[考研类试卷]考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷6及答案与解析.doc

1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数，L 为 D 内曲线，则曲线积分 与路径无关的充要条件为 ( )（A）Pdx+Qdy 是某一函数的全微分（B）（C）（D）2 设 C 为从 A(0，0)到 B(4，3)的直线段，则*为 ( )（A）（B）（C）（D）3 设是部分锥面：x 2+y2=z2，0x1，则曲面积分 等于 ( )（A）（B）（C）（D）4 曲线积分 其中曲线 为位于第一象限中的圆弧 x2+y2=1，A(1，0)，B(0，1)，则 I

2、为 ( )（A）0（B）一 1（C）一 2（D）25 设曲线 F 为 x2+y2+z2=1，z=z 0(z 0 的值为 ( )（A）0（B） 1（C）一 1（D）二、填空题6 设曲线 F： x=acost，y=asint，z=bt(0t2)，则 =_.7 曲面积分 =_，其中 S 为球面 x2+y2+z2=1 的外侧8 设一个矢量场 A(x，y，z) ，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比(比例常数为忌) ，方向指向原点，则 divA=_9 设由平面图形 axb，0yf(x)绕 x 轴旋转所成旋转体 的密度为 1，则该旋转体 对 x 轴的转动惯量为_10 设 L 为双纽线(x 2+y

3、2)2=a2(x2 一 y2)的全弧段，常数 a0.则 Lyds=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 D 为 xOy 平面上由摆线 x=a(t-sint)，y=a(1 一 cost)，0t2，与 x 轴所围成的区域，求 D 的形心的坐标 12 设 ，计算三重积分12 设 (y)为连续函数如果在围绕原点的任意一条逐段光滑的正向简单封闭曲线l 上，曲线积分 其值与具体 l 无关，为同一常数 k13 证明：对于任意一条逐段光滑的简单封闭曲线 L，它不围绕原点也不经过原点，则必有 且其逆亦成立，即若式成立，则式 亦成立14 证明：在任意一个不含原点在其内的单连通区域 D0

4、上，曲线积分与具体的 c 无关而仅与点A，B 有关15 如果 (y)具有连续的导数，求 (y)的表达式.16 设 L 为圆周 x2+y2=4 正向一周，求17 计算三重积分 其中 由椭球面 围成18 计算19 将 化为先 y，再 x，后 z 的三次积分，其中 f 为连续函数20 求函数 f(x，y，z)=x 2+y2+z2 在区域 x2+y2+z2x+y+z 内的平均值21 计算曲线积分 其中 L 圆周(x 一 1)2+y2=2，其方向为逆时针方向21 设 f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何 x，y，t 下式成立f(tx，ty)=t 2f(x，y)22 证明：23 设 D

5、 是由 L：x 2+y2=4 正向一周所围成的闭区域，证明：24 设 L 为曲线 x2+y2=R2(常数 R0)一周，n 为 L 的外法线方向向量，u(z，y)具有二阶连续偏导数且25 将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率26 袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1kab) 27 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率28 某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后

6、一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率29 甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率29 甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 5030 计算31 设 X 的密度函数为 ，求 的密度fY(y)32 设随机变量 X 的概率密度为 ，求 Ye X 的概率密度 fY(y)33 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明： Y1 一 e2x 在区间(0，1)上服从均匀分布34 设 ，求矩阵 A 可对角化的概率35 设随机变量 XE()，令 ，求 P(XY

7、0)及 FY(y)考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 在单连通域 D 中, ，在 D 内与路径无关其中 C 为 D 内任意闭曲线 Pdx+Qdy 为某一函数的全微分故选 A【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 只有选项 B 正确【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因 0z1，故【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 设 P=x2+yz，Q=y 2+xz

8、，R=z 2+xy则由斯托克斯公式，其中是平面 z=z0内且以曲线 F 为边界的那部分的上侧【知识模块】 多元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由第一型曲线积分公式知：【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由双纽线的对称性及y为 y 的偶函数，记 L2 为 L 在第一象限部分，有与二重积分类似的性质 在极坐标中，从而 其中 L1 的极坐标方程为 经化简之后，【知识模块】 多元

9、函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 设 L 是一条不围绕原点也不经过原点的逐段光滑的简单封闭曲线，如图 1610， 使构成两条简单封闭曲线弧它们均将原点 O 包围在它们的内部，由题中式 知，以下证其逆亦成立即设式成立，设 l1 与 l2 分别为两条各自围绕原点 O 的逐段光滑的简单封闭曲线，且有相同转向如图 1611，不妨设 l1 与 l2 不相交，作一线段 ，沟通 l1 与 l2下述为一条不围绕原点 O 的简单的封闭曲线由假定

