[考研类试卷]考研数学一（级数）历年真题试卷汇编1及答案与解析.doc

1、考研数学一（级数）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2000 年) 设级数 收敛，则必收敛的级数为( ) 2 (2002 年) 设 un0(n=1， 2，)，且 则级数 为( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性不能判定3 (2004 年) 设 为正项级数，下列结论中正确的是( ) 4 (2006 年) 若级数 收敛，则级数( ) 5 (2009 年) 设有两个数列 an，b n，若 则( ) 6 (2011 年) 设数列 an单调减少， 无界，则幂级数 的收敛域为( )（A）(一 1，1（B） 一 1，1)（

2、C） 0，2)（D）(0 ，2-7 (2015 年) 若级数 条件收敛，则 与 x=3 依次为幂级数的( )（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点8 (1999 年) 设 一x+，其中 ，(n=0，1，2，)，则 等于( ) 9 二、填空题10 (2008 年) 已知幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数的收敛域为_。11 (2017 年) 幂级数 在区间(一 1，1)内的和函数 s(x)=_。12 (2003 年) 设 则 a2=_。13 (2008 年)f(x)=1 一 x2(0x)展开成(以 2 为周期的)余弦级数，并求级数

3、的和。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (1998 年) 设正项数列 an单调减少，且 发散，试问级数是否收敛?并说明理由。15 (1999 年) 设 (I)求 的值； () 试证：对任意的常数 0，级数 收敛。16 (2004 年) 设有方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当 1 时，级数 收敛。17 (2014 年) 设数列 an，b n满足 cosan 一 an=cosbn 且级数 收敛。 (I)证明 ()证明级数 收敛。18 (2016 年) 已知函数 f(x)可导，且 f(0)=1, 设数列x n满足xn+1=f

4、(xn)(n=1，2，)，证明： (I)级数 绝对收敛； () 存在，且19 (2000 年) 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。20 (2001 年) 设 试将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求级数 的和。21 (2003 年) 将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数的和。22 (2006 年) 将函数 展开成 x 的幂级数。23 (2002 年)(I) 验证函数 满足微分方程y“+y+y=ex： () 利用(I) 的结果求幂级数 的和函数。24 (2005 年) 求幂级数 的收敛区间与和函数 f(x)。25 (2007 年) 设幂级数 内收敛，其和函数 y(x)满足 y“

5、一 2xy一 4y=0，y(0)=0，y(0)=1。 (I)证明 n=1,2,； ()求 y(x)的表达式。26 (2009 年) 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1，2，)所围成区域的面积，记求 S1 与 S2 的值。27 (2010 年) 求幂级数 的收敛域及和函数。28 (2012 年) 求幂级数 的收敛域及和函数。29 (2013 年) 设数列 (an满足条件：a 0=3，a 1=1，a n-2 一 n(n 一 1)an=0(n2)。S(x) 是幂级数 的和函数。 (I)证明：S“(x)一 S(x)=0； ()求 S(x)的表达式。考研数学一（级数）历年真题试卷汇编

6、1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：直接法。由 收敛，所以 也收敛。由收敛级数的性质(如果级数 分别收敛于 s，则级数 也收敛，且其和为 s)，知 收敛。选项 D 成立。 方法二：间接法。找反例： A 项，取 级数 收敛，但是发散的；关于上述级数的敛散性，有下述结果：由比较审敛法的极限形式知，级数 发散。【知识模块】 级数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 可知，n 充分大时，存在 N，当 nN 时且 由部分和定义，可知 因此原级数收敛。 对于级数 因为当 n+时， 发散，则 发散。因此选 C。【知识模块】 级

