[考研类试卷]考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷4及答案与解析.doc

1、考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，-2，相应的特征向量依次为 1， 2， 3，若P=(1，2 3，- 2)，则 P-1AP=( )2 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（C）若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。（D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量。3 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应

2、的特征向量分别为 1， 2，则1， A(2+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10。（B） 20。（C） 1=0。（D） 2=0。4 若 n 阶可逆矩阵 A 的属于特征值 的特征向量是 ，则在下列矩阵中， 不是其特征向量的是( )（A）(A+E) 2。（B） -3A。（C） A*。（D）A T。5 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2线性无关，而A3=3A-2A2，那么矩阵 A 属于特征值 =-3的特征向量是( )（A）。（B） A+2。（C） A2-A。（D）A 2+2A-3。6 设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于

3、特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中，(1)A 2。(2)P -1AP。(3)A T。(4)E- A。 肯定是其特征向量的矩阵共有( )（A）1 个。（B） 2 个。（C） 3 个。（D）4 个。7 已知矩阵 则与 A 相似的矩阵是( )8 设 A 为 n 阶方阵，且 Ak=O(k 为正整数)，则( )（A）A=O。（B） A 有一个不为 0 的特征值。（C） A 的特征值全为 0。（D）A 有 n 个线性无关的特征向量。9 已知 1=(-1，1，t，4) T， 2=(-2，1，5，t) T， 3=(t，2，10，1) T 分别是四阶方阵A 的三个不同的特征值对应的特征向量，则( )（A）t5

4、。（B） t-4。（C） t-3。（D）t-3 且 t-4。二、填空题10 设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A2=A，R(A)=r，则 A 的全部特征值为_，行列式2E-3A =_。11 设矩阵 A= 有特征值 1=1， 2=2， 3=3，则 x，y，z 满足_。12 已知 A 是三阶实对称矩阵，特征值是 1，3，-2，其中 1=(1，2，-2) T， 2=(4，-1，a) T 分别是属于特征值 =1与 =3的特征向量，那么矩阵 A 属于特征值 =-2的特征向量是_。13 设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1-E=_。14 已知向量 = 是矩阵

5、 A= 的逆矩阵的特征向量，则 k=_。15 设 4 阶矩阵 A 和 B 相似，如果 B*的特征值是 1，-1，2，4，则A *=_。16 设 =(1， -1，a) T，=(1，a，2) T，A=E+ T，且 =3是矩阵 A 的特征值，则矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量是_。17 设 3 阶矩阵 只有一个线性无关的特征向量，则 t=_。18 设 4 阶方阵 有特征值 2 和 1，则 a=_，b=_。19 已知矩阵 A= 和对角矩阵相似，则 a=_。20 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，且3E+2A =0 ，3E+B=E-2B =0，则行列式A的代数余子式 A11+A22+A33=_。三、

6、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A= 。求 A 的特征值与特征向量。22 设 A= ，求 A*的特征值与特征向量。23 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A2=O，证明矩阵 A+E 可逆。24 设 1， 2 是矩阵 A 属于不同特征值的特征向量，证明 1+2 不是矩阵 A 的特征向量。25 三阶矩阵 A 满足 Ai=ii(i=1，2，3)，其中列向量 1=(1，2，2) T， 2=(2，-2，1)T， 3=(-2，-1，2) T，试求矩阵 A。26 判断矩阵 A= 是否可相似对角化。27 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A1

7、=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33。 () 求矩阵 B 使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B； () 求矩阵 A 的特征值； () 求可逆矩阵 P 使得 P-1AP 为对角矩阵。28 设 A= ，求 An。29 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由新招收的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成 n= ()求 n+1 与 n 的关系式，并写成矩阵形式：n+1=An；()求矩阵 A 的特征值与特征向量；

8、()若 0= ，求 An0。30 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值。若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(-1，2，-3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。求 A 的另一个特征值和对应的特征向量。31 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 求矩阵 A。32 已知矩阵 A= ()求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角阵；( )求正交矩阵Q，使 QTAQ 为对角阵。33 设 A 为三阶矩阵，且 Ai=ii(i=1，2，3)，其中 1= ， 2= ， 3= ，求A。34 设 A 为正交矩阵，证明：()A=1；()若

