[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷130及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 130 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是 n 阶方阵，则下列结论正确的是 ( )（A）AB=OA=O 或 B=O（B） A=0A=0（C） AB =0A=0 或B =0（D）A=EA=12 设 A 是 n(n2)阶可逆方阵，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)*= ( )（A）A n1 A（B） A n+1A（C） A n2 A（D）A n+2A3 设向量组() 1， 2， ， s 线性无关，() 1， 2， t 线性无关，且i(i=1，2，s)不能由() 1， 2， t 线性表出， i(j=1，2，

2、t) 不能由()1， 2， s 线性表出，则向量组 1， 2， s， 1， 2， t ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都不对4 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）EA=E B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似5 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 (

3、 )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 已知 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n，则 A 中 ( )（A）没有等于零的 r1 阶子式，至少有一个不为零的 r 阶子式（B）有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零（C）有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式（D）任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零7 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=s（C） r(B)=s（D）r(B)=n8 实二次型 f(x1，x 2，x n)的

4、秩为 r，符号差为 S，且 f 和f 对应的矩阵合同，则必有( )（A）r 是偶数，s=1（B） r 是奇数，s=1（C） r 是偶数，s=0（D）r 是奇数，s=09 已知 1， 2， r(r3)是 Ax=0 的基础解系，则下列向量组也是 Ax=0 的基础解系的是 ( )（A） 1= 2 一3 r， 2=1 3 4 r， 3=1+2 4 r， r=1+2+ r（B）1=1+2+ r1 ， 2=1+3+4+ r， 3=1+2+4+ r， r=1+2+（C） 1， 2， ， r 的一个等价向量组（D） 1， 2， r 的一个等秩向量组二、填空题10 设 A=1， 2， 3是 3 阶矩阵，且A=4

5、 ，若 B=13 2+23， 22 3，2 2+3， 则B=_11 已知 3 维向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组 1 2， 2k 3， 3 1 也线性无关的充要条件是_12 设 A=E+T，其中 ， 均为 n 维列向量， T=3，则A+2E=_13 与 1=1， 2，3，1 T， 2=0，1，1，2 T， 3=2，1，3，0 T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算行列式15 已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A23A2E=O证明 A 可逆，并求出其逆矩阵A1 16 设 A 是 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩

6、阵记为 B证明 B可逆，并推导 A1 和 B1 的关系17 设矩阵 问 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得P1 AP=A，求出 P 及相应的对角矩阵18 设 求A的所有代数余子式之和19 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA1 =BA1 +3E，求 B20 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是 3 维列向量，且线性无关，已知 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 (1)证明 A1，A 2，A 3 线性无关；(2)求A21 已知线性方程组 及线性方程组()的基础解系 1=3，7，2，0 T， 2=1，2，0，1 T求方程组 ()和()的公共解22 设三元线性方程有通解 求原方程2

7、3 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ，是n 维非零向量证明：，正交24 设 =a1，a 2，a 2T0，A= T，求可逆矩阵 P，使 P1 AP=25 设矩阵 矩阵 B=(kE+A)2，求对角矩阵 A，使得 B 和 A 相似，并问 k 为何值时，B 为正定矩阵25 设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=2B，CA T=2C 其中26 求 A；27 证明：对任何 3 维向量 ，A 100与 必线性相关考研数学一（线性代数）模拟试卷 130 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因AB=

8、AB=0= A=0 或B=0 ，故 C 正确；【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=AE，得 A *(A*)*=A *E，(A *)*=A *(A *)1 ，其中 A *=A n1 ，(A *) 1= 故 (A *)*=A n1 . =A n2 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 只需对两种情况举出例子即可取线性无关，显然不能相互线性表出，但 4 个 3 维向量必定线性相关；取线性无关，显然不能相互线性表出，此时 4 个向量仍然线性无关由，知，应选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 P

