[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷132及答案与解析.doc

1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 132 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=f(x)是微分方程 y一 2y+4y=一 esinx 的一个解，若 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数f(x)在点 x0( )（A）取得极大值（B）某邻域内单调增加（C）取得极小值（D）某邻域内单调减少2 已知曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则点 P的坐标是( ) （A）(1 ，一 1，2)（B） (一 1，1，2)（C） (1，1，2)（D）(一 1，一 1，2)3 下列选项正确的是( ) 4 微分方程

2、 y一 y=ex+1 的一个特解应具有形式( ) （A）ae x+b（B） aex+bx（C） axex+b（D）axe x+bx二、填空题5 11(1+x2009)(exex )dx=_6 过点 P(1，2，一 1)且与直线 垂直的平面 的方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 讨论函数 f(x)= 在(一，+)上的有界性8 求极限 (用定积分求极限)9 设 f(x)在 x=0 处连续，且 求 f(0)10 设 f(x)在( 一，+)上有定义，且 f(0)=1，又 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，求 f(x)11 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可

3、导，且 f(0)=f(1)一 1， 试证：对任何满足 0k1 的常数 k，存在点 (0，1)，使得 f()=一 k12 设不恒为常数的函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(c)=f(b)其中 c 为(a，b)内的一点，试证：存在点 (a，b)，使得 f()0，为常数)，证明：27 一条鲨鱼在发现血腥味时，总是向着血腥味最浓的方向追寻在海面上进行试验表明：如果把坐标原点取在血源处，在海面上建立直角坐标系，那么点(x，y)处血液的浓度 c(每百万份水中所含血的份数 )可以近似地表示为 求鲨鱼从点(x 0，y 0)出发向血液前进的路线28 求级数 的收敛域29 试

4、将 f(x)=x2，x 一 ， 展开为以 为周期的傅里叶级数，并由此求数项级数的“和数” 30 设 f(x)，g(x) 满足 f(x)=g(x)， g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2求积分值考研数学一（高等数学）模拟试卷 132 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题设可知 f(x0)一 2f(x0)+4f(x0)= 又 f(x0)=0，所以，f(x)在x0 处取得极大值，故选 A当函数 f(x)二阶可导时，驻点 x0 是否是极值点可用f(x0)的符号判定：若 f(x0)0，则 x0 为极小值

5、点；若 f(x0)0 为极大值点 这称为极值的第二充分条件，它可以表示为极限形式： 若 x0 为 f(x)的驻点，则当 A0 时，f(x 0)为极小值；当 A0)为极大值2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查曲面的切平面的求法以及两个平面平行的充要条件设切点是 P0(x0， y0，z 0)，则切平面的法向量是， n=2x0，2y 0，1，它与平面 2x+2y+z一 1=0 的法向量平行，故有 由此可得：x 0=1，y 0=1，z 0=4 一 x02一 y02=2，故选 C3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 所以存在 N1，当 nN时，0 从而由正项级数的比较判别法知道收敛故选 D4 【

6、正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程 y一 y=0 的两个特征根分别为 1，一 1，所以 y一 y=1 的一个特解形式为 b，而 y一 y=e 的一个特解形式为 axex根据叠加原理，方程的一个特解形式为 b+axex故选 C二、填空题5 【正确答案】 应填【试题解析】 原式= 1 1x(exex )dx+1 1x2010(exex )dxexex 为奇函数，x(e xex )为偶函数，x 2010(exex )为奇函数所以 1 1x2010(ex+ex )dx=0 1 1x(exex )dx=201xd(ex+ex )=2x(ex+ex ) 01 01(ex+ex )dx6 【正

7、确答案】 应填 x 一 3yz+4=0【试题解析】 本题主要考查直线的参数方程及平面的点法式方程由于所求平面丌与直线 L 垂直，且直线 L 的方向向量为 s=一 1，3，1)，故所求平面 的法向量为，n= 一 1，3，1 又因为平面 过点 P(1， 2，一 1)，所以平面 的点法式方程为(一 1)(x 一 1)+3(y 一 2)+1(z+1)=0，即 x 一 3yz+4=0(1)若空间直线方程的参数方程为 x=x 0+mt，y=y 0+nt，z=z 0+pt， 则该直线的方向向量为s=m， n，p)(2) 空间直线与平面互相垂直的充分必要条件是 其中平面 的法向量为 n=A， B，C三、解答题

