[考研类试卷]考研数学一（特征值与特征向量，二次型）历年真题试卷汇编1及答案与解析.doc

1、考研数学一（特征值与特征向量，二次型）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2010 年试题，6) 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=0,若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )（A）（B）（C）（D）2 (2008 年试题，一) 设 A 为三阶非零矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图，则 A 的正特征值个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (2007 年试题，一) 设矩阵 则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似4 (20

2、01 年试题，二) 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似二、填空题5 (1999 年试题，一) 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_.6 (2009 年试题，二) 若 3 维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵T 的非零特征值为_7 (2008 年试题，二) 设 A 为 2 阶矩阵， 为线性无关的 2 维列向量A1=0，A 2=21+2，则 A 的非零特征值为_8 (1998 年试题，一) 设 A 为 n 阶矩阵，A0，A *为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 A，

3、则(A *)2+E 必有特征值_9 (2011 年试题，二) 若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为 y12+4z12=4 则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 (2003 年试题，九) 设矩阵 B=P-1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵11 (1999 年试题，十) 设矩阵 其行列式A =一 1，又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值 0，属于 0 的一个特征向量为 =(一 1，一 1，1) T，求a，b，c 和 0 的值11 (1997 年试题，七) 已知 是矩

4、阵 的一个特征向量12 试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值；13 问 A 能否相似于对角阵?说明理由13 (2002 年试题，十) 设 A，B 为同阶方阵14 如果 A、B 相似，试证 A、B 的特征多项式相等；15 举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；16 当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立16 (2001 年试题，十) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x，使得向量组 x，Ax ，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax 一 2A2x17 记 P=(x，Ax ，A 2x)，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP-1；18 计算行列式A+E19 (2

5、004 年试题，三) 设矩阵 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化19 (2011 年试题，21)A 为三阶实对称矩阵， A 的秩为 2，即 rA=2，且求20 A 的特征值与特征向最；21 矩阵 A21 (2007 年试题，22) 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 1，且1=(1，一 1， 1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为 3阶单位矩阵22 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；23 求矩阵 B23 (2006 年试题，21) 设 3 阶实对称矩阵 A

6、 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一1，2，一 1)T， 2=(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=O 的两个解24 求 A 的特征值与特征向量；25 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A.26 (2000 年试题，十一) 某试验性生成线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将六分之一的熟练工支援其他生产部门其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有五分之二成为熟练丁，没第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量 (1)求的关系式并写成矩阵形式： ;(2)验证 是 A的两个线性无关的特征向量，并求出

7、相应的特征值；(3)当 时，求26 (2005 年试题，20) 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 227 求 a 的值；28 求正交变换 x=Qy，把， (x1，x 2，x 3)化成标准形；29 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解29 (2012 年试题，三) 已知 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为230 求实数 a 的值；31 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形31 (2010 年试题，21) 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下

8、的标准型为y12+y22，且 Q 的第三列为32 求 A；33 证明 A+E 为正定矩阵33 (2009 年试题，21) 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=a22+a22+(a 一 1)x32+2x1x32x2x334 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；35 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值36 (2002 年试题，一) 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=6y12，则 a=_37 (1998 年试题，十) 已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2x

9、z+2yz=4 可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程 2+42=4，求 a，b 的值和正交矩阵 P38 (1999 年试题，十一) 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，曰为 mn 实矩阵，B T 为B 的转置矩阵，试证：B TAB 为正定矩阵的充分必要条件是曰的秩 rB=m考研数学一（特征值与特征向量，二次型）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 A2+A=0 得A 2+A= A+E=0，即 0 和一 1 是矩阵 A 的所有可能特征值又 A 的秩为 3，且其为 4 阶实对称矩阵，故一 1 是 A 的三重

10、特征值，即知 A 相似于 故正确答案为 D【知识模块】 特征值与特征向量2 【正确答案】 B【试题解析】 图 26 一 1 中二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程为对于二次型 其特征值为 实对称矩阵 A 特征值的正负个数和二次型的正负惯性指数(分别是 1 和 2)对应相同，因而矩阵 A 的正特征值的个数是 1故应选 B.【知识模块】 二次型3 【正确答案】 B【试题解析】 则 A=C+3EE一 C=0，C 的特征值为 1=一 3， 2=3=0，则 A 的特征值为 3，3，0B 的特征值为 1，1，0显然 A 与 B 不相似A 的正负惯性指数为 2，0，B 的也是这样，则 A 与 B 合同，故应

