[考研类试卷]考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷1及答案与解析.doc

1、考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中不正确的是（A）如 A 是 n 阶矩阵，则(AE)(A+E)=(A+E)(AE) （B）如 A，B 均是 n1 矩阵，则 ATB=BTA（C）如 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=0，则(A+B) 2=A2+B2（D）如 A 是 n 阶矩阵，则 AmAk=AkAm2 已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3 列交换得 B，再把 B 的第 1 列的一2 倍加至第 3 列得 C，则满足 PA1 =C1 的矩阵 P 为3 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P

2、T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP= 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 QTAQ=4 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA)*=（A）kA *（B） kn1 A*（C） knA*（D）k 1 A*5 设 A，B 是 n 阶矩阵，则 C= 的伴随矩阵是6 设 A，B，C 是 n 阶矩阵，且 ABC=E，则必有（A）CBA=E（B） BCA=E（C） BAC=E（D）ACB=E7 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则BC=（A）E （B）一 E（C） A

3、（D）一 A二、填空题8 设 A，B 均是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充要条件是_9 设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 则T=_10 设 =(1， 2，3) T，=(1， ，0)T，A= T，则 A3=_11 已知 A= ， 则 An=_12 已知 A= ，则 An=_13 设 A= ，则 A2013 一 2A2012=_14 已知 PA=BP，其中 P= ，则 A2012=_15 已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= ，则C3=_16 已知 A= ，则 An=_17 =_18 设 A= ，(A 1)*是 A1 的伴随矩阵，则(A 1 )*=_19 已知

4、 n 阶行列式A= ，则A 的第 k 行代数余子式的和 Ak1+Ak2+Akn=_20 ()已知 A= ，则(A *) 1=_()已知 A=，则 A1 =_( )设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=A 一 2B，B= ，则(A+2E)1 =_()设 A= ，B=(E+A) 1 (EA)，则(E+B)1 =_()如 A3=0，则(E+A+A 2)1 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A= ，则 A*的值22 已知 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，证明 AB 2 是对称矩阵23 证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵24 某企业对其

5、职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?25 已知 A= 证明 A2=lA，并求 l26 已知 A，B 及 A，C 都可交换，证明 A，B，C 是同阶矩阵，且 A 与 BC 可交换27 求与 A= 可交换的矩阵28 已知 A= ，其中 a1，a 2，a n 两两不等证明与 A 可交换的矩阵只能是对角矩阵29 已知矩阵 A= ，求可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B30 设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A *)

6、*=A n2 A31 设 A 是 n 阶正交矩阵，证明 A*也是正交矩阵32 已知 A 是 3 阶非零矩阵，且 aij=Aij( =1，2， 3)，证明 A 可逆，并求A 33 求 A= 的逆矩阵34 已知 A 是 n 阶对称矩阵，且 A 可逆，如(AB) 2=E，化简 (E+A 1 BT)T(E 一BA1 )1 35 设 A 是 n 阶矩阵，若 A2=A，证明 A+E 可逆考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 中，由乘法有分配律，两个乘积均是 A2 一 E，而(D)是因乘法有结

7、合律，两乘积都是 Am+k，故(A)，(D)都正确 关于(B)，由于 ATB，B TA 都是11 矩阵，而 1 阶矩阵的转置仍是其自身，故 ATB=(ATB)T=BTA 亦正确唯(C) 中，从 AB=0 还不能保证必有 BA=0，例如 A= ，则 AB=，因此，(C)不正确选(C) 【知识模块】 矩阵及其运算2 【正确答案】 B【试题解析】 对矩阵 A 作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘 A，故应选(B)【知识模块】 矩阵及其运算3 【正确答案】 A【试题解析】 对矩阵 P 作一次初等列变换：把第 2 列加至第 1 列，便可得到矩阵Q若记 E12(1)= ，则 Q=PE12(1)那么

8、QTAQ=PE12(1)TAPE12(1)= (1)(PTAP)E12(1) 所以应选(A)【知识模块】 矩阵及其运算4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 kA=(kaij)，故行列式kA的代数余子式按定义为再根据伴随矩阵的定义知应选(B)【知识模块】 矩阵及其运算5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 CC*=CE=AB E，因此应选(D)另外，作为选择题不妨附加条件 A，b 可逆，那么【知识模块】 矩阵及其运算6 【正确答案】 B【试题解析】 由 ABC=E 知 A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立【知识模块】 矩阵