9、A =-1，则E+A=0 。35 设 A= ，问 a 为何值时 A 能对角化。36 设矩阵 A 与 B 相似，且 ()求 a，b 的值； ( )求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B。37 在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 xn 和 yn(xn+yn=1)。( )求关系式中的矩阵 A；()设目前农村人口与城镇人口相等，即38 已知矩阵 A= 有特征值 =5，求 a 的值；当 a0 时，求正交矩阵Q，使 Q-1AQ=。考研数学一（矩阵的特征值和特征向量

10、）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得，A 2=32，因此有 A(-2)=3(-2)，即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，- 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理 23仍是矩阵 A 属于特征值 =-2 的特征向量。 当 P-1AP= 时，P 由 A 的特征向量所构成， 由 A 的特征值所构成，且 P 的列向量与 对角线上的元素的位置是一一对应的。因为已知矩阵 A 的特征值是 1，3，-2，故对角矩阵 对角线上元素应当由 1，3，-2 构成，因此排除(B)、(C) 。 由

11、于 23 是属于 =-2 的特征向量，所以-2在对角矩阵 中应当是第 2 列第 2 行的元素，故应选(A) 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 D【试题解析】 若 是 2A 的特征向量，即(2A)=，0。那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，故(D)正确。 由于(E-A)x=0 与(E-A T)x=0不一定同解，所以口不一定同时是 AT 和 A 的特征向量。例如 该例还说明当矩阵 A 不可逆时，A *的特征向量不一定是 A 的特征向量；A 2 的特征向量不一定是 A 的特征向量。所以应选(D)。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 B【试题

12、解析】 设 k11+k2A(1+2)=0，由题设条件得(k 1+1k2)1+2k22=0，由于1， 2 是属于 A 的不同特征值的特征向量，故 1， 2 线性无关，从而所以， 1，A( 1+2)线性无关 k1=k2=0 行列式20，即选项(B)正确。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 D【试题解析】 由题意 A=，所以 (A+E) 2=(A2+2A+E)=(2+2+1)=(+1)2， 且 -3A=-3，A *=A A -1= 。 由定义知 是(A) 、(B)、(C)中矩阵的特征向量，故选(D) 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 A

13、3+2A2-3A=0，即有 (A+3E)(A 2-A)=0=O(A2-A)。 因为 ，A ，A 2 线性无关，那么必有 A2-Aa0，所以，A 2-A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，亦即矩阵 A 属于特征值 =-3 的特征向量。所以应选(C)。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 B【试题解析】 由题意 A=，0，于是有 A2=A()=A=2，0，即 必是A2 属于特征值 2 的特征向量。又 (E- A)=- A=(1- )，0，知 必是矩阵E- A 属于特征值 1- 的特征向量。 对于(2)和(3)则不一定成立。这是因为 (P -1AP)(P-1)=P-1A

14、=P-1， 依定义，矩阵 P-1AP 的特征向量是 P-1。由于 P-1 与 不一定共线，因此 不一定是 P-1AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。 线性方程组(E-A)x=0 与(E-A T)x=0 不一定同解，所以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 B【试题解析】 对于(B)选项中的矩阵 B，有因此 R(E-B)=1，所以矩阵 B对应 =1 有两个线性无关的特征向量。故 B 相似于 A。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量8 【正确答案】 C【试题解析】 设 是 A 的一个特征值，则 k 是 Ak

15、的特征值。因为 Ak=O，且零矩阵的特征值只能是零，所以 Ak 的全部特征值应为 0，从而 k=0，故 =0。故选(C) 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量9 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵的不同特征值对应的特征向量必线性无关，所以R(1， 2， 3)=3。对矩阵( 1， 2， 3)作初等行变换，即当 t5时，R( 1， 2， 3)=3。故应选(A) 。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题10 【正确答案】 1=2= r=1， r+1=r+2= n=0；(-1) r2n-r【试题解析】 设 是矩阵 A 的任意一个特征值， 是属于 的特征向量，即A=。 在等式 A2=A 两