11、选 B【知识模块】 二次型4 【正确答案】 A【试题解析】 首先要明确合同与相似的定义：两个实对称阵相似 它们特征值全一样；两个实对称阵合同 它们特征值符号全一样由此，计算 A 的特征值由AE=0，则有 可算得1=4， 2=3=4=0，对应于 1=4，A 有相应的特征向量 1；对应于 =0，由则 r(A 一 0.E)=1 从而它有4 一 1=3 个线性无关特征向量，记为 2,3,4，令 P=(1,2,3,4)，必有 P-1AP=B ，因而 A 与 B 相似，同时由前述已知，可用施密特正交化 P 为正交阵 ，使得 ，综上知 A 与 B 合同且相似，选 A注意相似和合同的区别：实对称矩阵合同时，它

12、们不一定相似，但相似时一定合同如： 它们的特征值不同，故 A 与 B 不相似，但它们的正惯性指数均为 2，负惯性指数均为 0，故而它们合同【知识模块】 二次型二、填空题5 【正确答案】 由特征值方程，有A 一 E=0，即由行列式的性质，有 由此有从而特征值为 1=n， 2= n=0【试题解析】 求矩阵的特征值一般有两种方法，即E 一 A=0 或 Ax=Ax前一种方法主要用于矩阵元素已知的情形，最终转化为行列式的计算问题，后一种方法经常用于矩阵 A 满足第一矩阵等式的情形，在抽象矩阵特征值的求解中应用广泛特别地，若 rA=1，则矩阵 A 的特征值是 本题就是这样一个范例【知识模块】 特征值与特征

13、向量6 【正确答案】 依题知， T=(T)=2，故矩阵 T 有一非零特征值 2又因为矩阵 T 的秩为 1，所以其特征值为 ，即只有一个非零特征值，故正确答案为 2【知识模块】 特征值与特征向量7 【正确答案】 用定义来求，即由 A1=0，A(2 1+2)=A2=21+2 且 1， 2 线性无关知，A 的两个特征值为 1 和 0，故 A 的非零特征值为 1解析二利用相似矩阵具有相同特征值的结论来求，即 A(1， 2)=(0，2 1+2)= 因 1， 2 线性无关，故 A 与 相似，而后者的特征值为 0 和 1，从而知 A 的非零特征值为1【试题解析】 从解法 1 中不难看出， 1 和 21+2

14、分别是对应于 A 的特征值 0 和 1的特征向量【知识模块】 特征值与特征向量8 【正确答案】 本题可按定义法求解，即设 对应的特征向量为 x，则 Ax=x.由定义知，(A *)2+E 必有特征值【知识模块】 特征值与特征向量9 【正确答案】 因为二次型经过正交变换化为y12+4z12=4，所以 A 的特征值为 1=0,2=1， 3=4，再由A =一(a 一 1)2=123=0得 a=1【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由题设，不难算出 从而 A 可逆，由初等行变换可求出 则由公式 A*= AA -1，可求得又由已知 则易求得 综上又由特

15、征方程可求出1=9， 2=9， 3=3当 1=2=9 时，由(B+2E 一 9E)x=0，可求得相应特征向量为1=(一 l，1，0) T， 2=(一 2，0，1) T 即对应于特征值 9 的所有特征向量为k11+k22=k1(一 1，1，0) T+k2(一 2，0，1) T 当 3=3 时，由(B+2E 一 3E)x=0，可求得相应特征向量为 3=(0，1，1) T 故对应于特征值 3 的所有特征向量为k33=k3(0，1，1) T 以上 k1，k 2，k 3 皆为不为零的任意常数解析二令则得 A 的特征值为1=2=1， 3=7当 1=2=1 时，对应的线性无关的特征向量可取为当 3=7 时，

16、对应的特征向量为 记 ， 分别为矩阵 A的特征值和特征向量，则 A*= 于是(B+2E)(P -1)=P-1A*P(P-1)+2P-1，=|P -1A*+2P-1 因而可知， 和 P-1 分别为 B+2E 的特征值和特征向量又A= 123=7，则 B+2 层的特征值分别为 9，9，3又则 即有 B+2E 对应于特征值 9 的全部特征向量为：k 1P-11+k2P-12= 其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数；其对应于特征值 3 的全部特征向量为：k 2P-13= 其中 k3 是不为零的任意常数【知识模块】 特征值与特征向量11 【正确答案】 因为 是 A*属于特征值 0 的特征向量，则有

