[考研类试卷]考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编8及答案与解析.doc

1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 是 xOy 平面上以(1，1)，(一 1，1) 和(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，D 1是 D 在第一象限的部分，则 等于2 设 S：x 2+y2+z2=a2 (z0)，S 1 为 S 在第一卦限中的部分，则有3 设 f(x)为连续函数， ，则 F(2)等于（A）2f(2)（B） f(2)（C）一 f(2)（D）0二、填空题4 积分 的值等于_5 设数量场 ，则 div(gradu)=_6 设区域 D 为 x2+y2R2，则 =_7 设 l 是椭圆 ，其周长记

2、为 a，则 =_8 设 =_.9 交换二次积分的积分次序： =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求曲面积分 其中 S 是球面 x2+y2+z2=4 外侧在 z0 的部分11 质点 P 沿着以 AB 为直径的圆周，从点 A(1，2) 运动到点 B(3，4) 的过程中受变力 F 作用(见图 27)，F 的大小等于点 P 到原点 O 之间的距离，其方向垂直于线段 Op 且与 y 轴正向的夹角小于 ，求变力 F 对质点 p 所作的功12 求 ，其中 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=4 所围成的立体13 在过点 O(0，0) 和 A(，0)的曲线族 y=asin

3、x(a 0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分 L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小14 计算曲面积分 其中为上半球面 的上侧15 在变力 F=yzi+xzj+xyk 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1 上第一卦限点 M(， ，)，问当 ， 取何值时，力 F 所作的功W 最大?并求出 W 的最大值16 计算 ，其中是由曲面所围立体表面的外侧17 计算曲面积分 ，其中 S 是由曲面 x2+y2=R2 及两平面 z=R，z=一 R(R0)所围成立体表面的外侧18 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，并设 ，求19 计算曲面积分 ，其中为锥面 在柱体 x2+y2

4、2x 内的部分20 设函数 Q(x，y) 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 L2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有求 Q(x，y)21 计算曲面积分 ，其中 S 为有向曲面 z=x2+y2 (0z1)，其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角22 计算 ，其中 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z=8 所围成的区域23 计算曲线积分 ，其中 c 是曲线，从 z 轴正向往 z 轴负向看 c 的方向是顺时针方向24 确定常数 ，使在右半平面 x0 上的向量 A(x， y)=2xy(x4+y2)ix2(x4+y2)j 为某二元函数 u(x，y) 的梯度

5、，求 u(x，y) 25 计算 ，其中为下半球面 的上侧，a 为大于零的常数26 求 I=L(exsiny-b(x+y)dx+(excosy-ax)dy，其中 a，b 为正的常数，L 为从点A(2a，0)沿曲线 到点 O(0，0)的弧27 设 S 为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z) S， 为 S 在点 P 处的切平面，(x，y，z)为点 O(0，0，0)到平面 的距离，求28 计算曲线积分 ，其中 L 是以点(1，0)为中心、R 为半径的圆周(R1) 取逆时针方向29 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比(比例常数

6、 k0)，求球体的重心位置30 设有一高度为 h(t)(t 为时间) 的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 z=h(t)一(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 09)，问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少小时?31 计算 ，其中 L 是平面 x+y+z=2与柱面x+y=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向32 计算二重积分 ，其中 D=(z，y)0x1，0y132 设函数 f(x)在(一，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0) 内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b) ，终点为(c，d)记.33 证明曲线积分 I 与路径 L

7、 无关；34 当 ab=cd 时，求 I 的值35 已知平面区域 D=(x，y) 0x，0y，L 为 D 的正向边界试证：(1)(2)35 设函数 f(x)连续且恒大于零，其中 (t)=(x， y，z) x 2+y2+z2t2，D(t)=(x ，y)x 2+y2t2，36 讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性37 证明当 t0 时，F(t)38 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线积分 Lxdy 一 2ydx 的值为_39 计算曲面积分 其中是曲面 z=1 一 x2一 y2(z0)的上侧40 设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则 =_4

8、1 设 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数计算二重积分41 设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数42 证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有；43 求函数 (y)的表达式考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 如图 28，OAB 所围区域记为 D2，OBC 所围区域记为 D3由于 xy 关于 x 是奇函数，积分域 D2 关于 y 轴对称，则【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【

9、试题解析】 由于(C) 选项中等式左端积分的被积函数 z 既是 x 的偶函数，也是 y的偶函数，而积分域 S 既关于 yOz 平面对称，又关于 xOz 平面对称，则，又在 S1 上， x 和 z 具有轮换对称性，则 ，故应选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分次序得【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 交换累次积分次序得【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 利用极坐标进行计算【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 12a【试题解析】 椭圆 l 的方程可改写为 3

10、x 2+4y2=12 将上式代入积分得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 先画积分域草图(见图 29)，由此可知【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 补 xOy 面上的平面 S1： ，其法线方向与 z 轴负向相同，S 与 S1 围成的区域记为 则【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 利用柱坐标变换 x=rcos，y=rsin，z=z，dv=rdrddz，则【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 I(a)=一 4+4a2

11、=0，得 a=1(a=一 1 舍去)；又 I“(1)=80，则 I(a)在 a=1 处取极小值，且a=1 是 I(a)在 (0，+)内的唯一极值点，故 a=1 时 I(a)取最小值，则所求曲线为y=sinx(0x)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 记 1 为平面 的下侧， 为 1 和所围成的区域，则由高斯公式可知【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由原点到 M 点的直线方程为【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由高斯公式得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 设 S1，S 2，S 3 依次为 S 的上、下底和圆柱面部分，则【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 交换积

12、分次序可得【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 利用柱坐标进行计算【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 P(x，y)=2xy(x 4+y2)， Q=一 x2(x4+y2) 4x(x4+y2)(+1)0 从而可知 =一 1 在 x0 处取点(1，0) ，则【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 采用补面法，根据前面分析不能直接补 z=0由于下半球面上的点(x，y，z) 应满足 x2+y2+z2=a2，则【知识模块】 高等

13、数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 设(X，Y，Z)为 上任一点，则 的方程为【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 取球心为原点，球面与 x 轴正向的交点为 P0，则 P0 坐标为(R，0，0) 记所考虑球体为 ，则球面方程为 x2+y2+z2=R2【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 设 V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则令 h(t)=0，得 t=100(小时)因此高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100小时【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 记 S 为平面 x+y+z=2 上 L 所围成部

14、分的上侧，D 为 S 在 xOy 坐标面上的投影，由斯托克斯公式得【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 令 D1=(x，y)0x1，0yx， D 2=(x，y)0x1，xy1，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 因为 在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I 与路径无关【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 由于 I 与路径无关，故可取积分路径 L 为由点(a ，b)到点(c，b)再到(c ，d)的折线段，所以【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学37 【正确答

15、案】 【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 【试题解析】 圆周 x2+y2=2 的参数方程为 ，则【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 取 1 为 xOy 平面上被圆 x2+y2=1 所围部分的下侧，记 为由 与1 围成的空间闭区域，则因此 I=2 一 3=一 【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 【试题解析】 由高斯公式得【知识模块】 高等数学41 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学42 【正确答案】 如图，设 C 是半平面 x0 内的任一分段光滑简单闭曲线，在 C上任意取定两点 M，N，作围绕原点的闭曲线 ，同时得到另一围绕原点的闭曲线 根据题设可知 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得【知识模块】 高等数学43 【正确答案】 【知识模块】 高等数学