[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷146及答案与解析.doc

1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 146 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 zf(x，y)满足 2x，f(x1)0， sinx，求 f(x，y)2 设 ，求 3 设 uu(x ，y) 由方程 u(u) P(t)dt 确定，其中 可微，P 连续，且 (u)1，求 4 设函数 u(x，y) 有连续二阶偏导数，满足 ，又满足下列条件：u(x，2x)x， ux(x，2x)x 2(即 ux(x，y) y2x x 2)，求 uxx(x，2x)，u xy(x，2x)，uyy(x，2x)5 设 z f(xy)y(x y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 6 设 ，求 du

2、及 7 已知函数 f(x，y，z) x 3y2z 及方程 xyz3e 3e (xyz) ， (*)(I) 如果xx(y ，z) 是由方程(*)确定的隐函数满足 x(1，1)1，又 ufx(y，z)，y，z)，求() 如果 zz(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足 z(1，1)1，又wf(x，y， z(x，y)，求8 设 zf(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u55xy5u1确定求9 设 yf(x， t)，且方程 F(x，y，t)0 确定了函数 tt(x，y)，求 10 若可微函数 zf(x ，y)在极坐标系下只是 的函数，求证 (r0)11 作自变量与因变量

3、变换：uxy，vxy，w xyz ，变换方程为 w 关于 u，v 的偏导数满足的方程，其中 z 对 x，y 有连续的二阶偏导数12 设 uu(x ，y) ，vv(x ，y) 有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u ，v)0，其中F 有连续的偏导数且13 设 zf(x，y)，满足 ，又 ，由zf(x，y) 可解出 yy(z，x)求：(I) ；()y(z，x)14 设 f(x，y)2(y 一 x2)2 一 x7 一 y2，(I)求 f(x， y)的驻点； ()求 f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点15 求 z2x y 在区域 D： 1 上的最大值与最小值16 设函数 z (1e

4、y)cosx 一 yey，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点17 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数 g(y)连续可导，且 g(y)在 y1 处取得极值 g(1)2 求复合函数 zf(xg(y)，xy)的二阶混合偏导数 在点(1，1)处的值18 设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 fy(a，b)0，证明由方程f(x，y)0 在 xa 的某邻域所确定的隐函数 y(x)在 xa 处取得极值(a)的必要条件是：f(a，b)0， f x(a，b) 0，且当 r(a，b)0 时，b(a)是极大值；当r(a，b)19 建一容积为 V0 的无盖长方体水池，问

5、其长、宽、高为何值时有最小的表面积20 已知三角形的周长为 2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形21 证明条件极值点的必要条件(89)式，并说明(89)式的几何意义22 求函数 uxyyz zx 在 M0(2，l，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数23 求椭球面 S：x 2y 2 z2 一 yz 一 10 上具有下列性质的点(x，y，z) 的轨迹：过(x，y， z)的切平面与 Oxy 平面垂直24 过球面 x2y 2z 2169 上点 M(3，4，12)分别作垂直于 x 轴与 y 轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的

6、平面方程25 设 a，b， c0，在椭球面 的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小考研数学一（高等数学）模拟试卷 146 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 2xy(x)，(x)为 x 的任意函数 f(x，y)xy 2(x)y(x)，(x)也是 x 的任意函数由 sinx，得2xy(x) y0 sinx ，则 (x)sinx由 f(x，1)0，得xy 2(x)y(x) y1 xsinx(x) 0，则 (x)一 x 一 sinx因此，f(x，y)xy 2ysinx 一 x一 sinx【知识模块】 高等数学2 【正确答

7、案】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 将原方程对 x 求导 将原方程对 y 求导考由P(y) P(x)得由于 (u)1【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 将 u(x，2x)x 两边对 x 求导，由复合函数求导法及 ux(x，2x)x 2 得 ux(x， 2x)2u y(x，2x)1，u y(x，2x) (1 一 x2)现将 ux(x，2x)x 2，u y2 1(1 一 x2)分别对 x 求导得 uxx(x，2x)2u xy(x，2x)2x，u yx(x，2x)2u yy(x，2x)一 x式2 一式，利用条件 uxx(x，2x)一 uyy(x，2x)0 及 uxy(x，2x)u yx