17、A*=0 又AA*=AE=一 E，故 AA*=A0=0A=一 即可得得方程组 解得 0=1，b=一3，a=c 又由A=一 1 得 即 a=c=2 综上得，a=c=2，b=一 3， 0=1【试题解析】 涉及与伴随矩阵 A*有关的计算或证明，一般会应用关系式AA*=A*A=AE 进行分析和讨论，切忌通过式子 A*=AA -1 来求 A*的矩阵【知识模块】 特征值与特征向量【知识模块】 特征值与特征向量12 【正确答案】 由题意设设特征向量 对应的特征值为 0，则由 A=0 得：则 解得 a=-3,b=0,0=-1【知识模块】 特征值与特征向量13 【正确答案】 由 知矩阵 A 的特征值为1=2=3

18、=一 1，是三重根但 r(一 EA)=2，从而 =一 1 对应的线性无关的特征向量只有 3 一 r(一 EA)=1 个，故 A 不可相似对角化【知识模块】 特征值与特征向量【知识模块】 特征值与特征向量14 【正确答案】 若 A、B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则E 一B=EP -1AP=P -1(EA)P=P -1E 一 AP =EA ，命题得证【知识模块】 特征值与特征向量15 【正确答案】 令 显然EA=E 一 B=( 一 1)2若 A 与 B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得 B=P-1AP=P-1P=E，与 矛盾，故知 A 与 B 不相似【知识模块】 特征值与特征向

19、量16 【正确答案】 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵又 A，B 的特征多项式相等，可设其解为 1， 2， n，则即存在可逆矩阵 P，Q 使于是(PQ -1)-1A(PQ-1)=B，由此知 A，B 相似【试题解析】 注意若 A 一 B，则 A、B 的特征多项式相等，亦即它们具有相同的特征值；反过来，若 A、B 有相同的特征值，则 A、B 不一定相似但若 A、B 具有相同的特征值，且特征值均不相等，则 A、B 相似故第 (2)问在举反例时，必须保证其特征值是重根【知识模块】 特征值与特征向量【知识模块】 特征值与特征向量17 【正确答案】 解法 1 依题设，A(x，Ax，A

20、2x)=(Ax，A 2x，A 3x)=(Ax，A 2x，3Ax 一 2A2x) 即得 因P=(x，Ax，A 2x)可逆，故得 解法 2 由 A3x=3Ax 一 2A2x 知，A(A2x+3Ax)=A2x+3Ax，故 A 有特征值 1，同理得其有三个不同的特征值 1,一3，0，也就有三个线性无关的特征向量，不难看出依次为：A 2x+3Ax，A 2xAx，A 2x+2Ax 一 3x 令 Q=(A2x+3Ax，A 2xAx，A 2x+2Ax 一 3x)，则有故 A=QAQ-1=PCAC-1P-1从而 B=CAC-1 解法 3设 则由 AP=PB 得： 即从而 因为x，Ax，A 2x 线性无关，故可得

21、 a1=a2=a3=b2=c1=0，b 1=c2=1，b 3=3，c 3=一 2，即得解法 4 因为 P=(x，Ax，A 2x)可逆，所以 P-1P=E，即 P-1(x，Ax ，A 2x)=E进而有 故 B=P-1AP=P-1(Ax A2x，A 2x)=P-1(Ax，A 2x，3Ax 一 2A2x)=(P-1Ax，P -1A2x，3P -1Ax 一 2P-1A2x)【知识模块】 特征值与特征向量18 【正确答案】 由(1)知，A 与 B 相似，故 A+E 与 B+E 也相似，则【试题解析】 注意本题的解法技巧，因为 A 是抽象矩阵，直接求其行列式或特征值是困难的，可利用求其相似矩阵的行列式或特

22、征值来达到求原矩阵的行列式或特征值的效果，这种处理技巧值得借鉴此外，应注意由 A3x=3Ax 一 2A2x 得(A2+2A 一 3A)x=0，进而得A 3+2A2 一 3A=0，即A .A 一E A+3E=0 后，不能说 A 的特征值就是 0，1，一 3，只能说明 A 的特征值所组成的集合 c0，1，一 3【知识模块】 特征值与特征向量19 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为若 =2 是特征方程的二重根，则 22 一 82+18+3a=0，得 a=一 2当 a=一 2 时，A 的特征值为2，2，6，矩阵 的秩为 1，则 =2 对应的线性无关的特征向量有两个，故此时 A 可相似对角化；若 A