9、，使得 P1 AP=B，则 tEB=tEP 1 AP=P1 (tE)PP1 AP=P1 (tEA)P ，即 tEA 与 tEB 相似，选D对于 A，由 EA=EB，有 A=b；对于 B，A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于 C，A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 由(AE)B=A，可知当 A 可逆时，AEB0，故B 0 ，因此 B 可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时， AB= AB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故AB=AB0，因此 AB 可逆，故A+B 也可

10、逆，可知 是正确的最后，由 AB=A+B 可知 (AE)B A=0，也即(AE)B(A E)=E ，进一步有(A E)(BE)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的综上，4 个命题都是正确的，故选 D【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，即 r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选 B，而 A，C，D 均不成立【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)

11、=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故若 ABX=0 必有BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选 B，其余选项均可举例说明【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 设厂的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，f 的正惯性指数为 p1，负惯性指数为 q1，则有 p=q1，q=p 1，又 f，f 对应的矩阵合同，故有p=p1，q=q 1，从而有 r=p+q=p+p1=2p，s=pq=pp 1=0，故选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 1=2+3+ r， 2=1+3+ r， 3=1+2+

12、4+ r， r=1+2+ r1 是 Ax=0的基础解系因 由解的性质知， Ai=A(1+2+ i1 +i+1+ r)=0，故 i 均是Ax=0 的解向量 向量个数为，r=nr(A)，与原基础解系向量个数一样多 因 1， 2， r=1， 2， r 1， 2， rC，由 1， 2， r 线性无关及 r3，有故C 可逆 故 1， 2， r 线性无关，则 1， 2， r 也是 Ax=0 的基础解系，故应选 B 另外对 A当 r=3 时， 1= 2 3， 2=1 3， 3=1+2因1 2+3= 2 3( 1 3)+1+2=0， 1， 2， 3 线性相关，故 A 中1， 2， r 不是 Ax=0 的基础解

13、系 对 C，与 1， 2， r 等价的向量组，向量组个数可以超过 r 个 (即与 1， 2， r 等价的向量组可能线性相关)对D，与 1， 2， r 等秩向量组可能不是 Ax=0 的解向量，且个数也可以超过 r，故 A，C，D 均不成立【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 B= 13 2+23， 22 3，5 3 =5 13 2+23， 22 3， 3 =5 13 2， 1， 3 =5 1， 2， 3 =20 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 k1【试题解析】 1 2， 1k 3， 3 1=1， 2， 3 因1， 2， 3 线性无关，故

14、 1 2， 1k 3， 3 1 线性无关的充要条件是=1k0 ，即 k1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 2.3 N【试题解析】 由于 T=3，可知 tr(T)=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的n1 重特征值，则 T 的特征值为 0(n1 重)，3 因此 A+2E=T+3E 的特征值为 3(n1 重)，6，故 A+2E=3 n1 .6=2.3n【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 设与 1， 2， 3 都是正交的向量 =x1，x 2，x 3，x 4T，依题意有对齐次方程组(记作 Ax=O)的系数矩阵作初等行变换，有故nr(A)=43=1，则 Ax=0 有一个

15、基础解向量则 Ax=0 的基础解系为1， 1，1，0 T，将其单位化，得 即为所求【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A 23A2E=O ，则【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 记 Eij 为初等矩阵 则B=EijA，B=E ijA=E ijA=A0，故 B 可逆，且 B 1 =(EijA)1 =A1 Eij1 =A1 Eij故知 B 的逆矩阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由可知 =1 是二重特征值，为使 A 相似于对角矩阵，要

16、求 r(EA)=r(EA)=1 ，因则由 r(EA)=1=k=0，故当 k=0 时，存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=A当 k=0 时，有当 =1，由当 =1，由 故当 k=0 时，存在可逆矩阵 P=1， 2， 3= P1 AP=【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 先计算出 由于A =1，所以则A的所有代数余子式之和为 A*的所有元素之和，即为 0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设知 (AE)BA 1 =3E， (AE)B=3A， A 1 (AE)B=3E ， (EA 1 )B=3E 其中A * =8=A 3，A=2，从而得(2EA *)B=6E，B=6(2E A *)

