[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷115及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 115 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A ，B 是 3 阶非零矩阵满足 AB0，则（A）a1 时，必有 r(B)1（B） a1 时，必有 r(B)2（C） a1 时，必有 r(B)1（D）a1 时，必有 r(B)22 设矩阵 B ，已知矩阵 A 相似于 B，则秩 r(AE)r(A 3E)（A）4（B） 5（C） 6（D）7二、填空题3 设 A ，则2A -1E_4 设 A 是 3 阶矩阵且A ，则( A)-1(2A) *_5 已知 1， 2， 3， 4 是 3 维列向量，矩阵 A( 1， 2，2 3 4 2)

2、，B( 3， 2， 1)，C( 12 2，2 23 4， 43 1)，若B 5，C 40，则A_6 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，1，2，又 B A35A 2，则B 4E_7 设 A 是 n 阶实对称矩阵，满足 A42A 3A 22A 0，若秩 r(A)r，则行列式A3E _8 若矩阵 A ，B 是 3 阶非零矩阵，满足 AB0，则t_9 已知 A 是 3 阶非零矩阵，若矩阵 B 使得 AB0，又知 A3E 不可逆，则秩 r(A)r(AE)_10 已知矩阵 A 中 a0且齐次方程组 A0 有非零解，A *是 A 的伴随矩阵，则齐次方程组 A*0 的通解是_11 设 A，B 均为 n 阶

3、可逆矩阵，且 ABB -1A-1，则 r(EAB)r(E AB)_12 设 A ，若存在秩大于 1 的 31 阶矩阵 B，使得 BA0，则An_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 ()设 A， B 均为 n 阶非零矩阵，且 A2A0， B2B 0，证明 1 必是矩阵 A 与 B 的特征值； ()若 ABBA0， 与 分别是 A 与 B 属于特征值1 的特征向量，证明向量组 ， 线性无关14 A ，求 A1815 设 A ，求 An16 已知 AE T，其中 ， ，且 T3，证明 A 可逆并求A-117 设 A 是 n 阶反对称矩阵， ()证明对任何 n 维列向量 ，恒有 T

4、A0； ()设 A 还是实矩阵，证明对任何非零实数 c，矩阵 AcE 恒可逆18 设 是 n 维列向量，已知 T 阶矩阵 AE T，其中 E 为 n 阶单位矩阵，证明矩阵 A 不可逆19 设 1(0 ， 1，0) T， 2(1，0，1) T， 3(0，1，1) T 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值依次为 2，2，1求 A 和 An20 已知向量组() 1(1，3，0，5) T， 2(1 ，2， 1，4) T， 3(1，1，2，3) T 与向量组( )1(1，3，6，1) T， 2(a，0，b，2) T 等价，求 a，b 的值21 设 n 维向量 1， 2， s 线性无关，而 1， 2，

5、 s， 线性相关，证明 可以由 1， 2， s 线性表出且表示方法唯一22 已知 A 是 n 阶非零矩阵，且 A 中各行元素对应成比例，又 1， 2， t 是A0 的基础解系， 不是 A0 的解证明任一 n 维向量均可由1， 2， t， 线性表出23 设向量组() 1， 2， ， s 和() 1， 2， t，如果()可由( )线性表出，且秩 r()r( ) ，证明()与()等价24 已知 4 维向量 1， 2， 3， 4 线性相关，而 2， 3， 4， 5 线性无关 ()证明1 可由 2， 3， 4 线性表出； ()证明 5 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出； () 举例说明 2 能否由

6、 1， 3， 4， 5 线性表出是不确定的25 已知 n 维向量 1， 2， 3 线性无关，且向量 可由 1， 2， 3 中的任何两个向量线性表出，证明 026 已知向量组 1， 2， s 线性无关，若 l 11l 22l ss，其中 li0，证明用 替换 i 后所得向量组 1， i-1， i+1， s 线性无关考研数学一（线性代数）模拟试卷 115 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 易见若 a1 有 r(A)1，而 a1 时，r(A) 2，再由 AB0 得到r(A)r(B)3可见当 a1 时，秩 r(B)有可能为 1 也

7、可能为 2，即(A) 、(B)均不正确。而当 a1 时，从 B0 知必有 r(B)1，且 r(B)2 是不可能的所以应选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由矩阵 B 的特征多项式 E B (2)(3) 2， 可得 B 的特征值为10， 22， 3 43因为 AB，所以矩阵 A 与矩阵 B 有相同的特征值 又困为 B 是实对称矩阵，故 B 可相似于对角矩阵从而，矩阵 A 也可相似于对角矩阵所以，矩阵 A 属于 2 重特征值 3 43，必有 2 个线性无关的特征向量 由此可知，r(3E A)n2422，即 r(A3E)2 又因为 1 不是矩阵A 的特征值，故知EA0所以，

8、r(EA)4，即 r(AE)4 因此r(AE)r(A3E)246故应选 C【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 6【试题解析】 由于2A -1EA -1(2EA)A -12EA， 因为A24，故A -1 又 2EA 3.6.8， 从而2A -1E 6【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 256【试题解析】 由(kA) -1 A-1，(kA) *k n-1A*及 A*AA -1，有 ( A)-1(2A) * 3A-14A *3A -1A -14 3A -1256【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 8【试题解析】 根据行列式的性质，有 A 1， 2，2 3 4 2 1， 2，2

