[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷31及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）如果A0，则B0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 AE，则B 0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B2 设 A= ，若 r(A*)=1，则 a= ( )（A）1（B） 3（C） 1 或 3（D）无法确定3 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B4 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于 ( )（A）

2、A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P15 设 A 是 N 阶矩阵，则 = ( )（A）(-2) nA n（B） (4A) n（C） (-2)2n A* n（D）4A n6 设 则(P -1)2016A(Q2011)-1= ( )7 已知 1， 2， 3， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 如果 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)， 则 4 可以由

3、1， 2， 3 线性表出其中正确结论的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题8 设 ，B=(E+A) -1(E-A)，则(E+B) -1=_9 已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第 1 列和第 2 列对换得到 B1，又 A1B1= ，则 AB=_10 设 ，则 B-1=_11 设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且2E+A =0 ， 1=1， 2=-1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB =_12 设 A=E+T，其中 ， 均为 n 维列向量， T=3，则A+2E=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程

4、或演算步骤。13 设 A=(aij)nn，且 ，i=1，2，n，求 r(A*)及 A*14 已知 n 阶矩阵 求A中元素的代数余子式之和，第 i 行元素的代数余子式之和 ， i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和15 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，且 ABA-1=BA-1+3E，求 B16 设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B可逆，并推导 A-1 和 B-1 的关系16 设 A 是 n 阶可逆阵，每行元素之和都等于常数 a证明：17 a0；18 A-1 的每行元素之和均为19 A，B 为 n 阶方阵，证明：20 计算20 设 A 是

5、mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，E+AB 可逆21 验证：E n+BA 也可逆，且(E n+BA)-1=En-B(Ent+AB)-1A；22 设 其中 ，利用(1)证明： P 可逆，并求 P-123 已知 1=1，-1 ，1 T， 2=1，t，-1 T， 3=t，1 ，2 T，=4，t 2，-4 T，若 可由1， 2， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式24 设向量组 1， 4， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s-1=s-1+s， s=s+1 讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性25 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系

6、，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关26 设向量组() 与向量组() ，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与() 等价27 求齐次线性方程组 ，的基础解系28 问 A 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式29 A 为何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解 ?并在有无穷多解时写出方程组的通解考研数学一（线性代数）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有r(

7、B)=n，也即 B 是可逆的，故 B-1B=E，可见(B)中命题成立 AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故B0，可见(C)中命题也是成立的 矩阵A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当 A0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不一定有B 0故选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得 r(A)=3，则A=0，即【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 A 第一行加到第三行(P 2 左乘 A)再将第一

8、，二行对换(再 P1 左乘P2A)得到，故 (C)成立【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，B -1=(AP2P1)-1= =P1P2A-1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 =(-2)2nA * A=4 nA n=(4A ) n【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 易知 P2=E，故 P-1=P，进一步有(P -1)2016=P2016(P2)1008=E利用归纳法易证 故(P -1)2016A(Q2011)-1=，由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将 A 第二列的 2011 倍加第一列，计算可知

9、应选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1， 2， 3 线性无关，由于 1， 2， 3， 4 为 4 个 3 维向量，故 1， 2， 3， 4 线性相关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表出，可知 是正确的令 1= ，则 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关可知是错误的由1， 1+2， 2+3 1， 2， 2+3 1， 2， 3， 4， 1+4， 2+4， 3+4 4， 1， 2， 3 1， 2， 3， 4可知 r( 1， 1+2， 2+3)=r(1， 2， 3)， r(4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1，

10、 2， 3， 4)，故当 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，也有 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，因此 4可以由 1， 2， 3 线性表出可知 是正确的故选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 E+B=E+(E+A) -1(E-A)=(E+A-1(E+A+E-A)=(E+A)-12E，故【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=A-(-2E)=0 知 =-2 为 A

