[考研类试卷]考研数学一（线性方程组）模拟试卷6及答案与解析.doc

1、考研数学一（线性方程组）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对于 n 元方程组，下列命题正确的是（A）如果 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）如果 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解（C）如果 Ax=b 有两个不同的解，则 Ax=0 有无穷多解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n2 已知 1， 2， 3， 4 是 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1， 2， 3， 4 的等价向量组 1， 2， 3， 4（C） 1， 2， 3， 4 的

2、等秩向量组 1， 2， 3， 4（D） 1+2， 2+3， 3 4， 4 13 已知 1， 2 是 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应齐次方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是（A）k 11+k2(1+2)+ （B） k11+k2(1 2)+ （C） k11+k2(1 2)+ （D）k 11+k2(1 2)+ 4 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 与 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1 一 2)5 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A

3、*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量6 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，则下列命题若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩 r(A)r(B)若秩 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩 r(A)=r(B)若秩 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解中正确的是（A），（B） ，（C） ，（D），二、填空题7

4、设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组 Ax=0 ()如 A 中每行元素之和均为0，且 r(A)=n 一 1，则方程组的通解是_； ()如每个 n 维向量都是方程组的解，则 r(A)=_； ()如 r(A)=n 一 1，且代数余子式 A110，则Ax=0 的通解是_ ，A *x=0 的通解是_ ，(A *)*x=0 的通解是_8 已知 1， 2 是方程组 的两个不同的解向量，则a=_9 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，若 1+2+23=(2，0， 0，0) T， 3 1+2=(2，4，6，8) T，则方程组 Ax=b 的通

5、解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 已知 1=(一 9，1，2，11) T， 2=(1，一 5，13，0) T， 3=(一 7，一 9，24，11) T 是方程组 的三个解，求此方程组的通解11 解齐次方程组12 解方程组13 设 A= ()求满足 A2=1，A 23=2 的所有向量2， 3；() 对() 中任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关14 设 A= 已知方程组 Ax=b 有无穷多解，求 a的值并求其通解15 讨论 a，b 取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，有解时求出其解16 设 A= 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解

6、，()求 ，a；()求方程组 Ax=b 的通解17 设齐次线性方程组 其中 A0，b0，n2试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解? 当有无穷多解时，求出其全部解，并用基础解系表示全部解18 设方程组() 与方程组()x 1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a的值及所有公共解19 设 4 元齐次线性方程组()为 而已知另一 4 元齐次线性方程组( )的一个基础解系为 1=(2，一 1，a+2，1) T， 2=(一 1，2，4，0+8) T(1)求方程组() 的一个基础解系；(2) 当 a 为何值时，方程组()与()有非零公共解?若有，求出其所有非零公共解20 已知 1=(

7、0，0，1，0) T， 2=(一 1，1，0，1) T 是齐次线性方程组 ()的基础解系，1=(0，1，1，0) T， 2=(一 1，2，2，1) T 是齐次线性方程组()的基础解系，求齐次线性方程组() 与()的公共解21 已知齐次线性方程组同解，求 a，b，c 的值22 设 A 是 mn 实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，证明方程组()：Ax=0 和()：ATAx=0 是同解方程组23 已知 n 元齐次线性方程组 A1x=0 的解全是 A2x=0 的解，证明 A2 的行向量可以由A1 的行向量线性表出 若线性方程组()A 1x=b1 和 ()A 2x=b2 都有解，且()的解全是(H)的

8、解，则 (A2，b 2)的行向量组可以由(A 1，b 1)的行向量组线性表出24 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系是 1=(2，一 1，1，1) T， 2=(一1，2，4，7) T25 已知 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明1+2， 2+3， 3+1 也是该方程组的一个基础解系26 设齐次线性方程组 的系数矩阵记为A，M j(j=1，2，n)是矩阵 A 中划去第 j 列所得到的行列式，证明：如果 Mj 不全为 0，则(M 1，一 M2，(一 1)n1 Mn)T是该方程组的基础解系27 已知 A 是 mn 矩阵，其 m 个行向量是齐次线性方程组 Cx=0 的