9、3 4 1， 2，2 3 1， 2， 42 3， 2， 1 1， 2， 4 10 1， 2， 4 由于 C( 12 2，2 23 4， 43 1)( 1， 2， 4)， (*) 两边取行列式，有 C 1， 2， 4. 20 1， 2， 4 又由C 40，知 1， 2， 42 故A8【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 0【试题解析】 设矩阵 A 的特征值是 ，容易导出，矩阵 BA 35A 2 的特征值为35 2由于 A 的特征值为 1，1，2，则矩阵 B 的特征值分别是 1351 24， (1) 35(1) 26，2 352 212 同样，设矩阵 B 的特征值为 ，则矩阵 B4E 的特征值为

10、 4于是，矩阵 B4E 的特征值分别为0，2，8因为矩阵 B4E 有 3 个相异的特征值，故存在可逆矩阵 P，使得 P -1(B4E)P 所以B4E0(2)( 8) 0【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 3 n-r【试题解析】 由 A 是实对称矩阵知 A 必可相似对角化，而当 A时，由 A 的n 个特征值所构成只要能求出对角矩阵，根据A i 就可以求出行列式A3E的值 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即 A(0) ，则 A 2 2，A 3 3，A 4 4 于是( 42 3 22)0，0 即有 42 3 22(2)( 21)0 因为实对称矩阵的特征值必是实数，故 A

11、 的特征值取自2 与 0那么由 r(A)r ，得到即矩阵 A 的特征值是 2(r 重)，0(n r 重)因此 A3E 的特征值是 1(r 重)，3(nr 重)从而 A3E3 n-r【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 3【试题解析】 由 B0 知齐次方程组 A0 有非零解，从而 r(A)3(或者从 r(A)r(B)3，r(B)1，亦可知 r(A)3)那么对 A 作初等变换有【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 4【试题解析】 由 AB0 知 r(A)r(B)3 ，又因 r(B)2，矩阵 A 非零，得到 r(A)1 由 AB0 我们还知矩阵 B 的列向量是 A0 的解，所以由知 0 是矩阵

12、A 的特征值，(1，4， 7)T，(2 ，5，8) T 是 0 的 2 个线性无关的特征向量由 A3E 不可逆，知 3 是矩阵 A 的特征值那么矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量 从而A 进而 AE ，故 r(AE)3，所以 r(A)r(AE)4【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 k 1(1，0，1) Tk 2(1，2，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数【试题解析】 因为齐次方程组 A0 有非零解，故 A 242aa 20 于是 a6 或 a4又因 a0，从而a4 因为秩 r(A)2 ，所以 r(A*)1于是齐次方程组 A*0 有 nr(A *)312 个线性无关的解 又因 A

13、*AAE0，所以矩阵 A 的列向量是A*0 的解故 A*0的通解是 k 1(1，0，1) T k2(1，2，2) T，其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 n【试题解析】 由于 ABB -1A-1，有(AB) 2E，即 (EAB)(EAB) 0，从而得 r(EAB)r(EAB)n 又因 r(AB)r(A) r(B)，知 r(EAB)r(E AB)r(EAB) (EAB)r(2E)n 联立，得：r(E AB)r(EAB)n【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由 BA0，有 r(A)r(B)3 ，又因 r(B)1，故 r(A)3r(B)1而由题

14、设知 r(A)1，所以 r(A)1于是 推知a2，b 3，c2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 () 因为(E A)A0，A0，知齐次方程组(EA)0 有非零解，即行列式EA0，所以 1 必是矩阵 A 的特征值同理 1 也必是矩阵 B 的特征值类似地，由 AB0，B0，知行列式A0，所以 0 必是矩阵 A 的特征值，同理 0 也必是矩阵 B 的特征值()对于 A，用矩阵 B 左乘等式的两端有 BAB，又因 BA0，故B00即 是矩阵 B 属于特征值 0 的特征向量那么， 与 是矩阵 B 的不同特征值的特征向量因而 ， 线性无关【知识模块

15、】 线性代数14 【正确答案】 则 A2EB A 18(A 2)9(EB)9 C0iE9-iBiE9B 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 设 ，由 EB 210 1，1 对 1，由(EB)0，得特征向量 1(11) T； 对 1，由(EB)0，得特征向量 2(2，1) T 那么令 P(1 2)有 P-1BP从而 P-1BnP n由于【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 记 B T，则 AEB而由于 r(B)1， Ta 1b1a 2b2a 3b33，故 AEB 3(a 1b1a 2b2a 3b3)2 33 2 所以矩阵 B 的特征值是 3，0，0 那么，矩阵 A 的特征值是2，1，1

