C【试题解析】 (C) 选项，反证法。假设 1， 2， 3， 4 线性无关，因为1， 2， 3， 4， 5 必线性相关(

11、5 个 4 维列向量必线性相关 )，则 5 可由1， 2， 3， 4 线性表出，矛盾。从而 1， 2， 3， 4 线性相关。二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 可得t=0，则 f(0)=1，故极限 =1。10 【正确答案】 0【试题解析】 由积分的性质 (x2+0xet2sin3tdt)xcos2xdx= x3cos2x+(xcos2x0xet2sin3tdt)dx， 因为 x3cos2x 是奇函数，积分为零，可进一步化为 (xcos2x0xet2sin3tdt)dx， 对于积分 0xet2sin3tdt，由于 et2sin3t 为奇函数，则 0xet2sin3tdt 为偶

12、函数，则 xcos2x0xet2sin3tdt 是奇函数，所以 (xcos2xet2sin3tdt)dx=0， 那么 (x2+0xet2sin3tdt)xcos2xdx=0。11 【正确答案】 y y =0【试题解析】 C 1ex +C2ex+C3，为齐次线性微分方程的通解，所以可以得到特征根为 r=一 1，r=1，r=0 ，特征方程为(r+1)(r 1)r=0，则微分方程为 y一 y=0。12 【正确答案】 (一 1)n1【试题解析】 13 【正确答案】 1【试题解析】 方程两边同时对 x 求导可得 方程两边同时对 y 求导数可得14 【正确答案】 一 2【试题解析】 AB=AC 可得 A(

13、B 一 C)=O，则齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，所以 r(A)2；另一方面，因为 A*O，所以 r(A)2，从而 r(A)=2，所以 a=一 2。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设曲线方程为 y=y(x)，则 y(1)=1，过点 P(x，y)处的切线方程为Yy=y(X 一 x)，则切线与 x 轴的交点为 T(x 一 ，0)。根据PT=OT ，有，上式两边同时平方，整理可得 y(x2 一 y2)=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令 = ，两边取积分得，解得，故曲线 L 的方程为x2+y2 一 2y=0。16 【正确答案】 区域 D 如图 1 所示。

14、 (1)边界 L1：y=0(0x2)，此时(x ，0)= x，函数在此边界的最大值为 f(0，0)=0 ，最小值为 f(2，0)= 。边界 L2：x=0(0y4)，则 f(0，y)=一 y，函数在此边界的最大值为 f(0，0)= ，最小值为 f(0，4)=一 4。边界 L3：y=4x 2(x0)，则fxx(x，y)=0，f xy(x，y)=1，f yy(x，y)=0 ，故 ACB20，函数在区域 D 内部不取极值。综上所述，函数在区域 D 上的最大值为 f(0，0)=0；最小值为 f(0，4)=一 4。17 【正确答案】 根据已知条件，存在 a(0，1，使得 f(a)=M。令 F(x)=f(x

15、)一 ，显然 F(x)在0，1 上连续，又因为 f(0)=0，n1，故 F(0)=f(0)一0，F(a)=f(a)一 0，由零点定理可知，至少存在一点 c(0，a)，使得 F(c)=f(c)一 。18 【正确答案】 在0，c ，c，1上分别使用拉格朗日中值定理。已知 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)上可导，则存在 (0，c) 和 (c，1)，使得 f(c)f(0)=cf() (1)f(1)一 f(c)=(1 一 c)f() (2)由(1)f ()+(2)f ()，结合 f(0)=f(1)=0 可得，f()一 f()f(c)=f()f()，再由结论 f(c)= 可知，f ()一 f() =

16、f()f()，即。19 【正确答案】 分别求偏导数所以20 【正确答案】 = 022 一(1 一 cost)2d(tsint)=2。21 【正确答案】 根据形心坐标公式，22 【正确答案】 积分区域如图 2 所示。 利用奇偶性可得其中，D a为 Da 在 y 轴右侧的部分。23 【正确答案】 I a= a(a 一 3)(a+2)，所以当 0a 3 时 Ia 单调递减，当 a3 时 Ia 单调递增，则 a=3 时，I a 取得最小值。24 【正确答案】 作换元 x=一 t。25 【正确答案】 根据第一问的结论，=In 一20(sinnxsinx)dx+2 0(cosnxcosx)dx=I n+2

17、0cos(n+1)xdx，其中 0cos(n+1)xdx=0，所以 In=In2 ，n=1，2，3，即 In=。26 【正确答案】 对向量组 1， 2 和 1， 2 所构成的矩阵( 1， 2， 1， 2)进行初等行变换化为阶梯形矩阵，( 1， 2， 1， 2)=因为1， 2 与 1， 2 等价，所以 r(1， 2)=r(1， 2)，所以 t=1。27 【正确答案】 对矩阵( 1， 2， 1， 2)进行初等行变换化为行最简形。(1， 2， 1， 2) ，所以 1=1 一22， 2= 2。对矩阵 (1， 2， 1， 2)进行初等行变换化为行最简形。(1， 2， 1， 2) 所以 =。28 【正确答

18、案】 因为矩阵 A 一 6E 不可逆，所以 =6 是矩阵 A 的一个特征值；另一方面，因为 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=O 的基础解系，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值，所以 A 的特征值为 0，0，6。 齐次线性方程组 (A 一 6E)x=0 的通解是矩阵 A 的属于特征值 =6 的特征向量。 因为 A 为 3 阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。 设 3=(x1，x 2，x 3)T 是矩阵 A 的属于特征值 =6 的一个特征向量，则 ( 1， 3)=0，( 2， 3)=0， 解得 3=(一 1，一 2，1) T，所以齐次线性方程组(A 一 6E)x=0 的通解为 k3，k 为任意常数。29 【正确答案】 下将向量组 1， 2， 3 正交化。令 1=1， 2=2 一1=(一 1，0，一 1)T， 3=3，下将向量组 1， 2， 3 单位化。令 1=。令则二次型 xTAx 在正交变换 x=Qy下的标准形为 6y32。30 【正确答案】