7、数3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 级数4 【正确答案】 D【试题解析】 方法一：由 收敛知 收敛，所以级数 收敛，故应选 D。 方法二：利用排除法。 取 则可排除选项 A、B； 取则可排除选项 C。故 D 项正确。【知识模块】 级数5 【正确答案】 C【试题解析】 方法一：举反例。故答案为 C。 方法二：对于选项 C，由 收敛可知， 则 由正项级数比较判别法的极限形式可知，级数收敛。【知识模块】 级数6 【正确答案】 C【试题解析】 由题干知， 无界，说明幂级数的收敛半径 R1。 a n单调减少， 说明级数收敛，可知幂级数 的收敛半径 R1。 因此，幂级数的收敛半径 R=1，收

8、敛区间为(0，2)。又由于 x=0 时，幂级数收敛；x=2 时，幂级数发散。可知收敛域为0，2)。【知识模块】 级数7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 条件收敛，即 x=2 为幂级数 的条件收敛点，所以 的收敛半径为 1，收敛区间为(0，2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 的收敛区间还是(0，2)。因而 与 x=3 依次为幂级数 的收敛点，发散点。故选 B。【知识模块】 级数8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，应先将 f(x)从0 ，1)作偶延拓，使之成为区间 一 1，1 上的偶函数，然后再作周期(周期 2)延拓，进一步展开为傅里叶级数， 而 是 f(x)的间断点，按狄利克雷

9、定理有， 【知识模块】 级数9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 以 2 为周期且为奇函数，所以 因此正确选项为 C。【知识模块】 级数二、填空题10 【正确答案】 (1，5【试题解析】 幂级数 的收敛区间以 x=一 2 为中心，因为该级数在x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，所以其收敛半径为 2，收敛域为(一 4，0，即一2x+22 时级数收敛，亦即 的收敛半径为 2，收敛域为(一 2，2-1 。则的收敛半径为 2，由一 2x 一 32 得 1x5，即幂级数的收敛域为(1，5。【知识模块】 级数11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 级数12 【正确答案】 1【试题解析】 根据

10、余弦级数的定义，有 【知识模块】 级数13 【正确答案】 将 f(x)作偶周期延拓，则有 bn=0，n=1 ，2，。 所以0x。令x=0，有 又 f(0)=1，所以【知识模块】 级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 方法一：因正项数列a n单调减少有下界 0，知极限 存在，记为 a，则 ana 且 a0。 又 发散，根据莱布尼茨判别法知，必有a0(否则级数 收敛)。 又正项级数a b单调减少，根据正项级数的比较判别法，知级数 也收敛。 方法二：同方法一，可证明令 则 根据根值判别法，知级数 也收敛。【知识模块】 级数15 【正确答案】 (I)因为 又由部分和

11、数列 ()由于 可知 所以 由于+11，所以 收敛，从而 也收敛。【知识模块】 级数16 【正确答案】 记 fn(x)=xn+nx 一 1，有 fn(0)=一 10，f n(1)=n0，由连续函数的零点定理知，至少存在一点 xn(0，1) ，使得 fn(xn)=0。 当 x0 时，f n(x)=nxn-1+n0 ，所以 fn(x)在0，+)上单调增加，故方程 xn+nx 一 1=0 存在唯一正实数根xn。 由 xnn+nxn 一 1=0 与 xn0 知 故当 1 时，因为正项级数 收敛，所以当 1 时，级数 收敛。【知识模块】 级数17 【正确答案】 (I)由 cosan 一 an=cosbn

12、 及 可得，0n=cosan 一 cosbn 因为在 上，cosx 为减函数，所以 由于级数 收敛，所以级数 也收敛，由级数收敛的必要条件可得() 由于 所以 由于级数 收敛，由正项级数的比较判别法可知级数 收敛。【知识模块】 级数18 【正确答案】 证明：(I)由 Lagrange 中值定理可得 |x n+1 一 xn|=|f(xn)一 f(xn-1)|=|f(n)|xn 一 xn-1|，其中 n 在 xn 与 xn-1 之间。 由于 所以同理可得 注意到级数收敛，所以 绝对收敛。 ()由于收敛，所以其部分和数列 的极限存在，即 存在，从而 存在。 设 则在等式 xn+1=f(xn)两边取极

