[考研类试卷]考研数学一（向量代数与空问解析几何）模拟试卷2及答案与解析.doc

1、考研数学一（向量代数与空问解析几何）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a 与 b 为非零向量，则 ab=0 是 ( )（A）a=b 的充要条件（B） ab 的充要条件（C） ab 的充要条件（D）ab 的必要但不充分条件2 若非零向量 a，b 满足关系式 a-b=a+b，则必有 ( )（A）a-b=a+b（B） a=b（C） a.b=0（D）ab=03 已知向量 角平分线上的一个单位向量为 ( )4 两条平行直线之间的距离为 ( )5 若 ab，a，b 均为非零向量， x 是非零实数，则有 ( )（A）a+xba+xb（B） a-x

2、ba - xb（C） a+xba （D）a-xba 6 已知 a0，b0，c0，且 a，b，c 互相垂直，则向量 r=xa+yb+zc 的模为 ( )（A）r=xa+y b+zc（B） r=xa +yb+zc （C）（D）7 设 c=a+b，a ，b 为非零向量，且 a 与 b 不平行若这些向量起点相同，且a，b，c 的终点在同一直线上，则必有 ( )（A）0（B） 0（C） +=1（D） 2+2=18 直线 关于坐标面 z=0 的对称直线的方程为 ( )9 两张平行平面 1：Ax+By+Cz+D 1=0 与 2：Ax+By+Cz+D 2=0 之间的距离为 ( )10 设有直线 则 L1 与

3、L2 的夹角为 ( )二、填空题11 向量 a=(4，-3，4)在向量 b=(2，2，1)上的投影为 _12 已知向量 a=(2，-1，-2)，b=(1 ，1，z)，则使 a 和 b 的夹角 达到最小的 z 为_13 已知直线 ，则过直线 l1 和 l2 的平面是_14 设 x=2a+b，y=ka+b，其中a=1 ，b=2，且 ab若以 x 和 y 为邻边的平行四边形面积为 6，则 k 的值为_15 若直线 与直线 L2：x+1=y-1=z 相交，则 =_16 设 a，b 是非零向量，且b=1 及 =_17 已知 AABC 的顶点坐标为 A(1，2，1)，B(1，0，1)，C(0，1，z) ，

4、则当z=_时，ABC 的面积最小18 设 a，b， c 的模a=b=c 2，且满足 a+b+c=O，则 a.b+c.c+c.a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 a=3i+4k，b=-i+2j-2k，求与向量 a 和 b 均垂直的单位向量20 求到平面 2x-3y+6z-4=0 和平面 12x-15y+16z-1=0 距离相等的点的轨迹方程21 确定下列直线与平面的垂直、平行和直线在平面上的位置关系：21 求下列曲面的方程：22 以曲线 为母线，绕 z 轴旋转一周而生成的曲面；23 以曲线 为母线，绕 x 轴旋转一周而生成的曲面和绕 z 轴旋转一周生成的曲面；24

5、以 为准线，母线平行于 z 轴的柱面方程；25 以 为准线，顶点在原点的锥面方程考研数学一（向量代数与空问解析几何）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中 a=b 只是 ab=0 的充分条件，不是必要的；选项 (B)中ab 是 a.b=0 的充要条件；选项(D) 显然是错误的(只要 ab，必有 ab=0)；选项(C)是正确的：如果 ab，显然 ab=0如果 ab=0，当 a，b 有一个为零向量，零向量可以平行于任何向量，故 ab 正确，当 a，b 都为非零向量时，由于0= ab=ab ，而a0，b0

6、，从而 =0，ab【知识模块】 向量代数与空问解析几何2 【正确答案】 C【试题解析】 a-b 2=(a-b).(a-b)=a 2+b 2-2a.b， a+b 2=(a+b).(a+b)=a 2+b 2+2a.b， 从a-b=a+b 即知-2a.b=2a.b，4a.b=0，所以a.b=0 或者由向量加减运算的几何意义，a-b 与 a+b 分别表示以 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线向量，而平行四边形的两对角线长度相等时，必是矩形，即知 ab，a.b=0应选(C)【知识模块】 向量代数与空问解析几何3 【正确答案】 D【试题解析】 先把 a、b 单位化： ，则易知，a 0+b0 是 a,b

7、 为边的角平分线上的向量，它的单位向量是 应选(D)【知识模块】 向量代数与空问解析几何4 【正确答案】 D【试题解析】 两条平行直线之间的距离就是一直线上的点到另一直线的距离，在L1 上取点 M1(x1，y 1，z 1)，则 M1 到 L2 的距离(如图 14-2 所示)其中 M2(x2，y 2，z 2)是 L2 上的点，s 2 是 L2 的方向向量所以 应选(D)【知识模块】 向量代数与空问解析几何5 【正确答案】 C【试题解析】 a+xb 2=(a+xb).(a+xb)=a 2+2xa.b+x2b 2 =a 2+x2 b 2a 2， 所以a+xba应选(C)【知识模块】 向量代数与空问解

