[考研类试卷]考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编6及答案与解析.doc

1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设有直线 则 L1与 L2 的夹角为2 设有直线 L： 及平面 ：4x-2y+z-2=0，则直线 L（A）平行于 （B）在 上（C）垂直于 （D）与 斜交3 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在4 二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处两个偏导数 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)存在是 f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必

2、要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件5 已知 为某函数的全微分，则 a 等于（A）一 1（B） 0（C） 1（D）2 6 二元函数 在点(0，0)处（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在 7 设函数 f(x， y)在点(0， 0)附近有定义，且 fx(0，0)=3，f y(0，0)=1，则（A） （B）曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0) 的法向量为 3，1，1（C）曲线 在点(0，0，f(0，0) 的切向量为1 ，0，3（D）曲线 在点(0，0，f(0，0) 的切向量为3，0，1

3、 8 考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x ，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在 若用“PQ” 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（A）（B） （C） （D）9 已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 ，则（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点 （B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点 二、填空题

4、10 与两直线 及 都平行，且过原点的平面方程为_11 过点 M(1，2，一 1)且与直线 垂直的平面方程是_12 已知两条直线的方程是 则过 L1 且平行于 L2 的平面方程是_13 设(ab)c=2 ，则(a+b)(b+c)(c+a)=_14 设一平面经过原点及(6，一 3，2)，且与平面 4xy+2z=8 垂直，则此平面方程为_15 点(2 ，1，0) 到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d=_16 已知曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则点 P的坐标是_17 由方程 所确定的函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的全

5、微分 dz=_18 由曲线 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧的单位法向量为_19 曲面 zex+2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 _20 设 ，则 在点 处的值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知 A 点和 B 点的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)线段 AB 绕 Z 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S，求由 S 及两平面 z=0，z=1 所围成立体的体积22 求直线 L： 在平面 ：xy+2z-1=0 上的投影直线 l0 的方程，并求 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程22 椭球面 S1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面

6、S2 是由过点(4，0)且与椭圆 相切的直线绕 x 轴旋转而成23 求 S1 及 S2 的方程；24 求 S1 与 S2 之间的立体体积25 设 f 和 g 为连续可微函数，u=f(x，xy)，v=g(x+xy)，求26 设 ，其中 f 和 g 具有二阶连续导数，求27 设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求28 设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求29 设 n 是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u=在点 P 处沿方向 n 的方向导数30 函数

7、 u=ln(x2+y2+z2)在点 M(1，2，一 2)处的梯度 =_31 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求32 设 u=f(x， y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 0，求33 函数 在点 A(1，0，1)处沿点 A 指向点 B(3，一 2，2)方向的方向导数为_34 设变换 可把方程 简化为 ，求常数 a35 设直线 l： 在平面 上，而平面 与曲面 z=x2+y2 相切于点(1，一 2，5)，求 a，b 之值36 设 具有二阶连续导数，则 =_37 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z

8、=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 38 曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2) 处的法线方程为_39 设 ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求40 设函数 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且 f(1，1)=1， ，(x)=f(x ，f(x，x)求 40 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为D=(x，y) x 2+y2 一 xy75)，小山的高度函数为 h(x，y)=75 一 x2 一 y2+xy41 设 M(x0，y 0)为区域 D 上

9、的一个点，问 h(x，y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 g(x0，y 0)，试写出 g(x0，y 0)的表达式42 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D 的边界曲线 x2+y2 一 xy=75 上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置43 曲面 z=x2+y2 与平面 2x+4yz=0 平行的切平面方程是_考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L1 的方向向

10、量 S 1=1，一 2，1)，直线 L2 的方向向量从而直线 L1 和 L2 的夹角 的余弦为因此【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于交成直线 L 的两平面的法向量与 的法向量均垂直，即1，3，24，一 2，12，一 1，一 104，一 2，1故 的法向量与 L 的方向向量平行，因此直线 L 垂直于 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 的切线向量为 =1，一 2t，3t 2) 而平面x+2y+z=4 的法线向量为 n=1，2，1 由题设知 n，则 n=1-4t+3t2=0 此方程只有两个实根，所以所求切线只有两

