[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷110及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 110 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 AB 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆2 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（A）r（B） =n（C） r（D）n3 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数是 k1，k 2，k m

2、，使得是 k11+k22+kmm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 中任一向量均不能由其余 m 一 1 个向量线性表示4 设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必有一列是其余列向量的线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合5 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1， 2，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33 一 1（C） 12 23 3（D）2 1326 设 A 为可逆的实对称

3、矩阵则二次型 XTAX 与 XTA1 X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同仉标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同二、填空题7 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，则=_8 设 A 为四阶矩阵，A *=8，则( A)1 3A *=_ 9 设 =_10 设 A= (a0)，且 AX=0 有非零解，则 A*X=0 的通解为_11 设方程组 有解，则 a1，a 2，a 3，a 4 满足的条件是_12 设 A 为三阶实对称矩阵，且 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 a=_13 二次型 f(x1，x 2，x 3)

4、=(x1 一 2x2)24x 2x3 的矩阵为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 证明：D= 15 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，且 A= ，求 B16 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATA=O，证明：A=O 17 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立18 参数 a 取何值时，线性方程组 有无数个解? 求其通解19 设 (1)a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合?(2)a，b 为何值时， 可唯一表示为1， 2， 3， 4 的线性组合 ?19 设 20 若 aiaj(ij)，

5、求 ATX=b 的解；21 若 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a，求 ATX=b 的通解22 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 122 设矩阵 A= 有一个特征值为 323 求 y；24 求可逆矩阵 P，使得(AP) T(AP)为对角矩阵25 设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(6E 一 A)=O 且 ab证明：A 可对角化25 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32 一 4x1x28x1x34x2x3 经过正交变换化为标准形 5y12by 22 一 4y32，求：26 常数 a，b ；27 正交变换的矩阵 Q28 设二次型 f(x1，x 2，x 3)

6、=x12+4x22+2x32+2tx1x22x 1x3 为正定二次型，求 t 的范围考研数学一（线性代数）模拟试卷 110 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB= A B，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是A=0，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1， 2， m， 线性无关

7、可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2， m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关；(B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数是 k1，k 2，k m，有 k11+k22+kmm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， ，k m 使得 k11+k22+kmm0 不能保证1， 2， m 线性无关；(C) 不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1= ， 2= 线性无关，但其维数等于其个数，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为A=0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列

8、向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值，1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若1+3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1+3)=0(1+3)，注意到 A( 1+3)=0123=一 23，故一 23=0(1+3)或 01+(0+2)3=0，因为 1， 3 线性无关，所以有 0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+3 不是特征向量，同理可证 33 一 1 及1+22+33 也不是特征向量，显然 213 2 为特

9、征值 0 对应的特征向量，选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A1 合同，所以 XTAX 与 XTA1 X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则=(一 1)mn =(一 1)mnab【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 为四阶矩阵，且A *=8，所以 A

10、*=A 3=8，于是A=2又 AA*=AE=2E，所以 A*=2A1 ，故( A)1 3A*=4A 1 6A 1 =(一 2)A1 =(一 2)4A 1 =16 =8【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 令 A=(1， 2， 3)，因为A=2，所以 A*A=AE=2E，而A*A=(A*1，A *2，A *3)，所以 ，于是【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 X= (C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以A=0，而A = =一(a+4)(a 一 6)且 a0，所以 a=一 4因为 r(A)=2，所以 r(A*)=1因为A*A=AE=O，所以

11、A 的列向量组为 A*X=0 的解，故 A*X=0 的通解为 X=(C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 a 1+a2+a3+a4=0【试题解析】 因为原方程组有解，所以 r(A)= ，于是 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+36a=0，a=3【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22 一 4x1x2+4x2x3，所以A= 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

12、。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 A*BA=2BA 一 8E 得 AA*BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E)1 = 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=O，所以 r(A)=0，于是 A=O【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 k11+knn=0，由 1， n 两两正交及( 1，k 11+knn)=0，得 k1(1， 1)=0，而( 1， 1)=120，于是 k1=0，同理可证 k2=kn=0，故1， ， n 线性无关，令 ，显然 1，

13、2 线性无关，但1， 2 不正交【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 若 a=1，则，原方程组的通解为 X=k(一 1，0，1)T+(2，一 1，0)(k 为任意常数)；若 a1，则当 a=2 时，方程组无解；当 a=一 2 时， ，原方程组的通解为 X=k(1，1，1) T+(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 x11+x22+x33+x44= (*)(1)当 a=一 1，b0 时，因为 r(A)=2 =3，所以方程组(*)无解，即 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合； (2)当 a1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合

14、【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 D=A T=(a 4 一 a1)(a4 一 a2)(a4 一 a3)(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)， 若 aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T；【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 当 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a 时，方程组通解为X=k1(a 2，0，1，0) T+k2(0，一 a2，0，1) T+(0，a 2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A

15、X=X，则 XTAT=XT，从而有 XTATAX=XTAX=2XTX，因为 ATA=E，所以( 2 一 1)XTX=0，而 XTX=X20，所以 2=1，于是=1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 3 为 A 的特征值，所以3EA=0，解得 y=2【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，A 2= ，EA 1=0 得1=1， 2=9，当 =1 时，由(EA 1)X=0 得 1= ；=9 时，由(9EA 1)X=0 得2= ，【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由(aE A)(bEA)=O，得aEA bEA

16、=0，则aEA=0 或者bEA=0，又由(aEA)(bE A)=O，得 r(aEA)+r(bEA)n同时 r(aEA)+r(bEA)r(aEA)一(bEA)=r(a 一 b)E=n所以 r(aE 一 A)+r(bEA)=n(1)若aE A0，则 r(aEA)=n，所以 r(bEA)=0，故 A=bE(2)若bE 一 A0，则 r(bEA)=n，所以 r(aEA)=0，故 A=aE(3)若aE A=0 且bEA=0 ，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aEA)X=0 的基础解系含有 n 一 r(aEA)个线性无关的解向量，即特征值a 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(aEA)个；方程

17、组(6E A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(bE 一 A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bEA)个因为 n 一 r(aEA)+n 一 r(bEA)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令 ，则 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX，矩阵 A 的特征值为 1=5， 2=b， 3=一 4，由，从而 A=，特征值为 1=2=5， 3=一 4【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 将 1=2=5 代入(E 一 A)X=0，即(5E A)X=0，由 5EA=得 1=2=5 对应的线性无关的特征向量为；将 3=一 4 代入(EA)X=0，即(4E A)X=0 ，由4E+A= 得 3=一 4 对应的线性无关的特征向量为所求的正交变换矩阵为 Q= 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型为正定二次型，所以有 解得 【知识模块】 线性代数