23、=2 不是特征方程的二重根，则 2 一8+18+3a 是完全平方式，从而得=644(18+3a)=0，即得 当 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 的秩为 2，故 =4 对应的线性无关的特征向量只有一个，故此时 A 不可相似对角化【试题解析】 n 阶矩阵 A 可相似对角化 对于 A 的任意 ki 重特征值 i，恒有 nr(iE 一 A)=ki，而单根一定有且只有一个线性无关的特征向量【知识模块】 特征值与特征向量【知识模块】 特征值与特征向量20 【正确答案】 令 ，则 A1=一 1，A 2=2，根据特征值特征向量的定义，A 的特征值为 1=一 1， 2=1，对应的线性无关的特征向量为因为

24、rA=23=0令 为矩阵 A 的相应于 3=0 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以有 解得 故矩阵 A的特征值为 1，一 1，0；特征向量依次为 k1(1，0，1) T，k 2(1，0，一 1)T， k3(0，1， 0)T，其中 k1，k 2，k 3 是不为 0 的任意常数【知识模块】 特征值与特征向量21 【正确答案】 1,2,3 单位化得 令 Q=(y1,y2,y3)=则 QTAQ= 于是【知识模块】 特征值与特征向量【知识模块】 特征值与特征向量22 【正确答案】 由 A= 和 An=n，则 B1=(A5 一 4A3+E)1=A51 一4A31+1=(15 一 413+1)1=一

25、21 故由此知， 1 是矩阵 B 属于特征值 1=一 2 的特征向量同理可得，曰的另外两个特征值为 2=3=1，设其对应的特征向量为=(x1， x2，x 3)T，则因为 A 是实对称矩阵，知曰也是实对称矩阵，所以有：1T=x1 一 x2+x3=0 即矩阵 B 属于特征值 2=3=1 的线性无关的特征向量可取为2=(1， 1，0) T， 3=(一 1，0，1) T故综上知：B 的特征值 1=一 2，对应的全部特征向量为 k1(1，一 1，1) T，k 1 是不为零的常数，另外两个特征值 =1，对应的全部特征向量为后 k2(1，1，0) T+k3(一 1，0，1) T，其中 k2，k 3 是不全为

26、零的常数【知识模块】 特征值与特征向量23 【正确答案】 因为 B(1,2,3)=(11,22,33)所以 B=(11,22,33)(1,2,3)-1【知识模块】 特征值与特征向量【知识模块】 特征值与特征向量24 【正确答案】 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有 由特征值和特征向量的定义知，=3 是矩阵 A 的特征值，=(1，1，1) T 是对应的特征向量，全部的特征向最为 k，其中 k 是不为零的常数；又依题设知，A1=0，A 2=0，且 1 与 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1， 2 是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为 k11+k22，其中 k1，

27、k 2 是不全为零的常数【知识模块】 特征值与特征向量25 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，故只需再得1， 2 正交化取 1=1=(一 1，2，一 1)T，再将 ， 1， 2 单位化得令 Q=r1,r2,r3，则 Q-1=QT，由 A 足实对称矩阵必可相似对角化，得【知识模块】 特征值与特征向量26 【正确答案】 (1)依题意有， 用矩阵表示为 即有 (2)因为 1， 2 所组成的行列式故知 1， 2 线性无关又 ，故由定义知， 1是 A 的特征向萤对应的特征值为 1=1； 故由定义知， 2 也是 A 的特征向量对应的特征值为 2= (3)因为 所以只需求 An

28、，便可得 令 P=1， 2=于是 A=因而,评注在计算 时，也可先将 用特征向量线性表出，即得 然后可得这样就避免了计算 An 和 P-1【知识模块】 特征值与特征向量【知识模块】 二次型27 【正确答案】 根据题意可知：二次型矩阵 由秩为 2，知a=0【知识模块】 二次型28 【正确答案】 由 知矩阵 A 的特征值为 2，20对于 =2，由(2E 一 A)x=0， 得特征向量1=(1， 0，0) T， 2=(0，0，1) T对于 =0，由(0EA)x=0，得特征向量 3=(1，一 1，0) T由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有 令那么，经正交变换 x=Qy 有 f(x1，x 2，x

29、 3)=2y12+2y22【知识模块】 二次型29 【正确答案】 方程 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0 即故方程的解是 k(1，一 1，0) T【试题解析】 本题的综合性较强，涉及到了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等知识点值得注意的是，第(3)问求出 y1，y 2，y 3 后，应继续求出 x1，x 2，x 3 的值【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型30 【正确答案】 由题，二次型的秩为 2，意即矩阵 ATA 的秩也为2，A TA=0， (a2+3)(a+1)2=0，得 a=一 1【知识模块】 二次型31