17、1 ，又【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)A 1， A2，A 3=2+3， 1+3， 1+2=1， 2， 31， 2， 3C，其中 C 是可逆矩阵故 A1，A 2，A 3 和 1， 2， 3 是等价向量组，故 A1，A 2，A 3 线性无关(2)A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行列式，得【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 方程组()的通解为 k 11+k22=k13，7，2，0T+k21，2，0，1 T=3k 1k 2，7k 12k 2，2k 1，k 2T， 其中 k1，k 2 是任意常数，将该通解代入方程组() 得： 3(3k 1k 2)(

18、7k 1 2k2)+8(2k1)+k2=16k 1+16k13k 2+3k2=0， (3k 1k 2)+3(7k12k 2)9(2k 1)+7k2=21k 1+21k17k 2+7k2=0， 即方程组()的解均满足方程组()，故()的通解 k 1 3，7，2，0 T+k21，2，0，1 T 即是方程组()，()的公共解【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax1+bx2+cx3=d，由 1， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程得 解得9k，5k，3k T，即a=9k，b=5k，c=3k，k 是任意常数又 =1，1，3 T 是非齐次方程的解，代入得 d=5k 故原方程

19、是 9x1+5x23x 3=5【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T， 两端右边乘 ，得 TAT=T， 于是 T=T， 即 () T，=0， 故 T=0， 相互正交【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值利用特征值的定义设 A 的任一特征值为，对应于 的特征向量为 ，则 A= T= (*)若 T=0，6 则 =0，又 0，故 =0；若 T0，(*) 式两端左边乘 T，得 TT=(T)T=(T)因 T0，故=T= (2)再求 A 的对应于 的特征向量 因为 A=T，当 =0时，(EA)X= TX=0，因为满足 TX=0 的 X 必满足

20、TX=0，故当 =0时，对应的特征方程是 a1x1+a2x2+anxn=0对应 =0的 n1 个特征向量为 1=a2， a1，0 T， 2=3，0，a 1，0 T， n1 =an，0，0，a 1T当 = =T时，对矩阵 EA= TE T 两端右边乘 ，得 (EA)=(TE T)=(T)( T)=0，故知 =a1，a 2，a nT 即是所求 n(3) 最后由 1， 2， n，得可逆矩阵 P【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 EA= =(2) 2，A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=1= A=Q1QT，B=(kE+A)2=(kE+Q1QT)2=Q(kE+1)QT2=Q(kE

21、+1)2QT当 k0且 k2 时，B 的特征值全部大于 0，这时 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由题设条件：AB= 2B ，将 B 按列分块，设 B=1， 2， 3，则有 A1， 2， 3=2 1， 2， 3，即 Ai=2 i，i=1，2，3，故 i(i=1，2，3)是 A 的对应于 =2 的特征向量又因 1， 2 线性无关， 3=1+2，故 1， 2 是A 的属于 =2 的线性无关特征向量；CA T=2C，两边转置得 ACT=2CT，将 CT按列分块，设 CT=1， 2， 3，则有 A1， 2， 3=21， 2， 3，Ai=2i，i=1，2，3

22、，故 i(i=1，2，3)是 A 的属于 =2的特征向量，因 1， 2， 3互成比例，故 l 是 A 的属于特征值 =2的线性无关的特征向量 取P=1， 2， 1，则 P 可逆，且【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因 Ai=2 i(i=1，2)，故 A100i=(2) 100i=2100i(i=1，2)因A1=21，故 A101=21001 对任意的 3 维向量 ，因 1， 2， 1 线性无关， 可由1， 2， 1 线性表示，且表示法唯一 设 =11+22+31，则 A100=A100(11+22+31)=1A1001+2A1002+3A1001 =121001+221002+321001=2100(11+22+31)=2100 得证 A100和 成比例，A100和 线性相关【知识模块】 线性代数