10、而另一方面， 所以 ，即只要 l 是围绕原点的简单封闭曲线，且具有同一转向，则 1 为一常数【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 设 cAB 与 cAB为 D0 内连接点 A 与点 B 的任意两条逐段光滑的曲线，由 cABU cBA构成了一条逐段光滑的封闭曲线由 ，所以cAB= cBA= cAB即积分与路径无关【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 既然在不含原点在其内的单连通域 D0 上积分式 与路径无关且具有连续的一阶偏导数，则必有经计算，得(2x 2+y4)(y)一 4y3(y)=2y5 一 4x2y由于 x 与 y均为自变量，故得到 由得 (y)=一 2y，解得 (y

11、)=一 y2+C1，代入得 C1=0所以 (y)=一 y2【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 记 I1=Ly3dx，I 2=一 L3y 一 x2dy对于 I1 直接用格林公式记 D=(x，y) x 2+y24)，有 求I2 有两个方法【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 先交换 y，z 的积分次序将 I 理解成由三重积分先对 y，z 作二重积分，再对 x 作定积分得到，二重积分的积分区域为 Dyx：0yx(x 视为0 ，1上的某个常数)，0zy将 Dyz 表示为 Dyz：0zxz，zyx于是要计算这个二重积分，仍需要交换积分

12、次序，换序后得【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 y，z 的积分区域为 Dyz：0y1 一 x，0zx+y(x 视为0，1上的一个常数)，换序后 Dyz=D1UD2，D 1：0zx，0y1 一 x；D 2：xz1 ，zxy1一 x，故 于是【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 区域 x2+y2+z2x+y+z，即 其体积【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 由于 x=y=0 时，被积函数无意义，故 L 所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点(0，0)，作逆时针方向的圆周l：x=rcos， y=rsin，02，使 l 全部被 L，所包围，在 L 和 l

13、 为边界的区域 D内，根据格林公式，有【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 方程 f(tx，ty)=t 2f(x，y)两边对 t 求导得 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=2tf(x，y) ，再对 t 求导得， xxf11(tx，ty)+yf 23(tx，ty)+yxf 21(tx，ty)+yf22(tx，ty)=2f(x，y)于是 txtxf11(tx，ty)+tyf“ 12(tx，ty)+tytxf 21(tx，ty)+tyf22(tx，ty)=2t 2f(x，y)=2f(tx，ty)，由此得 x2fxx(x，y)+2xyf xy(x，y)

14、+y2fyy(x，y)=2f(x，y)即结论成立【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 由式 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，tu)=2tf(x ，y)得 txf1(tx，ty)+tyf 2(tx，ty)=2t2f(x，y) ，即 xfx(x，y)+yf y(x，y)=2f(x，y)，又 故【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 如图 1613，设 0=(cos，sin)为 L 沿逆时针方向的单位向量将它按顺时针方向转 便得 L 的外法线方向的单位向量为 n0=(sin，一cos)方向导数其中D=(x，y) x 2+y2R2)为 L 所围成的有界区域。【知识模块】 多元函

15、数积分学25 【正确答案】 设 Ai第 i 本书正好在第 i 个位置 ，B至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 BA 1A 2A 3，且 【知识模块】 概率统计部分26 【正确答案】 基本事件数 n(ab)! ，设 Ak 第 k 次取到黑球)，则有利样本点数为 a(a b1)!，所以【知识模块】 概率统计部分27 【正确答案】 设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)，【知识模块】 概率统计部分28 【正确答案】 令 Ak第 k 次拨通对方电话)(k1，2，10)，【知识模块】 概率统计部分29 【正确答案】 设 A1甲数为 5)，A 2 甲数为 10，A 3甲数

16、为 15，B甲数大于乙数，【知识模块】 概率统计部分【知识模块】 概率统计部分30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分32 【正确答案】 F Y(y)P(Yy)P(e Xy)，当 y1 时，X0 ，F Y(y)0；【知识模块】 概率统计部分33 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为，Y 的分布函数为 FY(y)P(Yy)P(1 一 e2x y)，当 y0时，F Y(y)P(X0)0；当 Y1 时，F Y(y)P(一X )1；【知识模块】 概率统计部分34 【正确答案】 【知识模块】 概率统计部分35 【正确答案】 P(XY0)P(Y一 X)P( X1)P(X1)P(X一 1)P(X1)1 一 P(X1)1 一 FX(1)e FY(y)P(Yy)P(Yy，X1)P(Yy，X1)P(Xy，X1)P(一 Xy，X 1)P( 一 Xy，X 1)P(Xy，0X1)P(X一 y，X1)当 y一 1 时，F Y(y)P(X一 y)e y；当一 1y0 时，F Y(y)P(X1) e ；当 0y1 时，F Y(y)P(Xy)P(X1)1一 ey e ；当 yl 时，F Y(y)P(0X1)P(X1)1，【知识模块】 概率统计部分