16、边右乘 ，得 A2=A，也就是 2=，即( 2-)=0。因0，故有 2 -=0，可得 A 的特征值 =0 或 1。 又已知 A 为实对称矩阵，则必可相似对角化，而 A 的秩 R(A)=r，因此 A 的特征值为 1=2= r=1， r+1=r+2= n=0， 进而可知矩阵 2E-3A 的特征值为 1= r=2-31=-1， r+1= n=2-30=2， 故 2E-3A=(-1) r2n-r。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 y=4，x=-1，z 为任意实数【试题解析】 依题意有E-A=(-1)(-2)(-3)=(-1)( 2-5+6)，即=(-1)(-1)(-y)-2x=(

17、-1)(2-5+6)，所以(-1)(-y)-2x= 2-5+6，比较系数得 y=4，x=-1，z 为任意实数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 k(0，1，1) T，k0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，设 =-2 的特征向量是 3=(x1，x 2，x 3)T，那么有 解得 a=1，又由方程组 解得基础解系(0，1，1) T，所以 3=k(0，1，1)T，k0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 3【试题解析】 由已知条件可得，A -1 的特征值为 ，于是 4A-1-E 的特征值为3，1，1，因此4A -1-E=311

18、=3。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 1 或-2【试题解析】 设 A 是 A-1 对应于 的特征值，则 A-1=，即 =A，亦即于是得方程组【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 -8【试题解析】 已知 B*的特征值，所以B *=1(-1)24=-8，又B *= BB -1=B 4B -1=B 3=-8，所以B=-2 。 又 A 和 B 相似，所以A=B =2 ，于是A *= AA -1= A 4A -1=A 3=-8。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 k(1，-1 ，1) T，k0【试题解析】 令 B=T，那么可知矩阵 B 的秩是

19、 1，且 T=a+1，因此鼬=T=(a+1)，由此可知矩阵 B 的特征值为 a+1，0，0。那么 A=E+B 的特征值为a+2，1 ，1。 又因为 =3 是矩阵 A 的特征值，因此 1+(a+1)=3，可得 a=1。于是就有 B=2。 =(1，-1，1) T 是矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量，也就是矩阵 A属于特征值 =3 的特征向量。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 -2【试题解析】 由于矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以可知矩阵 A 有 3 重特征值，设 是 A 的特征值。由矩阵的迹的性质，有 3=4-2+1，因此得 =1。于是有 解得 t=-2。【知

20、识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 6，2【试题解析】 方阵的特征多项式=(-s)(-1)+4(-6)(+1)+2，当 =1 时，有(1-b).2+2=0，得 b=2；当 =2 时，(2-a)+4=0，得 a=b。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 -2【试题解析】 因为E-A= =(-2)(-3)2，所以矩阵 A 的特征值为 2，3，3。因为矩阵 A 的特征值有重根，所以有 =3 有两个线性无关的特征向量 (3E-A)x=0 有两个线性无关的解 R(3E-A)=1。那么 3E-A=，可见 a=-2。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 【

21、试题解析】 由3E+2A=0 知，矩阵 A 有一个特征值 1=由3E+B=E-2B=0 知，矩阵 B 有两个特征值分别为 2=-3， 3= 又因为 A 与 B 相似，所以 A 与 B 有相同的特征值。从而 A 的特征值为 1= ， 2=-3， 3= 。于是 A*的特征值为 。因此 A11+A22+A33=tr(A*)=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由E-A= =(+2)2(-4)=0，得 1=2=-2， 2=4。当 1=2=-2 时，由(-2E-A)x=0，得 =-2对应的两个线性无关的特征向量为 1= ， 2= ，所

