[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷104及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 104 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有|AB|0（B）当 mn 时，必有|AB|=0（C）当 nm 时，必有|AB|0（D）当 nm 时，必有|AB|=02 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m O)3 设 A=(1， 2， m)，其中 i

2、是 n 维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k 2，k m，皆有 k11+k22+kmm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=（D）若 AB=O，则 B=O4 设 1， 2， ， m 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， s)=r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)=r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价5 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）

3、r(A)=m（B） r(A)=n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示6 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E+A)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值（C）若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值7 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX=0，则( )（A）|A|=0（B） |A|0（C） |A|0（D）以上都不对二、填空题8 设 A，B 都是三阶矩阵，

4、A 相似于 B，且|E A|=|E2A|=|E3A|=0，则|B1 +2E|=_9 设 为非零向量，A= ， 为方程组 AX=0 的解，则 a=_，方程组的通解为_10 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，a，1) T 是方程组 AX=0 的解，2=(a，1，1a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 A 是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0 12 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，|B|=2，求12 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，13 计算

5、 PQ；14 证明 PQ 可逆的充分必要条件是 TA1 b15 设 ， 是 n 维非零列向量，A= T+T证明： r(A)216 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*=|A|n2 A17 设 1， 2， ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1，+ 2，+ t 线性无关18 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解19 设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 BX=0 与ABX=0 是同解方程组20 证明：r(AB)minr(A，r(B21 当

6、 a，b 取何值时，方程组 无解、有唯一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解21 设矩阵 A=22 若 A 有一个特征值为 3，求 a；23 求可逆矩阵 P，使得 PTA2P 为对角矩阵23 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量24 证明 ，A 线性无关；25 若 A2+A6=0 ，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；26 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP27 求 a，b 及可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B28 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y222y 32，且 A*+2E

7、 的非零特征值对应的特征向量为 1= ，求此二次型考研数学一（线性代数）模拟试卷 104 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)n m，于是|AB|=0，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)=mn ，得 r(A)=r( )=mn ，所以方程组 AX 一 6 有无穷多个解选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D

8、【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11+k22+kmm0，所以向量组 1， 2， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选(D) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r 也可由1， 2， r 线性表示，若 1， 2， r 不可由 1， 2， r 线性表示，则1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量

9、组秩不等，矛盾，选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX 一易有解的充分必要条件是易可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(E+A) n，则|E+A|=0，于是 1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为1，则 根据特征值特征向量的定义，1 为 A 的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATA=E，令 AX=X(其中 X0)，则 XTAT=XT，于是XTATAX=2XTX，即( 21)X TX=0，而 XTX0，故

10、2=1，再由特征值之积为负得1 为 A 的特征值，选(A)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型 f=XTAX 1y12+2y22+3y32，其中 0 为正交矩阵取 Y=则 f=XTAX=1=0，同理可得 2=3=0，由于 A 是实对称矩阵，所以 r(A)=0，从而 A=O，选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 60【试题解析】 因为|E A|=|E2A|=|E3A|=0 ，所以 A 的三个特征值为13，12，1，又 AB，所以 B 的特征值为 13，12，1，从而 B1 的特征值为 1，2，3，则 B1 +2E 的特征值为 3，4，5，故|B 1

11、 +2E|=60【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k(3，1，2) T【试题解析】 AX=0 有非零解，所以|A|=0，解得 a=3，于是方程组AX=0 的通解为 k(3，1，2) T【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1=0， 2=1 为矩阵 A 的特征值，1=(a，a，1) T， 2=(a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有1T2=a2a+1a=0 ，解得 a=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确

12、答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATA=E，两边取行列式得|A| 2=1，因为|A|0，所以|A|=1 由|E+A|=|A TA+A|=|(AT+E)A|=A|AT+E|=|A T+E| =|(A+E)|T=|E+A| 得|E+A|=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3，由|B|=123=2 得 3=1A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) 1 的特征值为12，13，12 则|(A+E) 1 =112，因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为|B|1，|B|2，|B|1，即为 2，1，2，于是|B *|=4，

13、|(2B)*|=|4B*|=43|B*|=256，故 =|(A+E)1 |(2B)*|【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 |PQ|=|A| 2(b TA1 )，PQ 可逆的充分必要条件是 |PQ|0，即TA1 b【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)，而 r(T)r()=1，r( T)r()=1，所以 r(A)r(T)+r(T)2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (A *)*A*=|A*|E=|A|n1 E，当 r(A)=n 时，r(A *)=n，A *=|A|A1 ，则