9、基础解系，B是 m 阶可逆矩阵，证明 BA 的行向量也是齐次方程组 Cx=0 的基础解系考研数学一（线性方程组）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 r(A)=n 时，不一定有 r =n注意， n 元方程组只表示 A 有 n个列向量，并不反映列向量的维数(即方程的个数)，此时可以有 r n，那么方程组可能无解，所以(A) ， (B)，(D) 均不对对于(C)，从 Ax=b 有不同的解，知Ax=0 有非零解，进而有无穷多解【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 本小题中(A)，(D) 均线性相

10、关 ( 1+2)一( 2+3)+(3+4)一( 4+1)=0， (1+2)一( 2+3)+(3 一 4)+(41)=0， 用简单的加减可排除(A) ，(D)关于(C)，因为等秩不能保证 i 是方程组的解，也就不可能是基础解系至于(B)，由等价知 1， 2， 3， 4 是解，从 r( 1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4)=4，得到1， 2， 3， 4 线性无关，故(B)正确【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 不是 Ax=b 的解，从解的结构来看应排除 (A)，(C)，虽 12， 1 都是 Ax=0 的解，但是否线性无关不能保证，能否成为基础解系不明确，(D)应

11、排除由 1， 2 是基础解系，得 1， 1 一 2 线性无关是基础解系，而是 Ax=b 的解，故 (B)正确【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 nr(A)=1 知 Ax=0的基础解系由一个非零向量构成 1， 1+2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1= 20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20因此要排除(B)、(C)由于 12，必有 1 一 20可见(D)正确【知识模块】 线性方程

12、组5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查齐次方程组 Ax=0 的基础解系中解向量的个数也就是要求出矩阵 A 的秩由于 因为 A*0，必有 r(A*)l，故 r(A)=n 或 n 一 1又因 1， 2， 3， 4 是 Ax=b 互不相同的解，知 1 2 是Ax=0 的非零解，而必有 r(A)n从而 r(A)=n 一 1因此，nr(A)=n 一(n 1)=1，即 Ax=0 只有一个线性无关的解故应选 (B)【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 命题显然错误，可排除 (C)、(D)对于(A)和(B)必有一个是正确的因此命题必正确由正确，可知 必正确所以应选 (B)【知识模块】

13、 线性方程组二、填空题7 【正确答案】 ()k(1 ，1，1) T()0( )k(A 11，A 12，A 1n)T k1e1+k2e2+knen k【试题解析】 () 从 r(A)=n 一 1 知 Ax=0 的基础解系由 1 个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系因为每行元素之和都为 0，有ai1+ai2+ain=1.ai1+1.ai2+1.ain=0，所以，(1，1，1) T 满足每一个方程，是Ax=0 的解，故通解是 k(1，1，1) T()每个 n 维向量都是解，因而有 n 个线性无关的解，那么解空间的维数是 n，又因解空间维数是 nr(A)，故 n=nr(A)，即 r(A)=0(

14、)对 Ax=0，从 r(A)=n 一 1 知基础解系由 1 个解向量所构成因为AA*=AE=0 ，A *的每一列都是 Ax=0 的解现已知 A110，故(A11， A12，A 1n)T 是 Ax=0 非零解，即是基础解系，所以通解是k(A11，A 12，A 1n)T 对 A*x=0，从 r(A)=n 一 1 知 r(A*)=1，那么 A*x=0 的基础解系由 nr(A*)=n 一 1 个向量所构成，从 A*A=0 知 A 的每一列都是 A*x=0 的解，由于代数余子式 A110，知，n 一 1 维向量(a 22，a 32，a n2)T，(a 22，a 33，a n3)T，(a 2n，a 3n，