8、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 由 f(一 x)=可知：f(x)=f(x) 所以，f(x)是偶函数只需证明 f(x)在0，+) 上有界又于是，对于 存在A0，当 xA 时，有 即当 xA 时，有 0 x0，A，有 0f(x)M1取 M=max1，M 1，则对 x0，+)，有 0f(x)M 从而可知，对 x(一，+) ，有 0f(x)M【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以只需证明 f(x)在0 ，+)上有界要证 f(x)在0，+) 上有界，只要证明 存在(1)要判断函数 f(x)在(一，+)上的有界性，需考察 f(x)在间断点 x0 及在无穷远点的极限若 存在，则

9、 f(x)在 x0附近有界，若 存在，则 f(x)在 x0 的左邻域内有界，若 存在，则f(x)在 x0 的右邻域内有界若 f(x)在(a，b)内连续，又 均存在，则 f(x)在(a，b)内有界在闭区间上连续函数一定有界，但在开区间上不连续的函数也可能有界例如： f(x)在 x=0 处不连续，但 f(x)在(一1，1)内有界(2)在本题的证明中取 (或取其他一个确定的正数)是非常必要的如果用 来证明 f(x)在A， +)上有界就是错误的，因为此时的“界”不确定 (3)用变量替换可证明 f(x)与其原函数 的奇偶性有着密切的联系：若 f(x)连续，则 1) 为奇(偶)函数 f(x)为偶( 奇)函

10、数 2) 为偶函数 f(x)为奇函数8 【正确答案】 因为【试题解析】 将 n 项的和转化为积分和，从而可以用定积分计算这种类型的极限利用定积分求 n 项和式的极限，关键在于找出定积分中的被积函数 f(x)和积分区间a，b的 n 等份之一当 n 项和不能直接视为某个定积分对应的积分和时，可通过放缩法将和式转化为某定积分对应的积分和，再利用夹逼定理求解9 【正确答案】 即 f(0)+2=1，得f(0)=一 1 又当 x0 时，lnf(x)+2=ln1+f(x)+1 f(x)+1，所以【试题解析】 这是抽象函数求导数值的问题，利用定义在计算极限时，经常要用到下面的结论： (1)若 limf(x)g

11、(x)=A，且 limg(x)=，则 limf(x)=0 (2) 若 limf(x)g(x)一 A0，且 limf(x)=0，则 limg(x)=0 (3)若 limf(x)g(x)=A，且 limg(x)=0，则 limf(x)=010 【正确答案】 令 z=y=0 得 f(0)=f(0)+f(0)，得 f(0)=0即 f(x)一 f(x)=ex，f(0)=0，这是一阶非齐次线性微分方程，通解为：f(x)=e dx(exedx+c )=cex+xex 由 f(0)=0，得 c=0，所以，f(x)=xex【试题解析】 由已知条件 f(x+y)一 f(x)=f(x)ey+f(y)ex 一 f(x

12、)，建立 f(x)应满足的微分方程，然后解方程求出 f(x)11 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=f(x)+kx，则 F(x)在0，1 上连续，在(0，1)内可导，且 F(x)=f(x)+k 由 f(0)=f(1)一 1，F(1)= 1+k，所以，F(0)F(1) 由介值定理，存在点 c 使得 F(c)=F(0)因此，F(x)在0， c上连续，在(0，c)内可导，且 F(0)=F(c)由洛尔定理，存在点 (0，c)(0， 1)，使得 F()=f()+k=0，即 f()=一 k【试题解析】 这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为导函数的存在性问题 f()= 一 kf()+k=0 f(x)+