14、(A*)*A*=(A*)*|A|A1 =|A|n1 E，故(A *)*=|A|n2 A当 r(A)=n1 时，|A|=0，r(A *)=1，r(A *)*=0，即(A *)*=0，原式显然成立当 r(A)n1 时，|A|=0，r(A *)=0，(A *)*=O，原式也成立【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 方法一由 1， 2， t 线性无关 ， 1， 2， t 线性无关，令 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0， 1， 2， t 线性无关k=k1=kt=0，+ 1，+ 2，+ t 线性无关方法二令 k+k1(+1)+k2(+2)+k

15、t(+t)=0 (k+k1+kt)= k11k tt (k+k1+kt)A=k 1A1 k tAt=0，A0 ，k+k 1+kt=0，k 11+ktt0 k=k1=kt=0 ，+ 1，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方程组 X=0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解因为 r r(A)+r(B)n，所以方程组 X=0 有非零解，故方程组 AX=0 与BX=0 有公共的非零解【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r且 1， 2， nr 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 AB

16、X=0 有一个解 0不是方程组 BX=0 的解，即 B00，显然 1， 2， nr ， 0 线性无关，若1， 2， nr ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k nr ，k 0，使得 k11+k22+knr nr +k00=0，若 k0=0，则 k11+k22+knr nr =0，因为1， 2， nr 线性无关，所以 k1=k2=knr =0，从而 1， 2， nr ， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由 1， 2， nr 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， nr ， 0 线性无关，且为方程组ABX=0 的解，从而 nr(AB)n

17、r+1，r(AB)r1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与 ABX=0 同解【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量， 因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B) ，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)T=r(AB)=r(BTAT)r(AT)=r(A)， 所以 r(AB)minr(A)，r(B)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)当 a 1 且 a

18、6 时，方程组有唯一解；(2) 当 a=6 时，因为 r(A)=r( )=34 ，所以方程组有无数个解，(3)当 a=1 时， 当 a=1，b36 时，方程组无解；当 a=1，b=36 时，方程组有无数个解，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 |EA|=( 21) 2(a+2)+2a1，把 =3 代入上式得 a=2，于是【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由|EA 2|=0 得 A2 的特征值为 1=2=3=1， 4=9当 =1 时，由(EA 2)X=0 得 1=(1，0， 0，0) T， 2=(0，1，0， 0)T， 3=(0，0，1，1) T；当 =9时，

19、由(9E A2)X=0 得 4=(0，0，1，1) T将 1， 2， 3 正交规范化得1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3 将 4 规范化得 4令 P=(1， 2， 3， 4)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1+k2A=0，设 k20，则 A=k 1k 2，矛盾，所以 ，A 线性无关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 A2+A6=0，得(A 2+A6E)=0， 因为 0，所以r(A2+A6E)2，从而|A 2+A6E|=0，即 |3E+A|2EA|=0，则|3E+A|

20、=0 或|2EA|=0 若|3E+A|0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2EA)=0，得 (2EA)=0，即 A=2，矛盾； 若|2E A|0，则 2EA 可逆，由(2EA)(3E+A)=0，得 (3E+A)=0，即 A=3，矛盾，所以有|3E+A|=0 且|2EA|=0，于是二阶矩阵 A有两个特征值3，2，故 A 可对角化【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且|A|=|B| 因为 AB ，所以存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B， 而A*=|A|A1 ，B *=|B|B1 ， 于是由 P1 AP=B，得(P 1

21、AP)1 =B1 ，即P1 A1 P=B1 ， 故 P1 |A|A1 P=|A|B1 或 P1 A*P=B*，于是 A*B * (2)因为AB，所以存在可逆阵 P，使得 P1 AP=B，即 AP=PB， 于是 AP=PBPP1 =P(BP)P1 ，故 APBP【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由|EB|=0 ，得 1=1， 2=1， 3=2，因为 AB ，所以 A 的特征值为 1=1， 2=1， 3=2由 tr(A)=1+2+3，得 a=1，再由|A|=b= 123=2，得 b= 2，即 A 由( EA)X=0，得 1=(1，1，0) T；由(EA)X=0，得 2=(2，1，1) T；

22、由(2EA)X=0，得 3=(2，1，0) T，由(EB)X=0 ，得1=(1，0，1) T；由(EB)X=0，得 2=(1，0，0) T；由(2EB)X=0 ，得3=(8，3，4) T， 由P11 AP1=P21 BP2，得(P 1P21 )1 AP1P21 =B，令 P=P1P21则 P1 AP=B【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y222y 32，所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=2由|A|= 123=2 得 A*的特征值为1=2=2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0， 3，即 1 为 A*+2E 的属于特征值3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3=2 的特征向量令 A 的属于特征值1=2=1 的特征向量为 因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T=0，即 x0+x3=0故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为 令 P=(2， 3， 1)所求的二次型为f=XTA=12x 12+x22 x323x 1x3【知识模块】 线性代数