15、a nn)T 线性无关，那么延伸为 n 维向量(a 12， a22，a n2)T，(a 13，a 23，a n3)T， (a1n，a 2n，a nn)T 仍线性无关，即是 A*x=0 的基础解系，对(A *)*x=0，同上知 r(A*)=1，已知当 n3 时，r(A*)*)=0，那么任意 n 个线性无关的向量都可构成基础解系例如，取e1=(1，0，0) T，e 2=(0，1，0) T，e n=(0，0，1) T，得通解k1e1+k2e2+knen如 n=2，对于 A=A那么(A *)*x=0 的通解是 k (注：AA *=0，A 11=a220，r(A)=1)【知识模块】 线性方程组8 【正确

16、答案】 一 2【试题解析】 因为 1， 2 是方程组两个不同的解，故方程组有无穷多解因此秩r(A)=r 3，对增广矩阵作初等行变换有易见仅当 a=2 时，r(A)=r =23故知 a=2【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 ( ，0，0，0) T+k(0，2，3，4) T【试题解析】 由于秩 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系由 4 一 r(A)=1 个向量所构成 又因为( 1+2+23)一(3 1+2)=2(3 一 1)=(0，一 4，一 6，一 8)T 是Ax=0 的解，即其基础解系可以是(0，2，3，4) T由 A(1+2+23)=A1+A2+2A3=4b，知 (1+

17、2+23)是方程组 Ax=b 的一个解那么根据方程组解的结构知其通解是( ，0，0，0) T+k(0，2，3，4) T【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 A 是 34 矩阵，r(A)3 ，由于 A 中第 2，3 两行不成比例，故 r(A)2，又因 1=1 一 2=(一 10，6，一 11，11) T， 2=2 一 3=(8，4，一 11，一 11)T 是 Ax=0 的两个线性无关的解，于是 4 一 r(A)2，因此 r(A)=2，所以 1+k11+k22是通解【试题解析】 求 Ax=b 的通解关键是求 Ax=0 的基础解系， 1 一 2

18、， 2 一 3 都是Ax=0 的解，现在就要判断秩 r(A)，以确定基础解系中解向量的个数【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由 nr(A)=42=2，基础解系由 2 个向量组成，每个解中有 2 个自由变量令x2=1， x4=0，解得 x3=0，x 1=2；令 x2=0，x 4=2，解得 x3=15， x 1=22于是得到1=(2，1，0，0) T， 2=(一 22，0，15，2) T，通解是 k11+k22【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 对增广矩阵高斯消元化为阶梯形由 r(A)=r(A)=3，方程组有解，nr(A)=1 有 1 个自由变

19、量先求相应齐次线性方程组的基础解系，令 x3=2，解出 x4=0，x 2=1，x 1=1，所以齐次方程组通解是k(1， 1，2，0) T再求非齐次线性方程组的特解，令 x3=0，解出 x4=，0， 所以，方程组的通解是：+k(一 1，一 1，2，0) T【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 () 对增广矩阵(A 1)作初等行变换，有得 Ax=0 的基础解系(1，一 1，2) T 和 Ax=1 的特解(0，0，1) T故 2=(0，0，1) T+k(1，一 1，2) T 或2=(k，一 k，2k+1) T，其中 k 为任意常数因为 A2= ，对增广矩阵(A2 1)作初等行变换，有 得A2x

20、=0 的基础解系(一 1，1，0) T，(0，0，1) T又 A2x=1 有特解( ，0，0) T，故其中 t1，t 2为任意常数() 因为所以 1， 2， 3 必线性无关【试题解析】 其实求 2 和 3 就是分别求方程组 Ax=1 与方程组 A2x=1 的通解【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 线性方程组 Ax=b 有无穷多解 r(A)=r n对增广矩阵作初等行变换，有当 a=3时，r(A)=r =23，此时 于是方程组的通解为：(3，一 1，0) T+k(一 7，3，1) T【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形，即讨论：() 当 a=1，b3

