[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷129及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 129 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知线性方程组 则 ( )（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0 时，方程组无解2 设 A 是 n(n2)阶方阵，A=3 ，则(A *)* ( )（A）3 (n1)2（B） 3n21（C） 3n2n（D）3 n13 已知向量组() 1， 2， 3， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（C）

2、a1+2， 2 3， 3+4， 4 1（D） 1+2， 2 3， 3 4， 4 14 已知 1=一 1，1，a，4 T， 2=2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 n 的取值范围为 ( )（A）a5（B） a4（C） a3（D）a3 且 a45 设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为 aij 的代数余子式，则下列结论中： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 已知 n 维向量组 1，

3、2， s 线性无关，则向量组 1， 2， s可能线性相关的是 ( )（A） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量（B） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量（C） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量（D） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量7 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 知有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A TX=b 有唯

4、一解（D）对任意的 b，AX=b 有无穷多解8 已知 P1 AP= 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵 A 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量，那么矩阵 P 不能是 ( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2+3， 22 3（C） 1， 3， 2（D） 1+2， 1 2， 39 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是互不相同的 3 维列向量，且都不是方程组 Ax=0的解，记 B=(1， 2， 3)，且满足 r(AB)r(A) ，r(AB)r(B) 则 r(AB)等于 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题10 设 n 阶矩阵 则A =_1

5、1 设 1=1， 0，1，2 T， 2=2，1，2，6 T， 3=3，1，t ，4T， =4，1，5，10 T，已知 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 t=_12 设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A =0 ， 1=1， 2=1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB =_13 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是_14 设 A 是 3 阶实对称矩阵，=5 是 A 的二重特征值对应的特征向量为1=1，1，2， 2=1，2，1 T，则二次型 f(x0，x 2，x 3)=XTAx 在 x0=1，5，0 T 的值 f(1，5，0)=x 0TAx0 x0三、解答题

6、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算 n 阶行列式16 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A *=( A) *(n2)17 已知 A，B 是 3 阶方阵，AO，AB=O，证明： B 不可逆18 设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， x1，x 2 是分别属于 1 和2 的特征向量证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量19 证明：方阵 A 与所有同阶对角矩阵可交换的充分必要条件是 A 是对角矩阵20 设 A=(aij)nn，且 i=1，2，n，求 r(A*)及 A*21 已知向量组 1， 2， s+1(s1)线性无关， i=i+ti1 ，i=1，2，s

7、证明：向量组 1， 2， s 线性无关22 已知齐次线性方程组()的基础解系为 1=1， 0，1，1 T， 2=2，1，0，1T， 3=0，2，1，1 T，添加两个方程 后组成齐次线性方程组( )，求 ()的基础解系23 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，1，1 T， 3+1=0，2，0 T，求该非齐次方程的通解24 设 A 是 3 阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量 证明：当 230 时，向量组 1， A(1+2)，A 2(1+2+

8、3)线性无关25 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角矩阵26 已知 f(x1， x2，x 3)=5x12+5x22+cx322x 1x2+6x1x36x 2x3 的秩为 2试确定参数 c及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种曲面26 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，已知 Em+AB 可逆27 验证 En+BA 可逆，且(E n+BA)1 =EnB(E m+AB)1 A；28 设 其中 a1b1+a2b2+a3b3=0证明：W 可逆，并求 W1 29 设 A 是 3 阶实对称矩阵，已知 A

9、 的每行元素之和为 3，且有二重特征值1=2=1求 A 的全部特征值、特征向量，并求 An考研数学一（线性代数）模拟试卷 129 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式当 abc0时，由克拉默法则知，方程组有解，且当 abc=0 时也有解，故 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因为A =3，故 A 可逆，则(A *)(A*)*=A *E，(A *)*=A *(A *)1 = =A n2 A，(A *)*

10、=A n2 A=A (n2)n A=A n22n+1 =3(n1)2 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因 A(1+2)( 2+3)+(3+4)( 4+1)=0；B( 1 2)+(2 3)+(3 4)+(4 1)=0；C( 1+2)( 2 3)( 3+4)+(4 1)=0，故均线性相关，而 1+2， 2 3， 3 4， 4 1=1， 2， 3， 4=1， 2， 3， 4C，其中故1+2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关，两向量组等价【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是 3 个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，由知 a5故应选