9、及其运算7 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB (E 一 A)B=E B=(EA)1 ； C=A+CA C(EA)=A C=A(EA)1 (或 C=AB)那么 BC=(E 一 A)1 A(EA) 1 =(EA)(E 一A) 1=E(或 BC=BAB=E)故选(A) 【知识模块】 矩阵及其运算二、填空题8 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例如而 AB 对称 AB=BTAT=BA所以应填：AB=BA【知识模块】 矩阵及其运算9 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则而 T=(a1，a 2

10、，a 3)=a1b1+a2b2+a3b3，注意到 T 正是矩阵 T 的主对角线元素之和，所以T=1+6+( 2)=5【知识模块】 矩阵及其运算10 【正确答案】 【试题解析】 由于 A=T= =2所以A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T=4T=4A=【知识模块】 矩阵及其运算11 【正确答案】 【试题解析】 由于 A=E+J，其中 J= ，而进而知 J 4=J5=0于是【知识模块】 矩阵及其运算12 【正确答案】 【试题解析】 对 A 分块为则 B=3E+J，由于 J3=J4=0，于是 Bn=(3E+J)n=3nE+ 3n2 J2而 C= (3，1)，C2=6C，C n=6n1 C，所以【

11、知识模块】 矩阵及其运算13 【正确答案】 0【试题解析】 由于 A2013 一 2A2012=(A 一 2E)A2012，而 A 一 2E= 试乘易见 (A 一 2E)A=0，从而 A2013 一 2A2012=0【知识模块】 矩阵及其运算14 【正确答案】 E【试题解析】 因为矩阵 P 可逆，由 PA=BP 得 A=P1 BP那么 A2=(P1 BP)(P1 BP)=P 1B(PP1 )BP=P1 B2P归纳地 A 2012=P1 B2012P因为，易见 B2012=E所以 A 2012=P1 EP=E【知识模块】 矩阵及其运算15 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA 一 2AB=CB

12、 得 2CA 一 C=2ABB故有 C(2AE)=(2AE)B因为 2AE= 可逆，所以C=(2AE)B(2AE)1 那么 C 3=(2AE)B3(2AE)1【知识模块】 矩阵及其运算16 【正确答案】 【试题解析】 先求 A 的特征值与特征向量由对 =0，由(0EA)x=0，解出 1= ；对 =6，由(6EA)x=0，解出 2= 令 P=而 A=PAP1 ，于是【知识模块】 矩阵及其运算17 【正确答案】 【试题解析】 E 12= 是初等矩阵，左乘 A= 所得 E12A 是 A 作初等行变换(1 ，2 两行对换)，而 E122011A 表示 A 作了奇数次的 1，2 两行对换，相当于矩阵 A

13、 作了一次 1，2 两行对换，故 而右乘 E13 是作 1，3两列对换，由于是偶数次对换，因而结果不变，即 为所求【知识模块】 矩阵及其运算18 【正确答案】 【试题解析】 因为 A1 .(A1 )*=A 1 E，有(A 1)*=A 1 A= A本题A=6，所以(A 1 )*=【知识模块】 矩阵及其运算19 【正确答案】 【试题解析】 若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦我们知道，代数余子式与伴随矩阵 A*有密切的联系，而 A*与 A1 又密不可分对于 A 用分块技巧，很容易求出 A1 由于又因 A*=AA 1 ，那么可见 Ak1+Ak2+Akn=【知识模块】 矩阵及其运算20 【正确答案】

14、 【试题解析】 () 由 AA*=AE，有 ()A=()由 AB=A 一 2B有 AB+2B=A+2E 一 2E，得知(A+2E)(EB)=2E ，即(A+2E)(E 一 B)()由于 B+E=(E+A)1 (E 一 A)+E=(E+A)1 (EA)+(E+A)1 (E+A) =(E+A)1 (EA)+(E+A)=2(E+A)1 ，故 (B+E) 1= (E+A)( )注意(EA)(E+A+A 2)=EA3=E【知识模块】 矩阵及其运算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 矩阵及其运算22 【正确答案】 因为 AB2=A 一 BB=A+BTB，则有