13、限可得 a=f(a)。 令 g(z)=f(x)一 x，则 g(0)=10，g(2)=f(2)一 2f(0)+ (20)一 2=0，上式中 f(2)一 f(0)=f()(20)是由 Lagrange 中值定理得到的。 由零点定理可知，g(x) 在(0，2) 上至少存在一个零点。又 g(x)=f(x)一 10，即 g(x)单调递减，所以 g(x)的零点唯一。故【知识模块】 级数19 【正确答案】 所以收敛半径为 R=3，相应的收敛区间为(一 3，3)。 当 x=3 时，因为 且 发散，由比较审敛法的极限形式，所以原级数在点 x=3 处发散。 当 x=一 3 时，由于 级数 是收敛的。 又因 从而

14、根据比较审敛法知收敛，于是 收敛，所以原级数在点x=一 3 处收敛。所以收敛域为一 3，3) 。【知识模块】 级数20 【正确答案】 首先将 arctanx 展开。因为 又 且 f(0)=1，所以 f(x)在=0 处连续，从而 x=0 时， 也成立。进而又在 x=1 处级数收敛， 所以 f(x)在 x=1 处左连续，在 x=一 1 处右连续，所以等式可扩大到 x=1，从而 变形得 因此 【知识模块】 级数21 【正确答案】 由于并且 所以 级数 收敛，且函数 f(x)在 处连续，因此 再根据得 【知识模块】 级数22 【正确答案】 比较两边系数可得 即 【知识模块】 级数23 【正确答案】 (

15、I)因为幂级数 的收敛域是(一， +)，因而可在(一 ，+)上逐项求导，得 ()与 y“+y+y=ex 相应的齐次微分方程为 y“+y+y=0，其特征方程为 2+1=0，特征根为 因此齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 y*=Aex，将 y*代入方程 y“+y+y=ex 可得 则有 于是，方程通解为 当 x=0 时，有 解方程组得 C2=0。 于是幂级数的和函数为 【知识模块】 级数24 【正确答案】 因为 所以由比值判别法可知，当 x21 时，原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散。因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为(一 1，1)。另外，当 x=1 时，通项极限均不为0，

16、故原幂级数在 x=1 处为发散的。 令将其整理变形为 对 根据逐项求导公式得(注意逐项求导后收敛区间端点处敛散性的变化) 同理可得 注意到 S2(0)=0，S 2(0)=0，则 从而 【知识模块】 级数25 【正确答案】 (I)记 则 代入微分方程 y“一 2xy一 4y=0，有 故有(n+2)(n+1)a n+22nan 一 4an=0，即 ()由初始条件 y(0)=0， y(0)=1 知， a0=0，a 1=1，于是根据递推关系式 有a2n=0， 故 【知识模块】 级数26 【正确答案】 由题意可知 y=xn 与 y=xn+1 在点(0，0)和(1，1)处相交，于是所围成区域(图中阴影部分

17、) 的面积 由 取 x=1 得 【知识模块】 级数27 【正确答案】 因为 所以当 x21，即一 1x1 时，原幂级数绝对收敛；当 x=1 时，级数为 显然收敛，故原幂级数的收敛域为一 1，1。 因为 因为 f(0)=0，所以 从而 S(x)=zarctanx，x一1，1。【知识模块】 级数28 【正确答案】 即收敛半径为 1。 x=1 时， 均发散，因此函数的收敛域是(一 1，1)。 求和函数，先作分解 S2(0)=2 且 S1(0)=1，因此 【知识模块】 级数29 【正确答案】 (I)证明：对 逐项求导得 将 S(x)的表达式改写为于是()注意 S(0)=a0=3，S(0)=a1=1，求和函数归结为求解初值问题 特征方程 2 一 1=0，特征根 =1，于是方程的通解为 S(x)=C1ex+C2e-x，再由初值得出 C1=2，C 2=1，因此 S(x)=2ex+e-x。【知识模块】 级数