11、条【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”，所以应选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 由于 Pdx+Qdy 为某个函数的全微分，则 即(a-2)x 一 ay=一 2y， (a 一 2)x=(a-2)y 仅当 a=2 时，上式恒成立【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 令 y=kx，则 当 k 不同时， 便不同，故极限 不存在，因而 f(x，y)在(0 ，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得 f y(0，0)=0

12、由此可见，在点(0 ，0) 处 f(x，y)的偏导数存在【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 的参数方程为 则该曲线在(0，0， f(0，0) 的切向量为 1，0，f x(0，0)=1 ，0，3【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x，y) 在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微的充分条件，而 f(x，y)在点(x 0，y 0)可微是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续的充分条件，故应选(A) 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x，y)在点(0 ，0)的连续性及

13、 知 f(0 ，0)=0且 则 f(x，y)一 xy+(x2+y2)2+a(x2+y2)2 令y=x，得 f(x，x)=x 2+4x4+4ax4=x2+o(x2)令 y=一 x，得 f(x，一 x)=一 x2+4x4+4ax4=一x2+o(x2)从而 f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又 f(0，0)=0，由极值定义可知 f(x，y)在(0，0)点没有极值，故应选 (A)【知识模块】 高等数学二、填空题10 【正确答案】 x-y+z=0【试题解析】 所求平面法向量可取为 由题可知所求平面过原点，则所求平面方程为 一 1*(x0)+1*(y0)一 1*(z0)=0 即 xy+z=0

14、【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 x 一 3y 一 z+4=0【试题解析】 直线 的方向向量为一 1，3，1该向量是所求平面的一个法向量，所求平面过点 M(1，2，一 1)，则所求平面为 一(x 一 1)+3(y 一 2)+(z+1)=0 即 x 一 3yz+4=0【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 x 一 3y+z+2=0【试题解析】 平面过直线 L1，则过 L1 上的点(1，2，3)；平面的法向量 n 既垂直于 L1，又垂直于 L2，则可取 则所求平面为 (x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 即 x 一 3y+z+2=0【知识模块】 高等数学13 【正确答案

15、】 4【试题解析】 (a+b)(b+c)*(c+a)=(a+b)b*(c+a)+(a+b)c*a=(ab)*c+(bc)*a=(ab)*c+(ab)*c=4【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 2x+2y 一 3z=0【试题解析】 设 M(x，y ，z) 是所求平面上任一点，则向量 x，y，z ，6，一3，2)以及向量4 ，一 1，2) 共面，故 即 2x+2y 一 3z=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 由点到平面距离公式知【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (1，1，2)【试题解析】 设 P 点的坐标为(x 0，y 0，z 0)，则曲面在 P 点的法向量为

16、 n=一 2x0，一 2y0，一 1又因为切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则 从而可得 x0=1，y 0=1代入曲面方程解得 z0=2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导法求出【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 旋转面方程为 3(x2+z2)+2y2=12 令 F(x，y，z)=3(x 2+z2)+2y2 一 12=0则 F x=6x，F y=4y，F z=6z 从而所得旋转面在点 处向外侧的法向量为【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 2x+y 一 4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=zez+2xy 一 3 则 F x

17、=2y，F z=1 一 ez，F y=2x 曲面zez+2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=4 ，2，0 故所求切平面方程为 4(x 一1)+2(y 一 2)=0 即 2x+y 一 4=0【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 过 A(1，0，0)和 B(0，1，1)的直线方程为在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点 Q(0，0，z)，与 AB 交于点 M(1 一 z，z ，z)，故截面圆半径 从而截面面积 S(z)=(1 2z+2