11、 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由 Aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知 A*=AT，那么A *=A T，也即A 2=A，即A (A 1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a110，则 A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320， 故A=1因此，A 可逆 并且 AAT=AA*=AE=E，于是 A 是正交矩阵于是，正确，错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为

12、线性相关A，B 属初等(行)变换，不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，D 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 ATX=b，对任意的 b，方程组若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(ATb)=5，而使方程组无解 因 AT 的列向量组线性无关，故 ATX=0 只有零解，A 正确；因 r(ATA)r(A)=45，故 B 正确；r(A)=4 5，故 D 正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 若 P1 AP=A= P=1， 2， 3，则有 AP=

13、P，即A1， 2， 3=1， 2， 3 即 A 1，A 2，A 3=a11，a 22，a 33 可见 i 是矩阵 A 属于特征值 ai(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此， 1， 2， 3 线性无关若 是属于特征值 的特征向量，则 仍是属于特征值 的特征向量，故 A 正确 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 k1+k2仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 =6的线性无关的特征向量，故 2+3， 22 3 仍是 =6的特征向量，并且 2+3， 22 3线性无关，故 B 正确 关于 C，因为 2， 3 均是 =6的特征向量，所以 2， 2 谁在前谁在后均正确，即

14、 C 正确 由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此1+2， 1 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故 D 错误【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 已知 i(i=1，2，3)都不是 Ax=0 的解，即 ABO，r(AB)1又r(AB)r(A)，则矩阵 B 不可逆(若 B 可逆，则 r(AB)=r(A)。这和 r(AB)r(A)矛盾)，r(B)2，从而 r(AB)r(B)2即 r(AB)1，从而有 r(AB)=1【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 (1) n1 (n1)【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 -3【试题解析】 由 1， 2，

15、3，=知 不能由 1， 2， 3 线性表出 t=3【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=A(2E)=0 知 =2 为 A 的一个特征值由AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1=1， 2=1， 3=2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(1)=1， 1+2(2)=3，从而E+2B=3(1)(3)=9，A = 123=2 故 A+2AB=A(E+2B) =A.E+2B=29=18【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 480(n1 重)，n(单重)【试题解析】 因故 A 的特征值为

16、=0(n1 重)，=n(单重)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 130【试题解析】 已知 A1=51，A 2=52，故二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在特征向量处的值为 f( 1)=1TA1=51T1，f( 2)=2TA2=52T2为求二次型在 x0 处的值，可将x0 用 1， 2 线性表出，设 x0=x11+x22，得方程组 解得x1=1 ，x 2=2，即 x = 1+22 f(x 0)=x0TAx0=( 1+22)TA( 1+22) =( 1T)A( 1)+( 1)TA(22)+22TA( 1)+22TA(22) =51T12.5 1T22.5 1T1+4.52T2

17、=3010 10+120=130【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 按第一列展开，得=an+(1) 1+nbn【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设 A=(aij)nnA的元素 aij 的代数余子式为 Aij，则A 的元素a ij 的代数余子式为 Bij=(1) n1 Aij， 于是(A) *=(1) n1 (Aji)nn=(1) n1 A*，所以 (A) *= ( 1) n1 A*=(1) n1 nA *= A *【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 AB=O，得(AB) T=BTAT=O，又 AO，知 BTX=0 有非零

18、解，故B T=0 ，即B =0，从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 反证法 假设 x1+x2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x1+x2)=(x1+x2)，则 ( 1)x1+( 2)x2=0因为 12，所以 x1，x 2 线性无关，则=1=2矛盾【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 充分性 A 是对角矩阵，则显然 A 与任何同阶对角矩阵可交换必要性 设 与任何同阶对角矩阵可交换，则定与对角元素互不相同的对角矩阵则 biaij=bjaij，又 bi6j，故 aij=0(ij，i=1，2， n；j=1 ，2，n)，故是对角矩阵【知识模块】 线性代数20 【正确

