[考研类试卷]考研数学一（线性方程组）模拟试卷2及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性方程组）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设有三张不同平面的方程 ai1x+ai2y+ai3z=bai，i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为2 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若秩 =秩(A)，则线性方程组3 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若孝 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仪含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性

2、无关的解向量4 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时必有非零解（D）当 mn 时仪有零解6 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）( 1+3)/2+k1(2-1)（B） (2-3)/2+k1(2-1)（C） (2+3)/2+k1(2-1)

3、+k2(3-1)（D）( 2-3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)7 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)：若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A） （B） （C） （D） 7 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I) ：AX=0 和()：ATAX=0，必有（A）() 的解是 (I)的解

4、，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解8 设向量组 I： 1， 2，., r 可由向量组： 1， 2，., s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关9 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性

5、相关，B 的列向量组线性相关10 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2 则 1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=011 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关12 设向最组

6、1， 2， s 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1-22， 2-23， 3-21.（D） 1+22， 2+23， 3+2113 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 5二、填空题14 已知方程组 无解，则 a=_.15 设方程 有无穷多个解，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明

7、过程或演算步骤。16 设 ，A= T，B= T，其中 T 是 的转置，求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+y17 设向量 1， 2，., t 是齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组Ax=0 的解即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 考研数学一（线性方程组）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 12，知 1-2 是 Ax=0 的非零解，故秩 r(A)*0，说明有代数余子式 Aij

8、0，即丨 A 丨中有 n 一 1 阶于式非零因此秩 r(A)=n-1那么 n-r(A)1l，即 Ax=0 的基础解系仪含有一个非零解向量应选(B) 【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 A【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 C【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 是其次方程无关的解，那么 2-1， 3-1 是 Ax=0 的 2 个线性无关的解.【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组7 【试题解析】 若 是(I)的解，则 A=0，那么(A TA)=AT(A)=AT0=0，即 是()的解。 若 a 是() 的解，有

9、ATA=0，用 T 左乘得 TATA=0即(A) T(A)=0亦即 A 自己的内 积 (A，A)=0，故必有 A=0，即 是(I)的解 所以(I)与()同解，故应选 (A)【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 D【试题解析】 根据定理“若 1， 2，., s 可由 1， 2，., t 线性表出，且 st，则1， 2，., s 必线性相关 ”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相关，故应选(D)【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 mn 曰是 ns 矩阵，且 AB=0，那么 r(A)+r(B)n 由于A，B 均非 0，故 0T。，显然 AB

10、=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向量组 线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A)正确【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 B【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k 11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0. (k1+1k2)1+2k22=0，k 1k2 为 0 不同特征值的特征向量线性无关，所以 1， 2 线性无关【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，A s)=A(1， 2， s)，所以 r(A1，A 2， ，A s

11、)r(1， 2， s) 1， 2， s 线性相关，有r(1， 2， ， s)1，A 2，A s)1，A 2，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，A s 线性尢关，否则 A1，A 2，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 A【试题解析】 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，故应选(A) 至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 的方法来处理【知识模块】 线性方程组13

12、 【正确答案】 B【知识模块】 线性方程组二、填空题14 【正确答案】 -1【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 1【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由已知得 又 A2=TT=(T)T=2A，递推地 A4=23A代入原方程，得 16Ax=8Ax+16x+y，即8(A-2E)x=y(其中 E 是 3 阶单位矩阵) 令 X=(x1，x 2，x 3)，代人上式，得到非齐次线性方程组 解其对应的齐次方程组，得通解 =k(1，2，1) T (k 为任意常数) 显然，非齐次线性方程组的一个特解为 *=(0，0，-1/2) T，于是所求方程的

13、解为 x=+*，即 x=k(1 ，2，1) T+(0，0， -1/2)T， 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 证法一：(定义法) 若有一组数 k，k 1，k 2，k t，使得 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，., t 是 Ax=0 的解，知Ai=0(i=1，2，t)，用 A 左乘上式的两边，有 (k+k 1+k2+kt)A=0 由于A0，故 k+k1+k2+kt=0 重新分组为(k+k 1+k2+kt)+k11+k21+ttt=0 k11+k21+ttt=0 由于 1， 2，., t 是基础解系，它们线性无关，故必有 k1=0， k2=0， ，k t=0 k=0 因此，向量组 ，+ 1，.,+ t 线性无关 证法二：(用秩) 经初等变换向量组的秩不变把第 1 列的一 1 倍分别加至其余各列，有 (， +1，+ 2,.,+t)(， 1， 2， t) 因此 r(，+ 1，+ 2,.,+t)=r(， 1， 2， t) 由于 1， 2， t 是基础解系，它们是线性无关的，秩r(1， 2， t)=t，又 必不能由 1， 2， t 线性表出(否则 A=0)，故 r(， 1， 2， t，)=t+1 所以 r(，+ 1，+ 2,.,+t)=t+1 即向量组，+ 1，+ 2,.,+t 线性无关【知识模块】 线性方程组