8、析几何6 【正确答案】 D【试题解析】 r 2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc) =x2a 2+y2b 2+z2c 2，所以 应选(D)【知识模块】 向量代数与空问解析几何7 【正确答案】 C【试题解析】 依题意，a+b-b 与 a+b-平行，从而有(a+b-b)(a+b-)=0， 即 ab+ba-ba-ba+ba=0因为 ab=-ba，所以从上式可得(+)ba=ba又 a 与 b 不平行， ab0，故得 +=1应选(C)【知识模块】 向量代数与空问解析几何8 【正确答案】 B【试题解析】 易知，直线 L 与坐标面 z=0 交于点 P(1，1，0)又直线 L 的方向向量 所以

9、 L 关于 zOy 面对称的直线 L的方向向量为 s2=(2，2，-4) 或(1，1，-2) ，且 L也过点 P(1，1，0)，故 L的方程是应选(B)【知识模块】 向量代数与空问解析几何9 【正确答案】 C【试题解析】 1 与 2 之间的距离即为平面 1 上一点 M1(x1，y 1，z 1)到 2 的距离因为 M11，故 Ax1+By1+Cz1+D1=0，即Ax1+By1+Cz1=-D1，从而 应选(C)【知识模块】 向量代数与空问解析几何10 【正确答案】 A【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(1，-2，1)，L 2 的方向向量 s2= =-i-j+2k，所以 L1 与 L2 之间夹

10、角 的余弦所以 = 应选(A)【知识模块】 向量代数与空问解析几何二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 向量代数与空问解析几何12 【正确答案】 -4【试题解析】 达到最小，则应使 cos 达到最大，故问题成为求函数 f(z)= 的最大值点令 即 2(2+z2)+(1-2z)z=0，即得 z=-4【知识模块】 向量代数与空问解析几何13 【正确答案】 5x+3y-z-1=0【试题解析】 l 1，l 2 的方向向量分别为 s1=(1，-1，2)，s 2=(-1，2，1)，过直线l1，l 2 的平面的法向量可取为 n=s1s2= =-5i-3j+k在 l2 上取点(1，-1，

11、1)，故所求平面为-5(x-1)-3(y+1)+(z-1)=0即 5x+3y-z-1=0【知识模块】 向量代数与空问解析几何14 【正确答案】 -1 或 5【试题解析】 以 x，y 为邻边的平行四边形的面积【知识模块】 向量代数与空问解析几何15 【正确答案】 【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(1，2，)，L 2 的方向向量 s2=(1，1，1)L 1 上的点 A(1，-1 ， 1)，L 2 上的点 B(-1，1，0) 因 L1 与 L2 相交，故 s1，s 2 与 =(-2，2，-1)三向量共面， (s1s2).=0因为【知识模块】 向量代数与空问解析几何16 【正确答案】 【试题解

12、析】 【知识模块】 向量代数与空问解析几何17 【正确答案】 1【试题解析】 故当 z=1 时，S ABC 达到最小值【知识模块】 向量代数与空问解析几何18 【正确答案】 -6【试题解析】 (a+b+c).(a+b+c)= a 2+b 2+c 2+2a.b+2b.c+2a.c，因为a+b+c=0，故有a 2+ b 2+c 2+2(a.b+b.C+c.a)=0，a.b+b.c+c.a=-6【知识模块】 向量代数与空问解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由向量的向量积定义可知 ab 既垂直于 a 又垂直 b，所以与 a，b均垂直的单位向量为 因为而ab=

13、，所以与 a，b 均垂直的单位向量为 (-4，1，3) 【知识模块】 向量代数与空问解析几何20 【正确答案】 设所求点的坐标为(x，y，z) 由点到平面的距离公式，有两边去绝对值符号，化简得到：34x-30y-38z+93=0 和 134x-180y+262z-107=0 这是所要求的两个平面方程【知识模块】 向量代数与空问解析几何21 【正确答案】 (1)直线 L 的方向向量为而平面 的法向量n=(1，1，0) ，故 s=2n，所以 sn，即直线 L 与平面 垂直 (2)直线 L 的方向向量 s=(1，2，-3)(-2，6，0)=(18，6，10)，平面 的法向量 n=(2，-1 ，-3)

14、，所以s.n=182+6(-1)+10(-3)=0，故 sn，即直线 L平面 .取直线上一点，令 z=0，则，代入平面方程中，得到： -30+70，因此直线 L 与平面 平行，但不在平面上 (3)直线 L 的方向向量为 s=(-1，0，2)，而平面 的法向量 n=(2，-1，1) ，所以 s.n=-12+0(-1)+21=0，所以 sn，所以直线 L 与平面丌平行，而直线上一点(1，1，-2)代入平面方程 2x-y+z+1=0 中，有：21-1+(-2)+1=0，所以直线与平面不仅平行，而且重合，即直线在平面内【知识模块】 向量代数与空问解析几何【知识模块】 向量代数与空问解析几何22 【正确答案】 1-z=x 2+y2，即 x2+y2+z=1，是旋转抛物面，是椭圆抛物面的特例【知识模块】 向量代数与空问解析几何23 【正确答案】 绕 x 轴曲面方程为 x2-y2-z2=3，是旋转双曲面，是双叶双曲面的特例；绕 z 轴曲面方程为：x 2+y2-z2=3，是单叶双曲面的特例【知识模块】 向量代数与空问解析几何24 【正确答案】 方程为 x2-2y+xy-x-2=0【知识模块】 向量代数与空问解析几何25 【正确答案】 方程为 y2+z2-4x2=0，是圆锥面【知识模块】 向量代数与空问解析几何