[考研类试卷]考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷16及答案与解析.doc

1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=05，P(A-B)=03，则 P(B-A)=( )（A）0.1（B） 0.2（C） 0.3（D）0.42 设三事件 A，B，C 相互独立且 0P(C)1，则下述事件中不独立的是：( )3 设随机变量 XN(0，1)，yN(1 ，4)，且相关系数 XY=1，则( )（A）PY=-2X-1=1（B） PY=2X-1=1（C） PY=-2X+1=1（D）PY=2X+1=14 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=03(x)+0 7

2、 ，其中 (x)为标准正态分布的分布函数，则 EX=( )（A）0（B） 03（C） 07（D）1二、填空题5 一批产品有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_6 设随机变量 X 服从均值为 2、方差为 2 的正态分布，且 P2X4=03，则PX0=_7 设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=EX2=_8 对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ=-1 ，DX=DY=1，DZ=4 ， (X，Y)=0， (X，Z) =13， (Y，Z) =-12，( 为相关系数)则 E(X+Y+Z)=_，D(X+Y+Z)=_，c

3、ov(2X+Y，3Z+X)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设随机变量 X 的概率密度函数为 ，求随机变量 的概率密度函数 fY(y)10 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y) 联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处10 设随机变量 X 的概率密度为 令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，y)的分布函数，求11 Y 的概率密度 fY(y)；12 12 设随机变量 X 的概率密度为 令随机变量13 求 y 的分布函数；14 求概率 PXY14 设一设备在任何长为 T 的时间内发生故障

4、的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布，求：15 相继两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布；16 在设备已无故障工作 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率17 设 XN(0，1) ，给定 X=x 条件下时 YN(x ，1- 2)(01)，求(X ，Y)的密度以及给定 Y=y 条件下 X 的分布18 设做一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验，设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止，求整个实验程序的平均费用19 现有奖券 100 万张，其中一等奖 1 张，奖金 5 万元；二等奖 4

5、 张，每张奖金2500 元；三等奖 40 张，每张奖金 250 元；四等奖 400 张，每张奖金 25 元，而每张奖券 2 元，试计算买一张奖券的平均收益20 设 X1，X 2，X n 是同分布的随机变量，且 EX1=0，DX 1=1，不失一般性地设X1 为连续型随机变量，证明：对任意的常数 0，有 。(不熟者可对 n=2 证明)20 设 X1，X 2，X m(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi- ，i=1，2，n求：21 Yi 的方差 DYi，i=1，2 ，n；22 Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1，Y 2)22 设总体 X 的概率密度为 其中

6、为未知参数且大于零，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本23 求 的矩估计量；24 求 的最大似然估计量考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 A 与 B 独立， P(AB)=P(A)P(B)故 03=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B)=P(A)(1-05)=05(P(A) 得 P(A)= =06P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=05-060 5=02【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确

7、答案】 B【试题解析】 AB 与 中都含 C 的运算(即有公共的事件 C)，无法保证独立，而另 3 项选择却都是“相互独立”的。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 如果(A) 或(C)成立，则应 XY=1，矛盾；如果 (B)成立，那么EY=2EX-1=-1，与本题中 EY=1 矛盾，只有(D) 成立时，XY=1， EY=2EX+1=1，DY=4DX=4，符合题意，故选(D)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 X 的概率密度为EX=030+ 2=07，故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 记 Ai

8、=(第 i 次取得次品) ，i=1 ，2【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 02【试题解析】 XN(2， 2)， N(0，1)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 由 EX2=DX+(EX)2=1+12=2，故 PX=EX2=PX=2=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 1；16/3；3【试题解析】 E(X+Y+Z)=EX+EY+EZ=1，D(X+Y+Z)=DX+DY+DZ+2coy(X，Y)+2cov(X，Z)+2cov(Y，Z)=1+1+4+0+2 (X，Z)，cov(2X+Y，3Z+X)=6cov(X，Z)+2DX+3cov(Y，Z)+co

9、v(Y，X)=6 (X，Z)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 P(Y=y 1)=P(X=x1，Y=y 1)+P(X=x2， Y=y1)即得 P(X=x1，Y=y 1)=P(Y=y1)-P(X=x2，Y=y 1)= 又P(X=x 2)P(Y=y1)=P(X=x2，Y=y 1)(X 与Y 独立) 又 P(X=x1)P(Y=y2)=P(X=x1，Y=y 2) P(Y=y3)=1-P(Y=y1)-P(Y=y2)= P(X=x2，Y=y 2)=P(Y=y2)-P

10、(X=x1，Y=y 2)= P(X=x2，Y=y 3)=P(X=x2)P(Y=y3)= P(X=x1，Y=y 3)=P(X=x1)P(Y=y3)=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 Y 的分布函数为：F Y(y)=P(Yy)=P(X2y)y0，F y(y)=0，f Y(y)=FY(y)=0【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 Y 的分布函数为 FY(y)=P(Yy)y 1 时，F Y(y)=0；y2 时，F Y(y)=1；1y2 时，F Y(y)=P(Yy|X

11、1)P(X1)+P(Yy|1X2)P(1X 2)+P(Yy|X2)P(X2)而 P(Yy|X1)=P(2y|X1)=0，P(Yy|X2)=P(1y|X2)=1，P(Yy|1X2)=P(Xy|1 X2)= 代入得 FY(y)=P(1Xy)+P(X2)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 P(XY)=P(XY|X1)P(X1)+P(Xy|1X2)P(1X 2)+P(XY|X2)P(X2)而 P(XY|X1)=P(X2|X1)= =1。P(XY|1X2)=P(XX|1X2)= =1。P(XY|X2)=P(X1|X2)= =0。代入得 P(XY)=P(X1)+P(1X2)=P(X2)=【知

12、识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 t0 时，P(Tt)=1；t0 时，p(Tt)=PN(t)=0)= =e-t，故T 的分布函数为 F(t)=P(Tt)=1-P(Tt)=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 取 T 的单位为小时，所求概率为 PT16|T8= =e-B。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为 ，而已知 X=x 条件下，Y 的条件概率密度为，f Y|X(y|x)= ，故(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(x)f Y|X(y|x)= ，可见(X，Y) 服从二维正态分布，EX=EY=0，DX=

13、DY=1，(X，Y)的相关系数为 ，故 YN(0，1)，Y 的概率密度为 (y)，故 Y=y 的条件下的条件概率密度为 fX|Y(x|y)=，yR 1，xR 1。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 设需进行 X 次试验，则所需费用为 Y=1000+300(X-1)，而 P(X=k)=08 k-102，k=1，2，记 g(x)= ， |x|1，则 0xg(x)dx=，于是 EX=5，故 EY=1000+300(EX-1)=2200(元)【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 记 X 和 分别为买 1 张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则 =X-2，而 X 的概率分布为：【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 由已知可知：E(X i2)=DXi+(EXi)2=1，i=1，n，设(X 1，X n)的概率密度为 f(x1，x 2，x n)，则 f(x 1，x n)dx1dxn xi f(x1，x n)dx1dxn=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 最大似然估计：似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计