[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷445及答案与解析.doc

1、考研数学（数学二）模拟试卷 445 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)满足 f(x)+xf(x)2=sin x，且 f(0)=0，则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C）曲线 y=f(x)在点(0 ，f(0) 左侧邻域是凹的，在右侧邻域是凸的（D）曲线 y= f(x)在点(0，f(0)左侧邻域是凸的，在右侧邻域是凹的2 下列命题：设 均存在，则 f(x)在 x=x0 处必连续；设f ( x0)与 f+( x0)均存在，则 f(x)在 x=x0 处必连续； 设 f(x0 )与 f(x0+)均存在

2、，则f(x)在 x=x0 处必连续；设 中至少有一个不存在，则 f(x)在 x=x0 处必不可导正确的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设区域 ，其中常数 ab0D 1 是 D 在第一象限的部分，f(x，y)在 D 上连续，等式 恒成立的充分条件是 ( )（A）f(x， y)=f(x，y)（B） f(x，y)=f(x，y)（C） f(x， y)=f(x，y)= f(x ，y)（D）f(x， y)=f(x，y)= f(x，y)4 设 f(x)在( ，+)上连续且严格单调增加，f(0)=0，常数 n 为正奇数，并设 F(x)= 0xtnf(t)dt则下列选项中正确的是 ( )（

3、A）F(x)在(，0) 内严格单调增加，在(0，+)内也严格单调增加（B） F(x)在(，0)内严格单调增加，在 (0，+)内严格单调减少（C） F(x)在(，0)内严格单调减少，在 (0，+)内严格单调增加（D）F(x)在(，0) 内严格单调减少，在(0，+)内也严格单调减少5 设 f(x)在区间(，+)上连续，且满足 f(x)=0xf(xt)sintdt+x则在( ，+)上，当 x0 时，f(x) ( )（A）恒为正（B）恒为负（C）与 x 同号（D）与 x 异号6 设 f(x)在( ，+)上连续，下述命题： 若对任意 a， a af(x)dx=0，则 f(x)必是奇函数； 若对任意 a，

4、 a af(x)dx=20af(x)dx，则 f(x)必是偶函数； 若 f(x)为周期为 T 的奇函数，则 F(x)=0xf(t)dt 也具有周期 T 正确的个数是 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=O，其中 ，则 ( )（A）当 a= 1 时，必有 r(A)=1（B）当 a1 时，必有 r(A)=2（C）当 a=2 时，必有 r(A)=1（D）当 a2 时，必有 r(A)=28 设 1， 2， 3， 1+a22 3 均是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有解 ( )（A） 1=21+a2+3（B） 2=2

5、1+322a 3（C） 3=a1+22 3（D） 4=312a 2+3二、填空题9 函数 的间断点的个数为_10 设 f(x)在区间a，+)上存在二阶导数，且 f(x)=b， f(x)=0，其中a，b 均为常数，则 f(x)= _11 _12 设常数 a0，双纽线(x 2+y2)2=a2(x2y 2)围成的平面区域记为 D，则二重积分(x2+y2)d= _13 设 ，其中 f，g 均可微，则 _14 设 A 是三阶矩阵，有特征值 123，则 B=(1EA)( 2EA)(E A)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在区间0，+)上可导，f(0)=0，g(x)

6、是 f(x)的反函数，且 0f(x)g(t)dt+0xf(t)dt=xexe x+1 求 f(x)，并要求证明：得出来的 f(x)在区间0，+) 上的确存在反函数16 设 D=(x， y)|x2+y2x+y)，计算二重积分 maxx，yd17 设 a 为常数，讨论两曲线 y=ex 与 的公共点的个数及相应的 a 的取值范围17 设微分方程 xy+2y=2(ex1)18 求上述微分方程的通解，并求使 y(x)存在的那个解(将该解记为 y0(x)，以及极限值 y0(x)；19 补充定义之后使 y0(x)在 x=0 处连续，求 y0(x)，并请证明：无论 x=0 还是x0，y 0(x)均连续20 设

7、 x 与 y 均大于 0且 xy，证明： 21 求 要求写出详细的推导过程21 设22 证明 f(x)在 x=0 处连续；23 求区间(1，+)上的 f(x)，并由此讨论区间(1，+)上 f(x)的单调性24 (1)设 A 是 n 阶方阵，满足 A2=A，证明 A 相似于对角阵；(2) 设，求可逆阵 P 使得 P1 AP=，其中 是对角阵25 (1)设 n 元实二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx，其中 A 又特征值 1， 2， n，且满足 12 n证明对任何 n 维列向量 x，有 1xTx2xTx nxTx(2)设f(x1，x 2，x 3)=(x1，x 2，x 3) =xTAx，当