13、kx x=0 F(x)= f(x)+kx 的导数在(0，1)内有零点于是，我们只要验证 F(x)在0 ，1上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件在本题的证明过程中综合运用了辅助函数法和辅助区间法，构造辅助函数的方法是：将待证的结论变形为 f()+k=0，即函数 F(x)=f(x)+kx 的导函数在(0，1)内存在零点的形式然后取该函数作为用洛尔定理证明本题的辅助函数由于 F(x)在区间0 ，1 的端点的值不相等，再由已知条件和介值定理构造使 F(x)在端点值相等的辅助区间0，c，c 然后应用洛尔定理得到要证明的结论12 【正确答案】 由题设知，f(x)在a ，c和c ，d上分别满足洛尔定理的全部

14、条件，由洛尔定理，存在点 a1(a，c)，b 1(c，b)，使得 f(a1)=f(b1)=0 又 f(x)在a 1，b 1上可导且不恒等于零，所以，必存在点 a2(a1，b 1)，使得 f(a2)0，或存在点a3(a1，b 1)，使得 f(a3)0 当存在 a2(a1，b 1)，使 f(a2)0 时，由拉格朗日中值定理，存在点 (a2，b 1)，使得 当存在a3(a1,b1)，使 f(a3)0 时，由拉格朗日中值定理，存在点 (a3，b 1)，使得综上可知，存在点 (a1，b 1) (a，b)，使得 f()【试题解析】 由题设知，可在a，c ，c，b上分别对 f(x)用洛尔定理，存在点a1(a

15、，c)，b 1(c，b) ，使得 f(a1)=f(b1)=0但 f(x)不恒等于常数，可知 f(x)0从而可知， f(x)在a 1，b 1上可导，不恒等于零，且 f(a1)=f(b1)=0然后可用拉格朗日中值定理证明存在点 (a1，b 1)，使得 f()(k)(x)在某点满足指定的要求，需要对 f(x)，f(x)，f (k1) (x)依次运用微分中值定理13 【正确答案】 原式【试题解析】 14 【正确答案】 01 f(x)dx=01 f(x)d(x1)=(x 1)f(x) 01 01 f (x)(x1)dx = 01 (x1)arcsin(x1) 2dx【试题解析】 若已知 f(a)=0 或

16、 f(b)=0 时，则在分部积分时可用下面的小技巧简化计算 若已知 f(a)=0，则 abf(x)dx=abf(x)d(x 一 b)=一 ab(x 一 b)f(x)dx 若已知f(b)=0，则 abf(x)dx=abf(x)d(x 一 a)=一 ab(x 一 a)f(x)dx15 【正确答案】 【试题解析】 对于广义积分 只有在已知收敛的前提下，才能考虑利用被积函数的奇、偶性简化计算16 【正确答案】 所以 x=一 1，x=0 是曲线的铅直渐近线【试题解析】 需注意的是：若曲线在一个方向上有水平渐近线，则在此方向上一定没有斜渐近线，同一条曲线最多有两条水平渐近线，但可能有多条铅直渐近线17 【

17、正确答案】 设 M(x0,y0)是曲线 上一点，则过点 M(x0,y0)的切线方程为它在 x 轴上的截距为 x= x 0于是，由切线、曲线和 x 轴所围成的平面图形的面积 S 为18 【正确答案】 设所求平面 的方程为 Ax+By+Cz+D=0，将点 P，Q，R 分别代入，得【试题解析】 本题主要考查空间平面的截距式方程空间平面方程的表达式主要有： (1)一般方程： Ax+By+Cz+D=0 (2)点法式方程：A(xx 0)+B(y 一 y0)+C(zz0)=0 (3)截距式方程：19 【正确答案】 由 x=0，y=0 ，得 z=0在方程两边同时对变量 z 求偏导数，得20 【正确答案】 作极

18、坐标变换，x=rcos，y=rsin，则令 t=r2，则 I=e 0et sintdt再令 0et sintdt=A，则 A= 0sint(et )= ( et sint 00 et costdt)= 0costd(et )=( e t cost 0+0 et sintdt)= e +1A 【试题解析】 因为被积函数 f(x，y)含有 x2+y2，且积分区域 D 为圆，应选用极坐标系计算二重积分21 【正确答案】 如图 186，由已知二重积分的第一部分 得积分区域 D1=(x，y) 0x1，0yx 2【试题解析】 交换二重积分的一般步骤为：(1)根据原有的二重积分的上、下限，画出相应的积分区域