22、以 A 的属于特征值-2 的特征向量为 k11+k22，其中k1，k 2 不全为 0；当 3=4 时，由(4E-A)x=0，得 =4对应的特征向量为 3= ，所以 A 的属于特征值 4 的特征向量为 k33，其中 k3 不为 0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 由 A 的特征方程=(-9)(-1)2=0，得 A 的特征值 1=9， 2=3=1，从而A=119=9。若 A 的特征值为 ，则对应A*的特征值为 ，于是 A*的特征值为 1，9，9。当 1=9 时，对(9E-A)x=0 的系数矩阵作初等行变换， 得矩阵 A属于特征值 1=9 的特征向量 1=(1，2，3) T，

23、对应 A*属于特征值 =1的全部特征向量为 k11，其中 k1 为非零常数。 当 2=3=1 时，对 (E-A)x=0 的系数矩阵作初等行变换， 得矩阵 A 属于特征值 2=3=1 的两个线性无关的特征向量 2=(-2，1，0) T， 3=(-1，0，1) T，对应 A*属于特征值=9的全部特征向量为 k22+k33，其中 k2，k 3 为不全为零的常数。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 由 A3+2A2=O 可知，矩阵 A 的特征值均满足 3+22=0 。因此 A的特征值只能为 0 或-2，A+E 的特征值均为 1 或-1 ，故A+E 0，因此 A+E 可逆。【知识模块

24、】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 设 A1=11，A 2=22，且 22，假设 1+2 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A( 1+2)=(1+2)。 再由 A(1+2)=A1+A2=11+22 得 (-1)1+(-2)2=0。 因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以 - 1=0，- 2=0=1=2，这与 12 相矛盾。所以假设不成立，即 1+2 不是 A 的特征向量。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 由题设条件可得，A 1=1，A 2=22，A 2=33，所以 1， 2， 3是矩阵 A 不同特征值的特征向量，故它们线性无关。利用分块矩阵，则有 A(

25、1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)，因为矩阵( 1， 2， 3)可逆，故 A=(1，2 2，3 3)(1， 2， 3)-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由E-A=(-1) 2(+2)=0可得到矩阵 A 的特征值是1=2=1， 3=-2。由于 A-E= ，R(A-E)=2 ，于是矩阵 A 的二重特征值 1 有且只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可相似对角化。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 () 根据题设有 A( 1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=(1+2+3， 22+3，2 2+33)=(1， 2， 3) 于是 ()令 P1=

26、(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P1 可逆，且由()的结论 P1-1AP1=B，可知 AB。 由 B 的特征方程E-B= =(-1)2(-4)=0得矩阵 B 的特征值为 1，1，4，由相似矩阵的性质可知矩阵 A 的特征值也是 1，1，4。 () 由()的结论知 B 的特征值分别是 1，1，4，于是解(E-B)x=0，得矩阵 B 属于特征值 1 的线性无关的特征向量 1=(-1，1，0) T， 2=(-2，0，1) T；解(4E-B)x=0，得矩阵 B 属于特征值 4 的特征向量 2=(0，1，1) T。 令P2=(1， 2， 3)，则有 P2-1BP2= 将 P1-1

27、AP1=B 代入可得 P2-1P1-1AP1P2=令 P=P 1P2=(1， 2， 3) =(-1+2，-2 1+3， 2+3)，则 P-1AP=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 由E-A= =(-1)(-2)2=0，得矩阵 A 的特征值 1=1， 2=3=2。 当 1=1 时，由(E-A)x=0，得相应的特征向量 1= 当2=3=2 时，由(2E-A)x=0，得两个线性无关的特征向量 2= ， 3= 令 P=，则有 P-1AP= ，两边分别 n 次方得，P -1AnP= ，于是 An= P-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 () 依题意有用矩阵表

28、示，即为()令特征多项式因此，得矩阵 A 的特征值 1=1， 2= 当 =1时，由(E-A)x=0，得基础解系 1= ，因此矩阵 A 属于 =1的特征向量是 k11(k10)。 当 = 时，由( E-A)x=0，得基础解系2= ，因此矩阵 A 属于 = 的特征向量是 k22(k20)。 ()设 x11+x22=0，即 于是 0= 2，那么A0= A1+ A2。故【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 由 R(A)=2，知 A 的另一个特征值为 3=0。设 3 对应的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，由题设知， 1x=0， 2x=0，即 解得此方程组的基础解系为 x=(