8、(x，2x)得3u xy(x，2x)5x，u xy(x，2x)代入式得 uxx(x，2x)u yy(x，2x) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 uxy 的复合，u 是中间变量，(xy)是一元函数 (v)与二元函数 vxy 的复合，v 是中间变量由题设知 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 u 是 uf(s，t)与 复合而成的 x，y，z 的三元函数先求 du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得进一步由【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 (I)依题意， 为 fx(y，z)，y，z对 y 的偏

9、导数，故有因为题设方程 (*)确定 x 为 y，z 的隐函数，所以在(*)两边对 y 求导数时应将 z 看成常量，从而有由此可得 一1代入式，得 ()同(I)一样，求得 在题设方程(*)中将 x 看成常量，对 y求导，可得 一 1，故有【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 将方程 u55xy5u1 两端对 x 求导数，得 5u4ux一5y5u x0，解得 ，故 在上式对 x 求导数时，应注意其中的 f1， f3仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 由 yf(x，t)知 由 F(x，y，t) 0 知，将 dt 的表达式代入式并整理可

10、得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 由 zf(rcos，rsin)与 r 无关 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由于 z xyw，则【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 将方程 F(u，v)0 分别对 x，y 求偏导数，由复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解 ，其系数行列式必为零，即【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 (I)以 z，x 为自变量，y 为因变量 yy(z，x)，它满足zf(x，y(z，x) 将 z f(x，y)对 x 求偏导数，得 再对 x 求偏导数，得 将 代入上式，得 利用条件得()因 yy(z ，x)，yx(z)(z)【知识模块】 高等数

11、学14 【正确答案】 (I)解即驻点为(0，0)与(一 2， 8) 在(一2，8)处， ，AC 一 B20，A0 (2，8)为极小值点.在(0，0)处， AC 一 B20，该方法失效 但令 x0 f(0，y)y 2 这说明原点邻域中 y 轴上的函数值比原点函数值大，又令 yx 2，f(x，x 2)，这说明原点邻域中抛物线 yx 2 上的函数值比原点函数值小，所以(0，0) 不是极值点【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 F(x，y，)2xy(x 2 一 1)，解方程组由，得 y2x，代入得 相应地因为 z 在 D 存在最大、最小值 z 在D 的最大值为 ，最小值为 【知识模块】 高等数

12、学16 【正确答案】 (I)先计算(II)求出所有的驻点由 解得(x，y)(2n，0) 或 (x，y)(2n1)，一 2)， 其中 n0，1，2，()判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点在(2n，0)处，由于 (一 2)(一 1)一20， 一 20，则(2n，0)是极大值点在(2n1)，2)处，由于则(2n1)，一 2)不是极值点因此函数 z 有无穷多极大值点 (2n，0)(n0，1 ，2，) ，而无极小值点【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 计算可得将x1 与 y1 代入并利用 g(1)2，g(1)0 即得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 y(x)在 xa 处取得极

13、值的必要条件是 (a)0按隐函数求导法，(x)满足 fx(x，(x)f y(x，(x)(x)0 (*)因 b(a) ，则有 f(a，b)0，(a) 于是 fx(a，b)0将 (*)式两边对 x 求导得 fxx(x，(x)f xy(x，(x)(x) fy(x，(x)(x) f y(x，(x)(x)0，上式中令xa，(x)b，(a)0，得 因此当 时，(a)0，故 b(a)是极大值；当 时，(a)0，故 b(a)是极小值【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 化为无条件最值问题由条件解出 ，代入 S 表达式得Sxy xy 2V0 (x0，y0)解 得xy 因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高