21、6 时，r(A)=3，r =4 方程组无解；()当 a1，a6 时，r(a)=r =4，方程组有唯一解，由下往上依次可解出()当a=1，b=36 时，r(A)=r =3，方程组有无穷多解，此时方程组化为令 x4=0，有 x3=0， x 2= 12， x 1=6，即特解是 =(6，一12，0，0) T令 x4=1，解齐次方程组有 x3=0，x 2=5，x 1=2，即 =(一2，5，0，1) T 是基础解系所以通解为 +k=(6，一 12，0，0) T+k(一 2，5，0，1)T () 当 a=6 时，r(A)=r =3，方程组有无穷多解，此时方程组化为令 x3=0，有特解 =令 x3=1，有齐次

22、方程组基础解系=(一 2，1，1，0) T所以通解是 +k= (b36)T+k(2，1，1，0) T【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 () 因为线性方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，所以 r(A)=r n由 知=1 或 =一 1当 =1 时，必有 r(A)=1，r =2此时线性方程组无解而当 =一 1 时， 若 a=一 2，则 r(A)= =2，方程组 Ax=b 有无穷多解故 A=1，a= 2()当 =1，a= 2 时，所以方程组 Ax=b 的通解为 +k(1，0，1) T，其中 K 是任意常数【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换，把第 1 行的一

23、1 倍分别加至第 2 行到第 n 行，有()如果a=b，方程组的同解方程组是 x1+x2+xn=0由于 n 一 r(A)=n 一 1，取自由变量为 x2，x 3，x n，得到基础解系为： 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一1，0，1，0) T， n1 =(一 1，0,0，1) T方程组通解是：k11+k22+kn1 n1 ，其中 k1，k 2，k n1 为任意常数()如果 ab，对系数矩阵作初等行变换，有若a(1 一 n)b，则秩 r(A)=n，此时齐次方程组只有零解若 a=(1 一 n)b，则秩 r(A)=n一 1取 x1 为自由变量，则基础解系为 a=(1，1，1) T，于是方程组

24、的通解是：k，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 把方程组()与() 联立，得方程组()则方程组()的解就是方程组()与()的公共解对方程组()的增广矩阵作初等行变换，有则方程组()有解 (a一 1)(a 一 2)=0当 a=1 时， ，此时方程组()的通解为 k(一1，0，1) T(k 为任意常数)，即为方程组()与() 的公共解当 a=2 时，此时方程组()有唯一解(0，1，一 1)T，这亦是方程组()与()的唯一公共解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1)对方程组() 的系数矩阵作初等行变换，有由于，nr(A)=42=2，基础解系由 2 个线性无关

25、的解向量所构成，取 x3，x 4 为自由变量，得 1=(5，一 3，1，0) T， 2=(一 3，2，0，1) T 是方程组()的基础解系(2)设 是方程组()与()的非零公共解，则 =k11+k22=l11+l22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为 0 的常数。由k11+k22l 11l 22=0，得齐次方程组( ) 对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有如果 a一 1，则() ，那么方程组()只有零解，即 k1=k2=l1=l2=0于是=0不合题意当 a=1 时，方程组()同解变形为 ，解出k1=l1+4l2，k 2=l1+7l2于是 =(l1+4l2)1+(l1+7l2)

26、2=l11+l22所以 a=一 1 时，方程组()与() 有非零公共解，且公共解是 l1(2，一 1，1，1) T+l2(一 1，2，4，7) T【试题解析】 要求 n 元线性方程组的基础解系必须知道该线性方程组系数矩阵的秩 r 为多少，才能确定基础解系中所含线性无关的解的个数 n 一 r任意选取 nr 个线性无关的解便是基础解系，因此，首先应求出或判定出方程组()的系数矩阵的秩【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 设齐次线性方程组()与() 的公共解是 ，则=c11+c22=d11+d22，从而 c11+c22d 11d 22=0解齐次线性方程组()(1， 2， 1， 2)x=0，由得

27、()的通解为t(1，1，一 1，1) T，即 c1=c2=t，d 1=t，d 2=t从而方程组()和()有非零公共解t(1+2)=t(一 1，1，1，1) T【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 因为方程组()中“ 方程个数未知数个数” ，所以方程组() 必有非零解因此方程组() 必有非零解从而() 的系数行列式必为 0，即有对方程组() 的系数矩阵作初等行变换，有可求出方程组()的通解是 k(一 1，一1，1) T由于 (一 1，一 1，1) T 是方程组()的解，故有当 b=1，C=2 时，方程组()为 其通解是 k(一 1，一 1，1) T，所以方程组()与同解当b=0，c=1 时