19、的图形；(2)按着新的积分次序写出相应的二重积分根据原有的二重积分的上、下限，画出相应的积分区域的图形，是解答本类型题的关键所在22 【正确答案】 设球 B 的中心在点(0，0，R)处，球 B 被球 A 所割部分的方程为(1)所求曲面面积为 (2)本题的关键在于球 B 的中心位置的设定，亦即坐标系的选取【试题解析】 首先确定表面积的曲面方程，然后再利用表面积的面积公式，求出相应的表面积 S，其中曲面在坐标平面 xOy 上的投影区域为 D23 【正确答案】 将曲线弧长 L 所满足的方程转化为参数方程【试题解析】 因为曲线弧 L 是一个圆，故可用极坐标计算曲线积分24 【正确答案】 因为在平面上任

20、意一条分段光滑闭曲线 L 上，即积分 LPdx+Qdy 在平面上与路径无关也即对任意的(x,y) 也即 2x (y)+(y)= 2x(y)+2y2 一 2(y) 也即 x (y)+(y)= x(y)+y2 一 (y) 也即于是 (y)= (y) =cosy+2y25 【正确答案】 【试题解析】 主要考查曲线积分与路径无关的充分必要条件，二阶线性微分方程的特解以及相应的曲线积分上一题通过曲线积分与路径无关的条件，得到一个二阶线性微分方程，它是本题解题的关键所在下一题利用了全微分方程的解题方法26 【正确答案】 因为球面可改为(x 一 a)2+(y 一 a)2+(z 一 a)2=2a2，由轮换对称

21、性知： 又因为球面的球心的 z 的坐标为27 【正确答案】 设鲨鱼的前进路线为 L：y=f(x) 首先，建立 f(x)应满足的关系式 由于鲨鱼追踪最强的血腥味，所以它每一瞬间都将按血液浓度增加最快、即按 C 的梯度方向前进 又由于鲨鱼前进的方向即 L 的切线方向，而切线方向向量又可以表为 s=dx,dy，于是，s 的方向和梯度 gradC 的方向平行，即 从而 y=f(x)应满足条件为这是一个可分离变量得微分方程解此微分方程，得鲨鱼的前进路线为【试题解析】 本题主要考查梯度与方向导数之间的关系，并由此建立相应的微分方程梯度的方向就是函数在某点处的方向导数的最大的方向，即梯度的方向=方向导数的最

22、大方向28 【正确答案】 设 则原级数化为新级数所以新级数的收敛半径R=1当 u=一 1 时，新级数发散，根据比较判别法的极限形式知，新级数发散当 u=1 时，新级数单调有界，则新级数收敛于是，新级数的收敛域为(一 1,1，从而原级数的收敛域为 解此不等式，即得原级数的收敛域为【试题解析】 求幂级数的收敛域是基本题型，本题的关键是简化幂级数的一般项29 【正确答案】 在 x一 ，上，因为 f(x)=x2 为偶函数，故 bn=0(n=1，2，)，且 在端点x= 处，该傅里叶级数收敛于 因此又狄利克雷收敛定理，【试题解析】 因为 f(x)=x2 在 x一 ，为偶函数，故 bn=0(n=1，2，)因此，所展成的傅里叶级数为余弦级数30 【正确答案】 由条件 f(x)=g(x)，得 f(x)=g(x)=2ex 一 f(x)，即求解齐次微分方程：特征方程为 2+1=0，=n，通解为非齐次微分方程：因为 r=1 不是特征方程的解，故设特解f*(x)=Aex，则得 A=1于是，通解为 f(x)=c1cosx+c2sinx+ex 将条件 f(0)=0，g(0)=2代入到通解中，得特解 f(x)=sinx 一 cosx+ex，其中 c1=一 1，c 2=1从而