[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷32及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1-2， 1-22+3， (1-3)， 1+32-43，是导出组 Ax=O 的解向量的个数为 ( )（A）4（B） 3（C） 2（D）12 设 A 是秩为 n-1 的 72 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是 ( )（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1-2)3 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=0，

2、现有命题 () 的解必是() 的解； ()的解必是( )的解； ()的解不一定是()的解； () 的解不一定是()的解 其中，正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）4 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数忌 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss05 设有两个 n 维向量组() 1， 2， s，() 1， 2， s，若存在两组不全为零的数

3、 k1，k 2，k s， 1， 2， s，使(k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1-1)1+(ks-s)s=0，则 ( )（A） 1+1， ， s+s， 1-1， s-s 线性相关（B） 1， s 及 1， ， s 均线性无关（C） 1， s 及 1， ， s 均线性相关（D） 1+1， ， s+s， 1-1， s-s 线性无关6 已知向量组() 1， 2， 3， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1-2， 2-3， 3-4， 4-1（C） 1+2， 2-3， 3+4， 4-1（D） 1+2， 2-3， 3-4，

4、4-17 设向量组() 1， 2， ， s 线性无关，() 1， 2， t 线性无关，且i(i=1，2，s)不能由() 1， 2， t 线性表出， i(i=1，2，t) 不能由()1， 2， s 线性表出，则向量组 1， 2， s， 1， 2， s ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都不对二、填空题8 已知 ABC=D，其中 A= ，则B*=_9 设 1=1，0 ，-1 ，2 T， 2=2，-1，-2，6 T， 3=3，1，t ，4 T，=4 ，-1，-5，10 T，已知 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 t=_10 已知 3 维向量组 1，

5、 2， 3 线性无关，则向量组 1-2， 2-k3， 3-1 也线性无关的充要条件是 k_11 设 n 维向量组 1， 2， 3 满足 21-2+33=0，对于任意的 n 维向量 ，向量组l1+1，l 2+2，l 3+3 都线性相关，则参数 l1，l 2，l 3 应满足关系_12 设 A 是 5 阶方阵，且 A2=O，则 r(A*)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设四元齐次线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为 k10，1，1，0 T+k2-1，2，2，1 T13 求线性方程组() 的基础解系；14 问线性方程组() 和() 是否有非零公共解?若有，则

6、求出所有的非零公共解若没有，则说明理由15 设 1， 2， t 和 1， 2， s 分别是 AX=0 和 BX=0 基础解系证明：AX=0 和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关15 已知 1=1，2，-3 ，1 T， 2=5，-5，a ，11 T， 3=1，-3，6，3 T， 4=2，-1，3，a T问：16 a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关；17 a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关；18 a 为何值时， 4 能由 1， 2， 3 线性表出，并写出它的表出式18 已知 问 取何值时 19 可由 1， 2， 3

7、线性表出，且表达式唯一；20 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一；21 不能由 1， 2， 3 线性表出22 设向量组 1=a11，a 21，a nT， 2=a11，a 22，a n2T， ， s=a1s，a 2s，a 1tsT证明：向量组 1， 2， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 有非零解(有唯一零解)23 已知 1， 2， s 线性无关， 可由 1， 2， s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关24 已知向量组 1， 2， s+1(s1)线性无关， i=i+ti+1，i=1，2，s 证明：向量组 1， 2，

8、 s 线性无关24 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是三维列向量，且线性无关，已知A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+225 证明：A 1，A 2，A 3 线性无关；26 求A27 已知 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， s 是 n 维线性无关向量组，若A1，A 2，A s 线性相关证明：A 不可逆28 设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，若 AB=E证明：B 的列向量组线性无关29 设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是r(A)n考研数学一（线性代数）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给

9、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A( 1-2)=A1-A2=b-b=0， A( 1-22+3)=A1-2A2+A3=b-2b+b=0， A(1+32-43)=A1+3A2-4A3=b+3b-4b=0，因此这 4 个向量都是 Ax=0 的解，故选(A) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由规 n-r(A)=1 知 Ax=0的基础解系由一个非零向量构成 1， 1+2 与 1-2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解，那么 1 可以

10、是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1=-20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20因此要排除(B)，(C)由于 12，必有 1-20可见(D)正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时，易知 An+1x=A(Anx)=0，故()的解必是()的解，也即正确，错误 当 An+1x=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A nx 是线性无关的由于 x，Ax ，A nx 均为n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有Anx=0可知(

11、 )的解必是( )的解，故正确，错误故选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之必要性：假设有一向量，如 s 可由1， 2， s-1 线性表出，则 1， 2， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出，充分性：假设 1， 2， s 线性相关 至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1， 2， s 线性无关(A)对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论(B)必要但不充分，如1=0，1，0 T， 2=1，1，0 T， 3=-1，0，0 T 任意两个向量均线性无关，但1， 2， 3 线性相关(D) 必要但不充分如上例

12、 1+2+30，但 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为 0 的 k1，k 2，k s， 1， 2， s 使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1-1)1+(k2-2)2+(ks-s)s=0， 整理得 k 1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1-1)+2(2-2)+ s(s-s)=0，从而得1+1， ， s+s， 1-1， s-s 线性相关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因(A) 1+2-(2+3)+(3+4)-(4+1)=0； (B)( 1-2)+(2-3)+(3-4)+(4-1