19、答案】 由 i=1，2，n，可知A=0，r(A)n1，当r(A)=n1 时，有 r(A*)=1，当 r(A)n1 时，r(A *)=0，故有 r(A*)1 当 r(A*)=1时，A *=T，其中 ， 为任意非零列向量；当 r(A*)=0 时，A *=O【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k s，使得 k 11，k 22，k ss=0 成立，即 k1(1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1) =k11+(k1t+k2)2+(k2t+k3)3+(ks1 t+ks)s+ksts1 =0 因 1， 2， s+1 线性无关，故 得唯一解k1=k2=ks=0，故 1，

20、 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 方程组()的通解为 k11+k22+k33= 其中k1，k 2，k 3 是任意常数代入添加的两个方程，得 得解1=2，一 3，0 T， 2=0，1，1 T，故方程组()的基础解系为 1=213 2=4，3，2，5 T， 2=2 32，1，1，0 T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 r(A)=1，知 AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程组 AX=0 的解为 1=(1+2)( 2+3)=1 3=1， 3，2 T， 2=(2+3)( 3+1)=2 1=2，3，1 T因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的

21、基础解系 取 AX=b 的一个特解为 = (3+1)=0，1，0 T故 AX=b 的通解为 k 11，3，2T+k22，3，1 T+0，1，0 T，k 1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因 1， A(1+2)，A 2(1+2+3) =1， 11+22， 121+222+323=1， 2， 3 又 123，故 1， 2， 3 线性无关，由上式知1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关 =2320，即 230【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆矩阵 P，使得P1 AP=diag(1， 2， n)=1，其中 i(i

22、=1，2，n)是 A 的特征值，且ij(ij) 又 AB=BA，故 P1 APP1 BP=P1 BPP1 AP，即 1P1 BP=P1 BP1 设 P1 BP=(cij)nn，则比较对应元素 icij=jcij，即( i j)cij=0， ij(ij)，得 cij=0，于是 P1 BP=2，即 B 2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 二次型的矩阵 由 r(A)=2，知A=0，解得 c=3又 EA= =(4)(9)=0，得特征值 1=0， 2=4， 3=9存在正交矩阵 Q，令 X=QY，使得 f=4y22+9y32，故 f(x1，x 2， x3)=1 表示椭圆柱面【知识模块】 线性代数【

23、知识模块】 线性代数27 【正确答案】 在不存在歧义的情况下，简化记号，省略 E 的下标 m，n 因 (E+BA)EB(E+AB) 1 A =E+BAB(E+AB) 1 ABAB(E+AB) 1 A =E+BAB(E+AB)(E+AB) 1 A=E+BABA=E 故 E+BA 可逆，且(E+BA)1 =EB(E+AB) 1 A【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 =E+a1，a 2，a 3b1，b 2，b 3 E+AB 由(1)知 E+AB 可逆，则 E+BA 可逆，且(E+BA)1 =EB(E+AB) 1A，反之若 E+BA 可逆，则 E+AB 可逆，且(E+AB)1 =EA(E+BA)

24、 1 B 因为 E+BA=E+b1，b 2，b 3a1，a 2，a 3T=E+a1b1+a2b2+a3b3=E+O=E，故 E+BA 可逆，(E+BA) 1 =E 故 W=E+AB 可逆，且 W1 =EA(E+BA) 1 B=Ea 1，a 2，a 3T.E.b1，b 2，b 3【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 方法一 A 是 3 阶矩阵，每行元素之和为 3，即有故知 A 有特征值 3=3，对应特征向量为 3=1，1，1 T 又 A 是实对称阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故设 1=2=1 的特征向量为 =x1，x 2，x 3T，应有 3T=x1+x2+x3=0，解得 1=2=1 的线性无关特征向量为 1=1，1，0 T， 2=1，0，1 T取 P=1， 2， 3=故 A=PP1 ，A n=PP1 PP 1 =PnP1 其中 P 可如下求得：方法二 由方法一，得 A 3=33，其中 3=3， 3= 设 1=2=1 对应的特征向量为=x1，x 2，x 3T，则应有 3T=x1+x2+x3=0 取 1=1，1，0 T，再取 2 与 1 正交，设 2=1，1，x T，代入上式得 2=1，1，2 T，将 1， 2， 3 单位化，并取正交阵【知识模块】 线性代数