15、 (A 一 B2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A 一 B2 所以 A 一 B2 是对称矩阵【知识模块】 矩阵及其运算23 【正确答案】 设 A=(aij)，B=(b ij)都是 n 阶上三角矩阵对 AB=C=(cij)，按矩阵乘法定义，有 c ij=ai1b1j+aii1 bi1j +aiibij+aii+1bi+1j+ainbnj 由于 A 是上三角矩阵，则 a i1=ai2=aii1 =0 因为 B 是上三角矩阵，当 ij 时，有 b ij=bi+1j=bnj=0 因此，当 ij 时，c ij 中的每一项都为 0，从而 cij=0即 AB 是上三角矩阵【知识模块】

16、 矩阵及其运算24 【正确答案】 用 xi，y i 分别表示 i 年后在岗与脱产职工的人数，x 0，y 0 为目前在岗与脱产的人数，则所以，两年后在岗职工 668 人，培训人员 332 人【知识模块】 矩阵及其运算25 【正确答案】 因为 A 中任两行、任两列都成比例，故可把 A 分解成两个矩阵相乘，即 A= (b1，b 2，b 3)，那么，由矩阵乘法的结合律，有 A2=(b1，b 2，b 3)由于(b1，b 2，b 3) =a1b1+a2b2+a3b3 是 11 矩阵，是一个数，记为 l，则有 A2=lA【知识模块】 矩阵及其运算26 【正确答案】 设 A 是 mn 矩阵，由 AB 可乘，故

17、可设 B 是 ns 矩阵又因 BA可乘，所以 m=s那么 AB 是 m 阶矩阵，BA 是 n 阶矩阵从 A 和 B 可交换，即AB=BA，得 m=n，即 A，B 是同阶矩阵，同理，C 与 A，B 也同阶，由结合律，有 A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A，所以， A 与 BC 可交换【知识模块】 矩阵及其运算27 【正确答案】 设 ，则有 高斯消元，解出 x1=2t+u， x 2=2t， x 3=t， x 4=u所以 为所求【知识模块】 矩阵及其运算28 【正确答案】 设 A 与 A 可交换，并对 A 分别按列(行)分块，记为那么 ajaij=aiaij，又因

18、 aiaj，可见 aij=0( ij)，即 A 是对角矩阵【知识模块】 矩阵及其运算29 【正确答案】 对 A 作初等变换，有【知识模块】 矩阵及其运算30 【正确答案】 用伴随矩阵 A*替换关系式 AA*=AE 中的矩阵 A，得到 A*(A*)*=A *E由于A *=A n1 ，从 A 可逆知 A*可逆又因(A *)1 = ，于是得到(A *)*= A*(A *)1 =A n1 . =A n 2A【知识模块】 矩阵及其运算31 【正确答案】 由 AAT=E，从行列式乘法公式知 A 2=A.A T=1又因A1 =AT， 于是 A*=AA 1 =A A T，那么 A*(A*)T= AA T.AA

19、=A 2ATA=E 类似地(A *)TA*=E所以，A *是正交矩阵【知识模块】 矩阵及其运算32 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，不妨设 a110，那么按第一行展开，并将aij=Aij 代入，即有A=a 11A11+a12A12+a13A13= 0，所以，A 可逆即 AT=A*，那么对AA*=AE 两边取行列式，有 A 2=A. AT=A E=A 3，得A 2(A1)=0从而 A=1【知识模块】 矩阵及其运算33 【正确答案】 用伴随矩阵(210)，得所以 A*=【知识模块】 矩阵及其运算34 【正确答案】 原式=E T+(A1 BT)TAA1 一 BA1 1 =E+B(A1 )T(AB)A1 1 =E+B(AT)1 A(A 一 B)1 =(E+BA1 )A(A 一 B)=(A+B)(A 一 B)【知识模块】 矩阵及其运算35 【正确答案】 由于 A2=A，故 A2 一 A 一 2E=2E，那么(A+E)(A 一 2E)=2E，即 (A+E) =E，按定义可知 A+E 可逆【知识模块】 矩阵及其运算