18、z2)旋转体的体积【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 点(1，0，1)在 l 上，所以该点也在平面 1 上，于是 1 的方程可设为 1：A(x-1)+B(y-0)+C(z 一 1)=01 的法向量应与 l 的方向向量垂直又应与平面 的法向量垂直，故有 A+B-C=0；A-B+2C=0 由此解得 A：B：C=一 1：3：2，于是 1 的方程为 x-3y-2z+1=0 (*)从而 l0 的方程为设 l0 绕 y 轴旋转一周所成的曲面为 S，点 P(xp，y p，z p)S，对于固定的 yp=y去掉下角 P，即得 S 的方程为 4x 2 一17y2+4z2+2y-1=0【知识模块】 高等数学【

19、知识模块】 高等数学23 【正确答案】 椭球面 S1 的方程为 设切点为(x 0，y 0)，则在(x 0，y 0)处的切线方程为 将 x=4，y=0 代入切线方程得x0=1，从而 所以切线方程为 ，从而圆锥面 S2的方程为 ，即(x-4) 2 一 4y2 一 4z2=0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 S 1 与 S2 之间的体积等于一个底面半径为 、高为 3 的锥体体积与部分椭球体体积 V 之差，其中 故所求体积为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 根据复合函数求导公式有【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由复合函数求导公式得【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知

20、识模块】 高等数学28 【正确答案】 由复合函数求导法则得【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处指向外侧的法向量为n=4i+6j+2k 单位化后得【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 令 exsiny=u，x 2+y2=v，则【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 将上述结果代入原方程并整理得 由题设知 6+a 一a2=0， 10+5a0 解得 a=3【知识模块】 高等数学35

21、 【正确答案】 曲面 z=x2+y2 在点(1，一 2，5)处的法向量为 n=2，一 4，一 1于是切平面方程为 2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0 2x-4yz 一 5=0 由得 y=一 xb z=x 一 3+a(一 x 一 b)代入(*)式得 2x+4x+4b 一x+3+ax+ab 一 50 因而有 5+a=0， 4b+ab 一 2=0 由此解得 a=一 5b=一 2【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 yf“(xy)+(x+y)+y“(x+y)【试题解析】 由复合函数求导法知【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 等式 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0

22、两端对 x 求导得【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+2y2+3z2 一 21 则 Fx(1，一 2，2)=1，F y(1，一2，2)=一 4，F z(1，一 2，2)=6 故所求法线方程为【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 (1)=f(1 ，f(1，1)=f(1，1)=1【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学41 【正确答案】 由梯度的几何意义知，h(x，y)在点 M(x0，y 0)处沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以【知识模块】 高等数学42 【正确答案】 令

23、f(x，y)=g 2(x，y)=5x 2+5y2 一 8xy 由题意，只需求 f(x，y)在约束条件 75 一 x2-y2+xy=0 下的最大值点令 L(x ，y，)=5x 2+5y2 一 8xy+(75 一 x2一 y2+xy)则 式与式相加可得 (x+y)(2 一 )=0 从而得 y=一 x 或 =2 若 =2，则由式得 y=x，再由式得若 y=一 x，则由 式得 x=5，y=5于是得到四个可能的极值点 由于 f(M1)=f(M2)=450， f(M3)=f(M4)=150 故 M 1(5，一 5)或 M2(一 5，5)可作为攀登的起点【知识模块】 高等数学43 【正确答案】 2x+4yz=5【试题解析】 曲面 z=x2+y2 在点(x 0，y 0，z 0)处切平面的法向量为 n 1=2x0，2y 0，一1而平面 2x+4y 一 z=0 的法向量为 n2=2，4，一 1由题设知 n1n2，则从而有 x 0=1，y 0=2，代入 z=x2+y2 得 z0=5， n 1=2，4，一 1则所求切平面方程为 2(x 一 1)+4(y 一 2)一(z 5)=0 即 2x+4yz=5【知识模块】 高等数学