13、)=0； (C)( 1+2)-(2-3)-(3+4)+(4-1)=0，故均线性相关，而 1+2， 2-3， 3-4， 4-1=1， 2， 3， 4 =1， 2， 3， 4C其中 故 1+2， 2-3， 3-4， 4-1 线性无关，两向量组等价【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情况举出例子即可取 1=线性无关，且显然不能相互线性表出，但 4 个 3 维向量必定线性相关；取 1=线性无关，且显然不能相互线性表出，且 4 个向量仍然线性无关由， 知，应选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 B -1= ，B *=BB -1，且 B-1=

14、(A-1DC-1)-1=CD-1A=所以【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 -3【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1【试题解析】 1-2， 2-k3， 3-1=1， 2， 3 因 1， 2， 3线性无关，故 1-2， 2-k3， 3-1 线性无关的充要条件是【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2l 1-l2+3l3=0【试题解析】 因 l1+1， l2+2，l 3+3 线性相关 存在不全为零的是k1，k 2，k 3，使得 k 1(l1+1)+k2(l2+2)+k3(l3+3)=0，即 (k 1l1+k2l2+k3l2)+k11+k22+k33=0 因 是任意向量

15、， 1， 2， 3 满足 21-2+33=0，故令 2l1-l2+3l3=0 时上式成立故 l1，l 2，l 3 应满足 2l1-l2+3l3=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0【试题解析】 因 A 2=AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2，从而 A *=O，r(A *)=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 线性方程组()的解为 ，得所求基础解系 1=0，0，1，0 T， 2=-1，1，-，1 T【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 将方程组()的通解代入方程组()，得 k1=-k2当 k1=

16、-k20 时，方程组( )和()有非零公共解，且为 x=-k20，1，1，0 T+k2-1，2，2，1 T=k2-1，1，1，1 T=k-1，1，1，1 T，其中 k 为任意非零常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 必要性 由 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关，知存在k1，k 2，k t，l 1，l 2， ，l s 不全为零，使得k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0 令 =k11+k22+ktt，则 0(否则k1，k 2，k t，l 1，l 2， ，l s 全为 0)，且 =-l11-l22-lss，即非零向量 既可由 1， 2， t 表示，也可由 1， 2，

17、s 表示，所以 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解 充分性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则=k11+k22+ktt 且 =-l11-l22-lss，于是，存在 k1，k 2，k t 不全为零，存在 l1，l 2，l s 不全为零，使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0， 从而1， 2， ， t， 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1， 2， 3， 4故 a=4 或 a=12 时，1， 2， 3， 4 线性相关；【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 a4，a12 时， 1， 2， 3， 4 线

18、性无关；【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 a=4 时， 4 可由 1， 2， 3 线性表出得 4=1+3【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1， 2， 3，0 且 -3， 可由1， 2， 3 线性表出，且表出法唯一；【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 =0 时， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表达式不唯一；【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 =-3 时， 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 1， 2， s(线性无关)线性相关 (不)存在不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 x 11+x22+xss=0

19、 成立有非零解(唯一零解) 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 用反证法设 1， 2， s， 中任意 s 个向量组1， 2， i-1， i+1， s， 线性相关，则存在不全为零的 k1，k 2，k i-1，k i+1，k s，k，使得 k 11+ki-1i-1+ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题设 =l11+l22+lii+lss， 其中 li0，i=1，2，s代入上式，得 (k 1+kl1)1+(k2+kl2)2+(ki-1+kli-1)i-1+klii+(li+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0 因已知1， 2， s 线性无关，从而由 kli=0，l i0，故

20、 k=0，从而由 式得k1，k 2，k i-1，k i+1，k s 均为 0，矛盾 故 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k s，使得 k11+k22+kss=0 成立，即k1(1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1)=k11+(k1t+k2)2+(k2t+k3)3+(ks-1t+ks)a+ksts+1=0 因 1， 2， s+1 线性无关，故 得唯一解k1=k2=ks=0，故 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 1，A 2，A 3=2+3， 1+3， 1

21、+2其中C= =20，C 是可逆阵故 A1，A 2，A 3 和 1， 2， 3 是等价向量组，故 A1，A 2，A 3 线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行列式，得A= =2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因 A1，A 2，A s 线性相关，故存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 1A1+k2A2+ksAs=0， 即 A(k 11+k22+kss)=A=0 其中 =k11+k22+kss 成立，因已知 1， 2， s 线性无关，对任意不全为零的 k1，k 2，k s， 有 =k 11+k22+k

22、ss0， 而 A=0 说明线性方程组 AX=0有非零解，从而A=0，A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 方法一 证 B 的列向量线性无关，即证 B 列满秩，即证 r(B)=n 因r(B)n(nm)，又 r(B)r(AB)=r(E)=n故 r(B)=n，所以 B 的列向量组线性无关 方法二 设 B=1， 2， n，其中 i(i=1，2，n)是 B 按列分块后的列向量 设 x11+x22+xnn=0，即 两边左乘 A，则得 ABX=EX=X=0，所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 充分性 r(A) n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则BO，且有 AB=O 必要性 若 AB=O，其中 BO，设 B=1， 2， s，则Ai=0，i=1，2，5其中 i，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故 r(A)n【知识模块】 线性代数