29、-1，1 ，1) T，即 A 的属于特征值 3=0 的全部特征向量为 k(-1，1，1) T(k 为任意非零常数)。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 设 A= ，有易得 a=0，c=1 ，b=0 ，e=0 ，f=0，于是 再由 R(A)=2，得 d=0，因此 A=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量32 【正确答案】 () 矩阵 A 的特征多项式(-4)(-1)2，所以 A 的特征值为 1=4， 2=3=1，由得 A 属于 1=4 的特征向量p1=(1，1，1) T。由 得 A 属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量 p2=(-1，1，0) T，p 3=(-1，0，1

30、) T。于是可逆矩阵 P=，使得 P-1AP=A= ()对于()中求得的 p1，p 2，p 3，令 1=p1， 2=p2， 3=p3-(p3，p 2p 2，p 2)p2= 再令再令 q=*1 1)1= ，q 2=(1 2)2= ，q 3=(1 3)3=则 Q= 为正交阵，且 PTAQ=A=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量33 【正确答案】 令 P=(1， 2， 3)= ，因为 Ai=ii(i=1，2，3)，所以AP= ，且 P-1= 因此 A= P-1=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量34 【正确答案】 () 因为 A 为正交矩阵，所以 ATA=E。两边取行列式得A T.A=1，而A

31、T=A，所以有A 2=1，因此A =1。 ()若A=-1，则 E+A=AA T+A= A.A T+E=- (A+E) T=-E+A， 所以E+A=0。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量35 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式E-A= =(-1)(-2)-(2a-1)。(1)当 2a-11，2，即 a1， 时，A 有 3 个不同的特征值，故 A 可对角化；(2)当 2a-1=1，即 a=1 时，A 有特征值 1(二重)，2。=1 时，E-A=E-A=，R(E-A)=2。因此二重特征值 1 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可对角化；(3)当 2a-1=2，即 a= 时，A 有特征值 1，

32、2(二重)，且可知R(2E-A)=2，从而 A 也不可对角化。故当 a1， 时，A 可对角化。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量36 【正确答案】 () 因为矩阵 A 和 B 相似，所以A=B，且 tr(A)=tr(B)，即 1+4+a=2+2+6，6(a-1)=4b， 解得 a=5，b=6。 ()由于相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵 A 的特征值为 2，2，6。 当 =2时，由(2E-A)x=0 ，求得属于它的特征向量为 1=(1，-1 ，0) T， 2=(1，0，1) T。 当 =6时，由(6E-A)x=0 ，求得属于它的特征向量为 3=(1，-2 ，3) T。令 P=(1， 2， 3

33、)= ，则有 P-1AP=B。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量37 【正确答案】 () 由题意，人口迁移的规律不变，所以 xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn，y n+1=yn+pxn-qyn=pxn+(1-q)yn，用矩阵表示为因此 A= ()由由=(-1)(-1+p+q)，得 A 的特征值为=1，=r，其中 r=1-p-q。 当 1=1 时，解方程(A-E)x=0，得特征向量 p1= 当 2=r时，解方程(A-rE)x=0，得特征向量 p2= 令 P=(p1，p 2)= ，则 P-1AP=A，A=PAP -1，A n=PAnP-1，于是【知识模块】 矩阵的特征值和特征

34、向量38 【正确答案】 因 =5是矩阵 A 的特征值，则由5E-A = =3(4-a2)=0，可得 a=2。 当 a 0，即 a=2 时，则由矩阵 A 的特征多项式E-A=(-2)(-5)(-1)=0，可得矩阵 A 的特征值是 1，2，5。 由(E-A)x=0，得基础解系 1=(0，1，-1) T； 由(2E-A)x=0 ，得基础解系 2=(1，0，0)T； 由(5E-A)x=0，得基础解系 3=(0，1，1) T。即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1， 2， 3。 由于 A 为实对称矩阵，且实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故只需将以上特征向量单位化，即有1= ， 2= ， 3= 那么，令 Q=(1， 2， 3)= ，则有Q-1AQ=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量