8、x12+ x22+ x32=1 时，求 f(x1，x 2， x3)的最大值考研数学（数学二）模拟试卷 445 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)+xf(x)2=sinx，有 f(0)=0，再求导得 f“(x)+ f(x) 2+2xf(x)f(0)=cosx，f“(0)=1所以 由极限的局部保号性知存在 x=0 的去心邻域 且 x0时，f(x)0，故应选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x 0)存在，即 f(x)在 x=x0 处左导数存在，推知 f(x)在 x=x0 处左连续；f(x0)存在，推知 f(x

9、)在 x=x0 处右连续故 f(x)在 x=x0 处连续， 正确与都不正确因为这两种情形f (x 0)可能没有定义也不正确反例：但f(0) 却存在3 【正确答案】 D【试题解析】 当 C 成立时，f(x，y)关于 x 和 y 都是奇函数积分应为零，而题中未说 类似地，可知，也不选 A，B 当 D 成立时，f(x，y)关于x 和 y 分别都是偶函数，将 D 在第一、二象限中的部分分别记为 D1，D 2，于是4 【正确答案】 D【试题解析】 设x0，则 0x，0 nx n，0f() f(x) ，故 0 n f() x nf(x)，从而 F(x)0；设 xn n0，f(x)f()0，故 xnf(x)

10、 n f()，从而 F(x)5 【正确答案】 C【试题解析】 令 xt=u ，作积分变量代换，得 f(x)=x0sin(xu)d(u)+x= 0xf(u) sin(xu)d(u)+x=sinx 0xf(u)cosuducosx 0xf(u)sinudu+x，f(x)=cosx 0xf(u)cosudu+sinxcosxf(x)+sinx0xf(u)sinuducosxsinxf(x)+1= cosx 0xf(u)cosudu+sinx0xf(u)sinudu+1，f(x)=sinx 0xf(u)cosudu+cos2f(x)+ cosx0xf(u)sinudu+sin2f(x)=f(x)f(x

11、)+x，所以 又因 f(0)=0，f(0)=1，所以 C1=1，所以 C2=0从而6 【正确答案】 D【试题解析】 是正确的记 F(a)= a af(x)dx，有 F(a)=f(a)+f(a)由于 F(a) 0，所以 F(a)0，即 f(a)= f( a)，f(x)为奇函数 是正确的记 F(a)=a af(x)dx2 0af(x)dx，F(a)=f(a)+f( a) 2f(a)0，所以 f(a)=f(a) ，f(x) 为偶函数所以，F(x)具有周期T，故应选 D7 【正确答案】 C【试题解析】 A 是非零矩阵，r(A)0，AB=0，r(A)+ r(B)3，故 r(B)2当 a1 时，必有a=2

12、，r(B) =2=r(A)=1，B 不成立，C 正确当 a2 时，必有 a=1，r(B)=1=r(A)=1 或 2，A，D 不成立8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 Ai=b，i=1，2，3 及 A(1+a22 3)=b+ab2b=b ，得(1+a2)b=b，b0，即 1+a2=1，故 a=2 当 a=2 时，看是否满足Ai=0，i=1，2，3，4 A 1= A(21+22+3)=5b0， A 2= A(2 1+324 3)=3b0， A 3= A(21+22 3)=3b0， A 4= A(314 2+3)=0 故 4 是对应齐次方程组 Ax=0 的解，故应选 D二、填空题9 【正确

13、答案】 2【试题解析】 应先写出 f(x)的表达式故知 f(x)有且仅有两个间断点10 【正确答案】 0【试题解析】 取常数 h0，在区间x，x+h 上用泰勒公式：f(x+h)=f(x)+f(x)(x+hx)+ f()(x+hx) 2，a f()h2当 x+时有 +，并且由已知11 【正确答案】 ln 2【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 由于被积函数及积分区域 D 关于两坐标轴都对称，所以13 【正确答案】 2xyf 1【试题解析】 因为14 【正确答案】 O【试题解析】 因 A 有三个不同的特征值，故 A 有三个线性无关的特征向量，设为1， 2， 3，则有可逆矩阵 P=(1，

14、2， 3)，使得，代入 B，得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将 0f(x)g(t)dt+0xf(t)dt=xexe x+1 两边对 x 求导，得 gf(x)f(x)+f(x)=xex由于 gf(x)=x，上式成为 xf(x)+ f(x)=xex当 x0 时，上式可以写为由一阶线性微分方程的通解公式，得通解由 f(x)在 x=0 处可导且 f(0)=0，得 当且仅当 C=1 时上式成立，所以下面证明上面得到的 f(x)在区间0，+)上的确存在反函数由所得到的表达式 f(x)在区间0 ，+)上连续，所以只要证明 f(x)在(0，+) 上单调即可由取其分子，记