14、分别为 时无盖长方体水池的表面积最小【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 设旋转边上的高为 z，分该边长为 x 与 y，见图 8.2，于是该三角形的周长为 lxy ，该旋转体的体积 V (xy)z 2问题化成求 V 在条件 l 一 2p0 下的最大值点 求(xy)z 2 在条件 l 一 2p0 下的最大值点 求 ln(xy) 2lnz 在条件 xy 2p0 下的最大值点用拉格朗日乘子法令 F(x，y，z，)ln(xy) 2lnz(xy)，解方程组由， xy，再由 由实际问题知，最大体积一定存在，以上又是方程组的唯一解，因而三角形的三边长分别为 ，旋转边为 时旋转体的体积最大【知识模块】 高

15、等数学21 【正确答案】 由所设条件，(x，y)0 在 xx 0 的某邻域确定隐函数 yy(x)满足 y0y(x 0)，于是 P0(x0，y 0)是 zf(x，y)在条件 (x，y)0 下的极值点zf(x，y(x)在 xx 0 取极值 fx(x0，y 0)f y(x0，y 0)y(x0)0 又由 (x，y(x)0，两边求导得 x(x0，y 0) y(x0，y 0)0，解得 y(x2)一 x(x0，y 0) y(x0，y 0) 将式代入式得 fx(x0，y 0)fy(x0，y 0)(x0，y 0) y(x0，y n)0因此 在 Oxy 平面上看，(x，y)0 是一条曲线，它在 P0(x0，y 0

16、)的法向量是( x(P0)， y(P0)，而 f(x，y)f(x 0，y 0)是一条等高线，它在 P0 的法向量是 (fx(P0)，f y(P0)，(89)式表示这两个法向量平行，于是曲线 (x，y)0 与等高线 f(x，y)f(P 0)在点 P0 处相切【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 先求出所设方向的方向余弦设所求方向与各坐标轴的夹角为，由方向余弦的性质得 cos2cos 2cos 21 cos 均与各坐标轴成等角【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 椭球面 S 上 点 x，y，z)处的法向量 n2x，2y 一 z，2zy点 (x，y，z) 处切平面上 Oxy 平面，则 nk0

17、，即 2zy0又(x，y，z)在 S上 x2y 2z 2 一 yz 一 10因此所求点的轨迹：它是圆柱面 x2 1 与平面2x 一 y0 的交线【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 过 M 点分别与 x、y 轴垂直的平面是 z3 与 y4，与球面的截线 它们的交点是 M1(3，4，12)， M2(3，4，一 1 2) 1 在 M1 的切向量 0，24，一 880， 3，一 1， 2 在 M1 的切向量 一 24，0，6 6一4，0，1 1， 2 在 M1 点的切线方程分别为过这两条切线的平面方程是，即 3(x 一 3)4(y 一 4)12(z12)0又 2 在 M2 的切向量 0，一 24

18、，一 880，一 3，一 1， 2 在 M2 的切向量 24，0，6 64，0，1， 1， 2 在 M2 点的切线方程分别为 过两条切线的平面方程是 ，即 3(x 一 3)4(y 一 4)一 12(z12)0【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 先写出椭球面上 点(x，y，z) 处的切半面方程，然后求出它在三条坐标轴上的截距，由此可写出四面体的体积表达式 V(x，y，z) 问题化为求V(x，y ，z) 在条件 下的最小值点将椭球面方程改写成 G(x，y，z)椭球面第一卦限部分上 点(x，y，z)处的切平面方程是其中（XYZ) 为切平面上任意点的坐标分别令YZ 0，ZX0，X Y0，得该切平面与三条坐标轴的交点分别为四面体的体积为 V(x，y，z) 为了简化计算，问题转化成求V0xyz(x0，y0，z 0)在条件 下的最大值点令F(x，y，z，)xyz ，求解方程组因实际问题存在最小值，因此椭球面上点(x，y，z) 处相应的四面体的体积最小【知识模块】 高等数学