28、，方程组()为 由于秩 r()=1 ，而 r()=2，所以方程组()与() 不同解故 b=0，C=1 应舍去从而当 a=2，b=1，c：2 时方程组()与()同解【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 如果 是()的解，那么 A=0，而 ATA=AT0=0，可见 是()的解如果 =(a1，a 2，a n)T 是()的解，即 ATATA=0， (A)T(A)=0不妨设 A=(b1，b 2，b m)T，则(A) T(A)= =0从而b1=b2=bm=0，即 A=0，所以()的解必是() 的解因此，()与()是同解方程组【试题解析】 所谓方程组同解即()的解全是()的解，()的解也全是( )的解

29、，显然本题的难点是如何证()的解必是() 的解【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 因为 A1x=0 的解全是 A2x=0 的解，所以 A1x=0 与 同解那么 nr(A1)=n 一 r 所以 A2 的行向量可以由 A1 的行向量线性表出因为 A1x=b1 的解全是 A2x=b2 的解，所以 A1x=b1 与 同解如果 A1=b1，A 1=0，则因 A1x=b1 的解全是 A2x=b2 的解，那么 和 + 都是A2x=b2 的解，而有 A2=b2 及 A2(+)=b2，从而 A2=0说明此时 A1x=0 的解全是A2x=0 的解，那么 r(A1， b1)=r(A1)=r 所以(A 2，b

30、 2)的行向量组可以由(A 2，b 2)的行向量组线性表出【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 由 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，知 nr(A)=2，即 r(A)=2对于齐次方程组 x=0，有 得基础解系(一 2，一3，1，0) T，(一 3，一 5，0，1) T所以 为所求【试题解析】 由 A(1， 2)=0 有( 1， 2)TAT=0，可见 x=0 的解就是 AT 的列向量(即 A 的行向量) 【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由 A(1+2)=A1+A2=0+0=0 知， 1+2 是齐次方程组 Ax=0 的解类似可知 2+3， 3+1 也是 Ax=0 的解若 k1(

31、1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0，即(k 1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0，因为 1， 2， 3 是基础解系，它们是线性无关的，故 由于此方程组系数行列式 D= =20，故必有k1=k2=k3=0，所以 1+2， 2+3， 3+1 线性无关根据题设， Ax=0 的基础解系含有 3 个线性无关的向量，所以 1+2， 2+3， 3+1 是方程组 Ax=0 的基础解系【试题解析】 按基础解系的定义，要证三个方面： 1+2， 2+3， 3+1 是解； 它们线性无关； 向量个数等于 n 一 r(A)【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 因为 A 是(n 一 1)n

32、矩阵，若 Mj 不全为 0，即 A 中有 n1 阶子式非零，故 r(A)=n 一 1那么齐次方程组 Ax=0 的基础解系由 nr(A)=1 个非零向量所构成 按第一行展开，有 Di=ai1M1 一 ai2M2+ain(一 1)1+nMn又因 Di 中第一行与第 i+1 行相同，知Di=0因而 ai1M1 一 ai2M2+ain(一 1)n1 Mn=0即(M 1，一 M2，(一 1)n1 Mn)T 满足第 i 个方程(i=1，2，n 一 1)，从而它是 Ax=0 的非零解，也就是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 因为 A 的行向量是 Cx=0 的解，即 CAT=0，那么 C(BA)T=CATBT=0BT=0 可见 BA 的行向量是方程组 Cx=0 的解 由于 A 的行向量是基础解系，所以 A 的行向量线性无关，于是 m=r(A)=n 一 r(C) 又因 B 是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=nr(C)，所以 BA 的行向量线性无关，其向量个数正好是 nr(C)，从而是方程组 Cx=0 的基础解系【知识模块】 线性方程组