11、 的一个特征值由 AB知 A 和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=-1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均 1=1， 2=-1， 3=-2 则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(-1)=-1，1+2(-2)=-3，从而 E+2B=3(-1)(-3)=9，A= 123=2 故 A+2AB=A(E+2B) =A.E+2B=29=18【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 2.3 n【试题解析】 由于 T=3，可知 tr(T)=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n-1重特征值，故 T 的特征值为 0(n-1 重)，3因此，A+2E= T+3E 的特征值为3(n-1

12、 重)，6，故 A+2E=3-1.6=2.3 n【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 =0，i=1 ，2，n，可知A0，r(A)N-1 ，当 r(A)=n-1时，有 r(A*)=1，r(A)n-1 ，r(A *)=0，故有 r(A*)1 r(A *)=1 时，A *=T，其中， 为任意非零向量；r(A *)=0 时，A *=O【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 AA *=AE=E，【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由题设 (A-E)BA -1=3E (A-E)B=3A， A -1(A-E)B=3E， (E-A -1)B=3E，

13、 其中A *=8= A 3，A=2，从而得 (2E-A *)B=6E， B=6(2E-A*)-1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 记 Eij 为初等阵则B=EijA，B=E ijA=E ijA=- A0，故 B 可逆，且 B-1=(EijA)-1=A-1Eij-1=AEij 故知 B 的逆矩阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 将 A 中各列加到第一列，得若 a=0，则A=0，这与A 是可逆阵矛盾，故 a0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 A=1， 2， n，A -1=1， 2， n，E=e1，

14、e 2，e n，由 A-1A=E，得 A -11， 2， n=e1，e 2，e n， A -1j=ej，j=1，n， A -11+A-12+A-1n=e1+e2+en，A -1(1+2+ n)=A-1另一方面，A -1 =a(1+2+ n)比较以上两式，得证 得证A -1的每行元素之和为【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (E n+BA)(En-B(Em+AB)-1A) =En+BA-B(Em+AB)-1A-BAB(Em+AB)-1A =En+BA-B(Em+AB)(Em+AB)-1

15、A=En， 故 (E n+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 其中 X=x1，x 2，x nT，Y=y 1，y 2，y nT因 1+YTX=1+ =20，由(1) 知P=E+XYT 可逆，且【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得其通解为 ，kR所以 =-3k 1+(4-k)2+k3，k R【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 方法一 设 x11+x22+xss=0，即 (x 1+xs)1+(x1+x2)2+(xs-1+xs)s=0因为 1， 2， s 线性无关，则 其系数

16、行列式(1)当 s 为奇数时，A=20，方程组只有零解，则向量组 1， 2， ， s 线性无关；(2)当 s 为偶数时，A=0，方程组有非零解，则向量组 1， 2， s 线性相关方法二 显然1， 2， s=1， 2， s =1， 2， sKss，因为 1， 2， s 线性无关，则 r( 1， 2， s)minr(1， 2， s)，r(K)=r(K) (1)r(K)=s K =1+(-1) s+10 s 为奇数时，r( 1， 2， s)=s，则向量组 1， 2， s 线性无关； (2)r(K)s K=1+(-1) s+1=0 s 为偶数时，r(1， 2， s)s，则向量组 1， 2， s 线性相

17、关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0，等式两边左乘 A，得(k+k 1+kt)A=0 k+k1+kt=0，则 k11+ktt=0 由1， 2， t 线性无关，得 k1=kt=0 k=0，所以 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设() 的一个极大无关组为 1， 2， r，()的一个极大无关组为 1， 2， r 因为()可由()表示，即 1， 2， r 可由 1， 2， r 线性表示，于是 r( 1， 2， r， 1， 2， r)=r(1， 2， r)=r 又1， 2， r 线性无关，则 1， 2， r，也可作为1， 2， r， 1， 2， r 的一个极大无关组，于是 1， 2， r 也可由1， 2， r 表示，即( ) 也可由()表示，得证【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A= ，则方程组的解为1=-1，1，0，0，0T， 2=-1，0，0，0，1 T【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 B=A b= 线性方程组有解 ，其通解为【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 方程组改写为 则有当 1 且 时，方程组有唯一解；当 =1 时，方程组有无穷多解，且通解为【知识模块】 线性代数