30、【正确答案】 将 a=一 1 代入 ATA 中，得 ATA= 令得 ATA 的特征值为1=0， 2=2， 3=6分别将特征值 1， 2， 3 代入( iEATA)X=O，求得对应各自特征值的特征向量为 再分别将 1， 2， 3 单位化，得则令 Q=(1， 2， 3)，则 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x=(Qy)T(ATA)(Qy)=yTQTATAQy=2y22+6y32 即为 f 的标准形【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型32 【正确答案】 因为二次型 f 在正交变换 x=Qy 下的标准型为 y12+y22，所以矩阵A 的特征值为 1=2=1， 3=0又 Q 的第三列为 故

31、矩阵 A 对应于特征值3=0 的特征向量为 3= 又矩阵 A 是实对称矩阵，故对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于特征值 1=2=1 的特征向量分别为 1,2，则可取 1=(0，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T 则 1， 2 与 3 是正交的又1,2 是相互正交的，故只需单位化得故而矩阵【知识模块】 二次型33 【正确答案】 因为矩阵 A 的特征值为 1，1，0 ，所以矩阵 A+E 的特征值为2，2，1因其所有特征均大于零，所以 A+E 是正定矩阵【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型34 【正确答案】 (I)由题设可知二次型 f 的矩阵 ，则令EA=0，则可得到矩阵 的

32、三个特征值分别为 1=a， 2=a2， 3=a+1【知识模块】 二次型35 【正确答案】 () 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，则说明它有两个特征值为正，一个为 0即(1)若 1=a=0，则 2=一 23=10，不符合题意；(2)若 2=a 一 2=0，即a=2，则 1=20， 3=30，符合题意；(3)若 3=a+1=0，即 a=一 1，则 1=一 12=一3【知识模块】 二次型36 【正确答案】 由题设，原二次型的标准型为 f=6y12，则二次型相应矩阵的秩等于 1，且相应特征值为 6，0，0，设原二次型的相应矩阵为 A，则当 a2 时，可化为 此时 rA2；当 a=2时，可化为

33、 此时 rA=1由此得出 a=2解析二;因为二次型经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值即 6，0，0 是矩阵A 的特征值又 ij=ij 故 a+a+a=6+0+0，即得 a=2解析三依题设知，二次型 f所对应的实对称矩阵的特征值为 6，0，0又实对称矩阵 其特征多项式 故有 a+4=6，a 一2=0即得 a=2解析四;因 A，B 为相似矩阵，对应特征多项式相同，即E 一A=E 一 B故而有 即 一(a+4) 一(a 一 2)2=3 一 623 一 3a2+3(a2 一 4) 一(a+4)(a 一 2)2=3 一 62 由同次幂的系数相等，得a=2【知识模块】 二次

34、型37 【正确答案】 设二次型为 f(x，y，z)=x 2+ay2+=z2+2bxy+2xz+2yz 则相应矩阵为同时该二次型的标准形为 f1(， ，)= 2+42，其相应矩阵为由于正交变换也是相似变换，不改变矩阵的特征值，因此1=0， 2=1， 3=4 也是矩阵 A 的特征值，由特征值多项式A E=0，有将 1=0， 2=1， 3=4 代入，可解得 a=3 且 b=1以下计算相应的特征向量以构造正交变换阵 P当 1=0，有 Ax=0， 1= 当 2=1，有(AE)x=0， 2= 当 3=4，有(A 一 4I)x=0， 3= 从而正交变换矩阵为【试题解析】 本题在求参数 a，b 时，亦可利用条

35、件a ij=bij 和A=B来求得.【知识模块】 二次型38 【正确答案】 首先必须明确正定矩阵的定义和性质必要性设 BTAB 是正定矩阵，则对于任意不为零向量的 n 维实列向量 x，有 xT(BTAB)x0 即(Bx) TA(Bx)0 由题设已知 A 是正定对称阵，从而 Bx 也不为零向量，即当 x0 时，Bx0，因而Bx=0 只有零解，所以 rB=n充分性即设 rB=n，显然有(B TAB)T=BTAB，即 BTAB对称，且 Bx=0 只有零解，即任给不为零向量的 n 维实列向量 x，必有 Bx0，有(Bx)TA(Bx)0，即 xT(BTAB)x0，由正定矩阵的定义知，B TAB 就是正定矩阵证毕【知识模块】 二次型