15、为 (x)=x2exxe x+ex1，有 (0)=0，(x)=(x 2+x)ex0，当 x(0，+)时，(x) (0)=0，f(x)0 所以， f(x)在区间0，+) 上存在反函数证毕16 【正确答案】 作直线 y=x，将 D 分成两部分 D1=(x，y)|yx，(x，y)D ，D2(x，y)|yx，(x，y)D仅在 y=x(x，y) D)处为 D1 与 D2 的公共区域，不影响二重积分的值17 【正确答案】 若 a=0，则易知 y=ex 与 y=0 无公共点，以下设 a0讨论 y=ex 与交点的个数，等同于讨论方程 的根的个数，亦即等同于讨论函数f(x)=xexa 的零点个数 得唯一驻点 x

16、0=1当 x1时，f(x)0所以 minf(x)=f(1)=e 1 a又设e 1 a 0，即设 ae 1 ，则 min f (x)0，f (x)无零点； 设e 1 a=0，即设 a=e 1 ，则 f(x)有唯一零点 x0=1；设e 1 a e 1 又分两种情形：(i)设e 1 a0则有 f()=a 0f(1)=e 1 a 0易知 f(x)=xex 在区间( ，0内无零点，而在区间(0，+)内，f(0)=a x0，所以 f(x)在区间(0 ，+)内刚好有 1 个零点讨论完毕综上，结论是：当 a1 或 a=0 时，无交点；当 a=e 1 时，有唯一交点(切点)；当e 1 a 0时有两个交点；当 a

17、0 时，在区间( ，0内无交点而在区间(0，+)内，即第一象限内有唯一交点18 【正确答案】 当 x0 时原方程化为 由一阶线性微分方程的通解公式，得通解其中 C 为任意常数由上述表达式可知， 存在的必要条件是当 C=2 时，对应的 y(x)记为19 【正确答案】 令 而当x0时 y0(x)在x=0 处连续，又 y(x)在 x0 处也连续(初等函数)故无论 x=0 还是 x0，均连续20 【正确答案】 不妨认为 yx0因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与 y，由行列式性质知，左式的值不变 由柯西中值定理，存在一点 (x， y)，使得上式 记 f(u)=euue u，有 f(0)=1，当

18、u0 时，f(u)= ue u0，所以 f(u)e 1，于是证得21 【正确答案】 将题给积分拆成两项并将第 1 项交换积分次序：下面来计算由于当 0x1 时，e x21，则 所以于是可以用洛必达法则计算下面极限：22 【正确答案】 由题设当 x(1，+) ，但 x0 时 所以所以 f(x)在 x=0 处连续23 【正确答案】 下面求区间(1， +)上 x0 处的 f(x)：为讨论 f(x)的符号，取其分子记为 g(x)，即令 g(x)=(1+x)ln2(1+x) x2，有 g(0)=0g(x)=2ln (1+x)+ ln2(1+x)2x，有 g(0)=0当1x+ ，但 x0 时，由泰勒公式有

19、当1x+，但 x0 时， 介于 0 与 x 之间所以当1x+但 x0 时，f(x)0又由 所以 f(x)0(1x+)，由定理：设 f(x)在区间(a，b)内连续且可导，导数 f(x)0，则 f(x)在区间(a，b)内为严格单调减少故 f(x)在区间( 1，+)上单调递减24 【正确答案】 (1)由题设 A2=A，故 A2A=A(AE)=(AE)A=O，故 r(A)+r(A E)n又 r(A)+r(AE)=r(A)+r(EA)r(A+EA)=r(E)=n，故 r(A)+r(AE)=n设 r(A)=r，r(A E)=nr因(A E)A=O ，r(A)=r，A 中 r 个线性无关列向量是 A 的对应

20、于特征值 =1 的特征向量，设为 1， 2， r又 A(AE)=O，r(A E)=nr，A E 中 nr 个线性无关列向量是 A 的对应于特征值 =0 的特征向量，记为 1， 2， 3， nr ，不同特征值对应的特征向量线性无关故取 P= (1， 2， r， 1， 2， nr )，P 可逆，且(2)满足上一题的条件，由上知 r(A)=1，A 的线性无关列向量 是 A 的对应于特征值=1 的特征向量r(AE)=2， 的线性无关列向量是 A 的对应于特征值 =0 的特征向量25 【正确答案】 (1)f(x 1， x2，x 3)是实二次型，有正交变换 x=Qy，其中 Q 是正交矩阵，使得因 12 n，故得 1(y12+y22+ yn2)1y12+2y22+ nyn2n(y12+y22+ yn2)因 x=Qy，其中 Q 是正交阵， QTQ=E，故 xTx=(Qy)TQy=yTQTQy= yTy，故有1xTxxTAxn xTx(2)A 有特征值 1=02=43=9由上一题知，当 x12+x22+ x32= xTx=1 时，对任何 x，有f(x1，x 2，x 3)=xTx3 xTx=9即此时 f(x1，x 2，x 3)的最大值为 9