16、，故 A 可逆 因为 T T3，有 B2( T)(T)( T)T3B 于是(AE) 23(AE)，即 A2A2E，亦即 A. (AE)E 所以【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 () 因为 TA 是 11 矩阵，是一个数，故 TA( TA)T TAT(T)T TA 所以恒有 TA0 ()如果矩阵 AcE 不可逆，：则齐次方程组(AcE) 0 有非零实解，设其为 ，则 Ac ，0 左乘 T，得TAc T0 与( )矛盾故矩阵 AcE 恒可逆【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由于 AE T， T1，故有 A 2(E T)2(E T)(E T)E2 T( T)(T) E2 T( T)T

17、E2 TE TA 设 n 维列向量 (a 1，a 2，a n)T由 T ai21 知，至少有一个分量 ai0，即 是非零向量 用反证法证明，如果矩阵 A 可逆，用 A-1 左乘式的两边，得AE因为 AE T，从而有 E TE，故此时 T0，这与 为非零列向量矛盾，所以矩阵 A 不可逆【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1， 2， 3 是 A 的 3 个线性无关的特征向量，可直接建立矩阵方程计算 A 两边转置： 用初等变换法求 A 1， 2， 3 也是 An 的特征向量，特征值依次为 2n， 2n，1用同法可求得【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由于 12 2 3 只需考察 1，

18、2 与 1， 2 的互相线性表出问题方程组 11 22 2 有解 b3a0，22a0 a1，b3 即()可由()线性表出的充要条件是 a1，b3 反之，当 a 1，b3 时，方程组 11 22 1 与 11 22 2 均有解，说明()可由()线性表出，所以()与() 等价时，a1，b3【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 1， 2， s， 线性相关，故存在不全为 0 的k1，k 2，k s，k 使得 k 11k 22k ssk0， 那么必有 k0(否则k1，k 2，k s 不全为 0，而 k11k 22k ss0，这与 1， 2， s 线性无关相矛盾)从而 (k11k 22k ss)

19、，即 可以由 1， 2， s 线性表出 如果 有两种表示方法，设为 11 22 ss 及y 11y 22y ss， 那么( 1y 1)1( 2y 2)2( sy s)s0 因为1y 1， 2y 2， sy s 不全为 0，从而 1， 2， s 线性相关，与已知矛盾故 的表示法唯一【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为矩阵 A 中各行元素对应成比例，故 r(A)1，因此 tn1 若 k11k 22k n-1n-1l 0， 用 A 左乘上式，并把Ai0(i1，2，n1)代入，得 lA0 由于 A0，故 l0于是式为 k11 k22 k n-1n-10 因为 1， 2， ， n-1 是基础解

20、系，知1， 2， n-1 线性无关 从而由知 k10，k 20，k n-10 因此1， 2， n-1， 线性无关 对任一 n 维向量 由于任意 n1 个 n 维向量1， 2， n-1， ， 必线性相关，那么 必可由 1， n-1， 线性表出【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设秩 r()r( )r，()的极大线性无关组为： 因为()可由() 线性表出，那么 r(1， 2， s， 1， 2， t)r( 1， 2， t)r 所以是向量组 1， 2， s， 1， 2， t 的一个檄大线性尢天组 从而 1， 2， ， t 可由 线性表出，即1， 2， t 可由 1， 2， s 线性表出【知识模块

21、】 线性代数24 【正确答案】 () 由 2， 3， 4， 5 线性无关，可知 2， 3， 4 线性无关，又因 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 1 可由 2， 3， 4 线性表出 或者，由1， 2， 3， 4 线性相关知有不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4，使 k11 k22 k33k 44 0， 那么必有 k0(否则有 k2，k 3，k 4 不全为 0 而k22 k33 k440，于是 2， 3， 4 线性相关，这与 2， 3， 4， 5 线性无关相矛盾)从而 1 ， 即 1 可由 2， 3， 4 线性表出 ()如果 5k 11k 22k 33k 44，由()可设 1l 22

22、l 33l 44，那么 2 (k1l2k 2)2(k 1l3k 3)3(k 1l4k 4)4， 这与 2， 3， 4， 5 线性无关相矛盾，从而 5 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出 ()设 2(1，0，0，0)T， 3(0，1，0，0) T， 4(0，0，1，0) T， 5(0 ，0，0，1) T，那么 当1 (1，1，1 ，0) T 时， 2可由 1， 3， 4， 5 线性表出； 而当 1 3 时， 2 不能由 1， 3， 4， 5 线性表出【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 可由 1， 2， 3 中的任何两个向量线性表出，故可设 11 22， y 22y 33， z 1

23、1z 33 一 ： 11( 2y 2)2 y330， 一：( 1z 1)1 22z 330 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 10， 2y 20，y 3 0， 1z 10， 20，z 30 从而1 2y 2y 3z 1z 30 故 0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由于 1， i-1， i+1， s 可用 1， 2， s 线性表出，用矩阵表示有 ( 1， i-1， i+1， s)( 1， 2， s)C，其中记 A (1， i-1， i+1， s)，B( 1， 2， ， s)，即 ABC，因为 li0，C 是 s 阶可逆矩阵，故 r(A)r(BC)r(B)r( 1， ， s)s 所以向量组 1， i-1， i+1， s 线性无关【知识模块】 线性代数